Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
[UWAGA] To zestawienie jest już zamknięte. W następnej wiadomości znajduje się aktualna lista nierozwiązanych problemów.
Witam.
Przez długie lata działalności forum, często pojawiały się problemy trudne (bądź łatwe ), które przez swoją złożoność zostały bez rozwiązania i po pewnym czasie zagubiły się w gąszczu postów. Celem tego tematu jest odświeżenie tych problemów i zachęcenie wszystkich użytkowników do zmierzenia się z nimi. Po kliknięciu na pogrubioną nazwę wątku, nastąpi przekierowanie do odpowiedniego tematu, tam można się zapoznać z dyskusją (o ile była) na temat problemu i ewentualnymi wskazówkami bądź próbami rozwiązania. Tam też można włączyć się do dyskusji na temat problemu, gdyż ten temat ma tylko funkcję informacyjną.
Problemy ułożone są chronologicznie (od najstarszego). Z tematów zawierających kilka zadań, w których niektóre zostały rozwiązane, zacytowałem tylko zadania nierozwiązane. Stan na dzień 22.08.2008, do tematu o numerze 80440 - nowsze tematy nie będą póki co dodawane na tą listę. Przy rozwiązanych problemach będę umieszczał napis: Problem rozwiązany przez użytkownika [nick_tego_który_rozwiązał] (przykłady poniżej )
Wielkie podziękowania dla kolegi mola_książkowego, który pomógł mi zbierać linki do trudniejszych problemów.
// Statystyki rozwiązań pojedynczych problemów (czyli nie liczę mixów i innych tematów, do których jest sam odnośnik) wedle widzimisię prowadzącego temat :
* 24.08, godzina 15:30 - zostało rozwiązanych 17 z pośród 54 problemów, szybko idzie
* 24.08, godzina 23:00 - 20/54
* 25.08, godzina 23:15 - 24/54
* 26.08, godzina 23:25 - 28/54 - w ekspresowym tempie połowa zadań się poddała
* 27.08, godzina 21:08 - 30/54
* 28.08, godzina 16:00 - 31/54
* 29.08, godzina 00:30 - 33/54
* 29.08, godzina 13:00 - 35/54
* 05.09, godzina 14:40 - 37/54
* 07.09, godzina 10:00 - 38/54
* 09.09, godzina 07:00 - 39/54
* 15.09, godzina 16:00 - 40/54 - ostatnich 14 nie(w pełni)rozwiązanych problemów "wylatuje" z tej listy z pierwszego postu i pojawi się w nowym zestawieniu
//
Chciałbym zaprezentować drugie (na razie definitywnie ostatnie) zestawienie nierozwiązanych problemów.
Na wstępie kolejne ogromne podziękowania dla mola_książkowego, który przejrzał dużą część bardziej interesujących działów na forum w poszukiwaniu trudnych problemów (teraz można powiedzieć, że w przybliżeniu wszystkie ciekawe problemy zostały przez niego "wyłowione"). Lista się składa na chwilę obecną z 69 problemów w 66 tematach, które pojawią się po raz pierwszy w zestawieniu, a także 14 problemów w 13 tematach przeniesionych tu z pierwszego posta, które nie doczekały się przez prawie cały miesiąc pełnego rozwiązania (co świadczy, że nie są one zbyt proste :) ) - te ostatnie mają numery od 67. (czyli są poza kolejnością chronologiczną). Tematy zawierające najwięcej nierozwiązanych problemów umieściłem na samym końcu listy nie cytując ich treści.
Stan na dzień 16.09.2008, do tematu o numerze 82797. O ciekawych nierozwiązanych problemach z tego bądź innych działów, które nie zostały umieszczone na poniższej liście, proszę informować mnie przez: [usunięto link do nieistniejącego konta]. Przy rozwiązanych problemach będę umieszczał napis: Problem rozwiązany przez użytkownika [nick_tego_który_rozwiązał]
Dane mamy, w przestrzeni - dwie przecinające się proste a i b. Rozważamy wszystkie możliwe pary płaszczyzn \(\displaystyle{ \alpha , \ \beta}\) prostopadłe do siebie i t. ze \(\displaystyle{ a \subset \alpha \ \ b \subset \beta}\). Wykaż ze istnieje taki okrąg, że przez każdy jego punkt przechodzi prosta \(\displaystyle{ \alpha \cap \beta}\) dla pewnych \(\displaystyle{ \alpha \ \beta}\).
Trzeba dowieść, że jeśli liczba rzeczywista x jest postaci (*), to ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) (**), nie jest zbieżny do zera...a czy może mieć inną granicę? Jeśli tak, to zbadać jaką:
(*) \(\displaystyle{ x=\frac{k}{2^m}}\),
(**) \(\displaystyle{ a_n=x2^n- [x2^n]}\)
Wykaż fakt: istnieje stała \(\displaystyle{ \alpha}\) o tej własności, że dla każdego ciągu \(\displaystyle{ x_1,\ldots,x_n}\) liczb dodatnich, jeśli dla k>0 ilość wyrazów \(\displaystyle{ x_j}\) nie mniejszych od k, pomnożona przez k jest nie większa od m to : \(\displaystyle{ \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} \log \ x_j \le \alpha}\)
Dany jest pewien czworościan c, na którym opisano sferę \(\displaystyle{ s}\). \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma, \delta}\) są płaszczyznami stycznymi do tejże s, w odpowiednich wierzchołkach c , tj punktach A, B, C, D, przy czym \(\displaystyle{ \alpha \cap \beta=p}\), i \(\displaystyle{ \gamma \cap \delta=q}\). Wykaż, że jeśli proste p i CD nie są rozłączne, to q i AB są współpłaszczyznowe.
Wyznacz oba kresy, tj. górny (\(\displaystyle{ M}\)) i dolny (\(\displaystyle{ m}\)) wyrażenia \(\displaystyle{ W}\), będącego sumą długości boków i przekątnych czworokąta wypukłego na płaszczyźnie i o polu jednostkowym. Kiedy (o ile są) są one realizowane. Podaj wszystkie stosowne rachunki i (lub) ewentualne uogólnienie.
1.Środki krawędzi czworościanu leżą na jednej sferze. Wyznacz maksimum objętości tego czworościanu.
3.Niech ABC będzie trójkątem ostrokątnym, zaś M, N i P - rzutami prostokątnymi środka ciężkości tego trójkąta na boki BC, CA, AB. Udowodnij, że \(\displaystyle{ \frac{4}{27} < \frac{S(MNP)}{S(ABC)} \leqslant \frac{1}{4}}\) Gdzie \(\displaystyle{ S(XYZ)}\) oznacza oczywiście pole trójkąta XYZ.
Rozwiąż równanie w zbiorze liczb naturalnych \(\displaystyle{ a^x+\left(2a+1\right)^y=\left(a+1\right)^z}\) dla danego \(\displaystyle{ a\in \NN - \{1\}}\) i \(\displaystyle{ x,y,z\in \NN\cup\{0\}}\)
1. Dwudziestu pięciu hobbitów podzieliło działkę 5x5 na działki 1x1. Zaden hobbit nie chce miec wroga za sasiada (ani nawet zeby jego dzialka stykala sie wierzcholkami z sasiadem). Wiadomo ze zaden nie poklocil sie z wiecej niz trzema innymi hobbitami. Udowodnic, ze mozna ich tak rozstawic, zeby kazdy byl otoczony tylko przyjaciolmi. (wsk. -> udowodnic, ze jedli sasiaduja ze soba jacys wrogowie to mozna zminiejszyc liczbe takich sasiadow).
Miejsce geometryczne zbioru punktów \(\displaystyle{ X}\) z wnętrza trójkąta ostrokątnego \(\displaystyle{ ABC}\) określane jest równością: \(\displaystyle{ AB\cdot BC\cdot CA
\ =\
XA\cdot AB\cdot BX+XB\cdot BC\cdot CX+XC\cdot CA \cdot AX}\)
Mamy \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2}}\) klocków z liczbami: jeden klocek z "1", dwa klocki z "2", ..., n klocków z "\(\displaystyle{ n}\)".
Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) można te klocki tak ustawić by
między każdymi dwoma \(\displaystyle{ n}\)-ami był jeden klocek,
między kazdymi dwoma klockami z \(\displaystyle{ n-1}\) dwa inne klocki, itd.
wreszcie między klockami z dwójkami \(\displaystyle{ n-1}\) klocków ??
---------------------------------------------------------------------------- Problemy, które pomimo długiego oczekiwania w pierwszym poście tego tematu, nie doczekały się pełnego rozwiązania:
----------------------------------------------------------------------------
Problem połowicznie rozwiązany przez użytkownika Sylwek
Mamy 2007-kąt foremny. Na każdym wierzchołku jest punkt i na każdym środku boku też jest punkt, (czyli w sumie 4014 punktów). Ponumerować te punkty liczbami naturalnymi od 1 do 4014 tak, żeby na każdym boku (tzn. wierzchołek, środek boku, drugi wierzchołek) suma liczb była wszędzie taka sama. Czy takie ponumerowanie jest możliwe dla każdego n-kąta foremnego, czy tylko dla n = 2007?
Udowodnij, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b \in N}\) takich, że \(\displaystyle{ a<b}\) istnieje takie \(\displaystyle{ n\in N}\), że spełniona jest nierówność \(\displaystyle{ a<\frac{\varphi(n+2)}{\varphi(n)}<b}\)
Znaleźć wszystkie \(\displaystyle{ c>0}\) dla których istnieją dokładnie 3 pary \(\displaystyle{ (x,y)}\) liczb naturalnych takie ze \(\displaystyle{ xy^2 - y^2 - x + y=c}\)
Problem połowicznie rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy
c) Dowiesc ze jesli F jest polem wielokata wypuklego , a L dlugoscia lamanej go ograniczajacej, zas R promien najmniejszego koła zawierajacego ten wielokat, to \(\displaystyle{ \pi R^2-LR+F \le 0}\) i... Kiedy zachodzi rownosc??
1. W trójkącie ABC punkt M jest środkiem ciężkości. Okrąg opisany na trójkącie AMC jest styczny do prostej AB. Wykaż, że \(\displaystyle{ \sin CAM+ \sin CBM \leqslant \frac{2}{ \sqrt{3} }}\)
3. Udowodnij, że jeżeli M jest dowolnym punktem wewnętrznym trójkąta ABC, to: \(\displaystyle{ \min(MA,MB,MC)+MA+MB+MC<AB+BC+CA}\)
---------------------------------------------------------------------------- Tematy zawierające kilkanaście zadań:
----------------------------------------------------------------------------
Oczywiście, jak większość użytkowników się orientuje, temat ten jest dziełem Sylwka. Ponieważ jego aktywność prawdopodobnie zmaleje w czasie przedłużonych wakacji ( maturzysta ), do odwołania tematem będę zajmował się ja. Nic w działaniu tego tematu nie ulegnie zmianie, postaram się nie zepsuć tego, co Sylwek wraz z molem_książkowym stworzyli. Dwa poprzednie posty zostały stworzone bez mojej pracy i są bez wątpliwości dziełem Sylwka ( być może jeszcze kogoś, kto mu w tym pomagał ). Mam nadzieję, że uda się rozwiązać trwające nadal problemy. O zadaniach ciekawych i dość wymagających, które należałoby tu umieścić proszę informować mnie na
Niestety, a może na szczęście, forum się rozrosło i liczba ciekawych nierozwiązanych problemów znacząco wzrosła. Z tego powodu dalsze prowadzenie, czyli modyfikowanie tego tematu, jest dość pracochłonne itp. Wyżej zarysowane powody sprawiają, że temat ten zostanie zamknięty. Nie wykluczam, że kiedyś temat ten zostanie zaktualizowany, lecz na pewno nie teraz.
Niestety, a może na szczęście, forum się rozrosło i liczba ciekawych nierozwiązanych problemów znacząco wzrosła. Z tego powodu dalsze prowadzenie, czyli modyfikowanie tego tematu, jest dość pracochłonne itp. Wyżej zarysowane powody sprawiają, że temat ten zostanie zamknięty. Nie wykluczam, że kiedyś temat ten zostanie zaktualizowany, lecz na pewno nie teraz.
Nierozwiązane problemy III
Niektóre zadania są z tzw. Mix-ów; a inne nie...
Problemy te nie są rozwiązane
(lub tylko w sposób częściowy)…
Wszelkie informacje, jakieś błędy ,itd. do mol_ksiazkowy lub Ponewor
Jest \(\displaystyle{ p=101}\) zadań:
Są one i z takiej tematyki:
algebra
geometria
Nierówności;
kombinatoryka
probablistyka, grafy itd. inne.
A więc:
1. Lemat Spernera
Trójkąt T został podzielony na trójkąty, tak że każde dwa trójkąty są albo rozłączne, albo mają wspólny bok lub wierzchołek. wierzcholki trojkątów kolorujemy liczbami 0,1,2. tak ze dla kazdego koloru istnieje bok trójkąta T taki ze zaden wierzcholek lezacy na tym boku nie jest nim pokolorowany (w szczególności wierzchołki T są różnokolorowe). Udowodnij ze liczba trojkolorowych trójkątów jest nieparzysta.
Ukryta treść:
uogólnienie tego twierdzenia na n-wymiarowe kompleksy symplicjalne odegrało istotną rolę w dowodzie twierdzenia Brouwera o punkcie stałym. powodzenia.
czekam również na inne, niekoniecznie n-wymiarowe uogólnienia tego twierdzenia
Niech \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{N}}\) będą takie, że \(\displaystyle{ \forall_{p \in \mathbb{P}} \ a \leq b (mod \ p)}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{P}}\) to zbiór liczb pierwszych.
Pokazać, że \(\displaystyle{ a=b}\)
Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ a _{1}, a _{2},...,a _{n}}\) są liczbami całkowitymi takimi że \(\displaystyle{ n| a _{1}+a _{2}+...+a _{n}}\). Pokaż, że istnieją dwie permutacje \(\displaystyle{ \left( b _{1}, b _{2},..., b _{n} \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( c _{1}, c _{2},..., c _{n} \right)}\) zbioru \(\displaystyle{ \left( 1,2,...,n\right)}\) takie, że dla każdego \(\displaystyle{ 1\le i \le n}\) \(\displaystyle{ n| a _{i}-b _{i}-c _{i}}\).
Dane są punkt \(\displaystyle{ M}\), prosta \(\displaystyle{ l}\) oraz wektor \(\displaystyle{ \vec{p}}\) . Symetria względem prostej \(\displaystyle{ l}\) przekształca dowolny punkt \(\displaystyle{ X}\) w \(\displaystyle{ X^{'}}\), zaś przesuniecie \(\displaystyle{ \vec{p}}\) przekształca \(\displaystyle{ X^{'}}\) w \(\displaystyle{ X^{''}}\). Jaki zbiór tworzą punkty \(\displaystyle{ X}\), dla których punkty \(\displaystyle{ M}\), \(\displaystyle{ X}\), \(\displaystyle{ X^{''}}\) są współliniowe?
Udowodnić, że jest możliwe "pokolorowanie" każdej liczby wymiernej q dodatniej jednym z dwóch kolorów na czerwono lub biało w taki sposób, aby \(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{q}}\) były jednakowego koloru, zaś \(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ q+1}\) różnych kolorów.
Wszystkie zmienne to liczby naturalne. Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ c=5}\), czy istnieje skończenie wiele par liczb \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) spełniających to równanie?
Czy dla dowolnie przyjętego \(\displaystyle{ c}\) (poza \(\displaystyle{ c=1}\)) istnieje skończenie wiele par liczb \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) spełniających to równanie?
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.
9. Mix, Liczby naturalne, liczby pierwsze
Dane są liczby całkowite \(\displaystyle{ m, n}\) spełniające \(\displaystyle{ 0<n<m}\). Udowodnić, że jeśli liczby \(\displaystyle{ a^m - 1}\) i \(\displaystyle{ a^n - 1}\) mają te same dzielniki pierwsze, to \(\displaystyle{ a+1}\) jest potęgą dwójki.
Niech \(\displaystyle{ a \neq b}\) i \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła taka, że \(\displaystyle{ \frac{f(x)}{x^2}}\) dąży do 0 kiedy \(\displaystyle{ x}\) dąży do nieskończoności lub minus nieskończoności. Niech \(\displaystyle{ f(x+a)+f(x+b)=\frac{f(2x)}{2}}\). Uzasadnić że \(\displaystyle{ f}\) jest okresowa.
Wykaż lub obal: Jeśli \(\displaystyle{ x, y}\) są liczbami naturalnymi takimi, że \(\displaystyle{ xy+ x}\) oraz \(\displaystyle{ xy+y}\) są kwadratami pewnych liczb całkowitych, to dokładnie jedna z liczb \(\displaystyle{ x, y}\) jest kwadratem liczby naturalnej.
Uwaga: Takimi są np. \(\displaystyle{ x=4 \ y=80}\)
Ukryta treść:
Zadanie o zbliżonej treści: (Kółko matematyczne) Teoria liczb, zestaw mola, zadanie 86
Każdy punkt płaszczyzny malujemy na jeden z dwóch kolorów. Pokazać, że istnieje trójkąt którego wierzchołki i środek okręgu wpisanego są jednokolorowe.
W każdym wierszu i w każdej kolumnie kwadratowej tablicy \(\displaystyle{ n \times n}\) stoi dokładnie jeden raz liczba \(\displaystyle{ 1}\), dokładnie jeden raz liczba \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ n-2}\) razy liczba \(\displaystyle{ 0}\). Operacja elementarna polega na zamianie miejscami dwóch kolumn lub zamianie miejscami dwóch wierszy. Dowieść, że za pomocą pewnej ilości operacji elementarnych można zamienić miejscami położenia \(\displaystyle{ +1}\) i \(\displaystyle{ -1}\).
Dane są takie liczby całkowite \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), że \(\displaystyle{ a > b >1}\) oraz liczba \(\displaystyle{ ab +1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ a+ b}\), zaś liczba \(\displaystyle{ ab - 1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ a-b}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ a < b\sqrt{3}}\)
Czy jest ktoś w stanie zaprezentować rozwiązanie zasadniczo różniące się od wzorcowego? Bo nie wierzę, że istnieje tylko jedna droga prowadząca do celu.
Ukryta treść:
link do firmówki: http://archom.ptm.org.pl/?q=node/40
Jakie trójkąty prostokątne można narysować na płaszczyźnie z siatką kwadratową tak, że przeciwprostokątna leży na jednej z linii siatki, a wszystkie wierzchołki leżą w węzłach (tj. punktach kratowych) tej siatki ?
Czy warunek \(\displaystyle{ n \mid \sum_{i=1}^{n-1} i^{n-1}+1}\) może spełniać \(\displaystyle{ k}\) kolejnych (niekoniecznie \(\displaystyle{ k}\) początkowych) liczb naturalnych, gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest większe od dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ m}\)?
Udowodnić nierówność \(\displaystyle{ \frac{A+a+B+b}{A+a+B+b+c+r} + \frac{B+b+C+c}{B+b+C+c+a+r} > \frac{C+c+A+a}{C+c+A+a+b+r}}\)
w której wszystkie litery oznaczają liczby dodatnie
Ukryta treść:
Jest to zadnie nr 12 ze 100 zadań H. Steinhausa;
Oryginalny dowód opiera się na tym ,że jeśli \(\displaystyle{ \frac{1}{p} > \frac{1}{q}}\) oraz jeśli \(\displaystyle{ x > y}\) to \(\displaystyle{ \frac{x}{x+p} > \frac{y}{y+q}}\)
W kwadratowa tablice składającą się z \(\displaystyle{ 81}\) jednakowych kwadratowych pól wpisano wszystkie liczby naturalne od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 81}\). Udowodnij, ze dla dowolnego ułożenia liczb istnieją dwie sąsiednie różniące się co najmniej o \(\displaystyle{ 6}\). Przez sąsiednie rozumiemy liczby wpisane w pola o wspólnej krawędzi.
Dla jakich liczb pierwszych nieparzystych liczba \(\displaystyle{ -3}\) jest resztą kwadratową modulo \(\displaystyle{ p}\) ?
Ukryta treść:
tj. dla jakich \(\displaystyle{ p}\) kongruencja \(\displaystyle{ x^2 \ \equiv \ -3 \ (mod \ p)}\) ma rozwiązanie całkowitoliczbowe \(\displaystyle{ x}\) ? np. dla \(\displaystyle{ p=11}\) takie \(\displaystyle{ x}\) nie istnieje, ale dla \(\displaystyle{ 13}\) istnieje, np. \(\displaystyle{ x=6}\)
Niech \(\displaystyle{ O}\) będzie punktem, w którym przecinają się przekątne czworokąta wypukłego \(\displaystyle{ ABCD}\). Okręgi opisane na trójkątach \(\displaystyle{ OAD}\) i \(\displaystyle{ OBC}\) i przecinają się w punktach \(\displaystyle{ O}\) i \(\displaystyle{ M}\) . Prosta \(\displaystyle{ OM}\) przecina okręgi opisane na trójkątach \(\displaystyle{ OAB}\) i \(\displaystyle{ OCD}\) w punktach \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem \(\displaystyle{ PQ}\).
Udowodnij, że istnieje tylko skończenie wiele liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\), których nie da się przedstawić w postaci sumy kwadratów różnych liczb naturalnych.
Gdy dane są dwa trójkąty \(\displaystyle{ t1}\) oraz \(\displaystyle{ t2}\) o bokach \(\displaystyle{ a_1, b_ 1, c_ 1}\) oraz \(\displaystyle{ a_2, b_ 2, c_ 2}\)
i o polach \(\displaystyle{ \Delta_1 , \ \Delta_2}\) to : \(\displaystyle{ a_1^2(b_2^2 +c_2^2-a_2^2) + b_1^2(c_2^2 +a_2^2-b_2^2)+ c_1^2(a_2^2 +b_2^2-c_2^2) \geq 16 \Delta_1 \Delta_2}\)
i kiedy zachodzi równość ?
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.
28. Własność czworościanu
Udowodnić, że jeżeli kula wpisana w czworościan ma wspólny środek z kulą opisaną na tym czworościanie, to sumy kątów płaskich przy każdym wierzchołku tego czworościanu są równe \(\displaystyle{ 180^{ \circ}}\)
Niech \(\displaystyle{ a, b \in N}\) i \(\displaystyle{ a \neq 1,b \neq 1}\), gdzie \(\displaystyle{ a^{9a}=b^{2b}}\). Znaleźć minimum \(\displaystyle{ 2a+b}\).
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.
30. Układ wektorów
Danych jest \(\displaystyle{ n}\) wektorów \(\displaystyle{ \vec{v_j}}\) na płaszczyźnie i wszystkie one są zaczepione w punkcie \(\displaystyle{ O(0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ |\vec{v_j}| =1}\) dla \(\displaystyle{ j=1,..., n}\). Wykaż że jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ k}\), takiego że \(\displaystyle{ 2k <n}\) nie mniej niż \(\displaystyle{ k}\) wektorów leży po obu stronach dowolnej prostej do której należy punkt \(\displaystyle{ O}\), to \(\displaystyle{ |v| \leq n-2k}\), gdzie \(\displaystyle{ v}\) jest sumą wektorów \(\displaystyle{ \vec{v_j}}\). Czy może zachodzić równość ?
Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie zbiorem skończonym, który zawiera co najmniej 2 różne dodatnie liczby rzeczywiste. Załóżmy że dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in M}\), istnieją \(\displaystyle{ b, c \in M}\) (\(\displaystyle{ a, b, c}\) niekoniecznie różne) takie, że \(\displaystyle{ a = 1 +\frac{b}{c}}\). Udowodnić, że można znaleźć \(\displaystyle{ x, y \in M \ (x \neq y)}\) spełniające warunek \(\displaystyle{ x + y> 4.}\)
Pewne zawody matematyczne odbyły się w dwóch dniach. Rozwiązywano łącznie 28 zadań. Dla dowolnej pary dwóch zadań znalazło się dokładnie dwóch zawodników, którzy je rozwiązali. Każdy zawodnik rozwiązał dokładnie 7 zadań. Wykazać, że był taki zawodnik, który w pierwszy dzień albo nie rozwiązał żadnego zadania albo rozwiązał co najmniej cztery
Ukryta treść:
arek1357 pisze: W zadaniu coś mi się nie podoba , bo każdy zawodnik mógł w pierwszy dzień rozwiązać tylko 3 zadania a w drugi dzień tylko 4
Ale czy jest to niesprzeczne z tym, iż
Dla dowolnej pary dwóch zadań znalazło się dokładnie dwóch zawodników, którzy je rozwiązali
Dane są trzy liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y, z}\) powiązane zaleznościa \(\displaystyle{ xy= z^2+1}\). Wykazać, że istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) takie że \(\displaystyle{ \begin{cases} x=a^2+b^2\\y=c^2+d^2\\z=ac+bd\end{cases}}\)
Dać przykład (podając \(\displaystyle{ a,b,c,d}\), dla \(\displaystyle{ x=13, \ y=5, \ z=8}\))
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy .
35. Równanie Bacheta
Równanie diofantyczne: \(\displaystyle{ x^{3} = y^{2} + k}\)
zależne od parametru całkowitego \(\displaystyle{ k}\) nazywa się równaniem Bacheta (albo równaniem Mordella).
Pokaż, że istnieje nieskończenie wiele parametrów \(\displaystyle{ k}\) takich, że równanie to nie ma rozwiązania w liczbach całkowitych.
Czy istnieje ściśle rosnący ciąg liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ a_n}\) taki, że \(\displaystyle{ a_n \leq n^3}\) oraz każda liczba całkowita dodatnia występuje dokładnie raz jako różnica dwóch elementów tego ciągu?
Dany jest skończony ciąg liczb zespolonych: \(\displaystyle{ z_1, ....,z_n}\), wykaż ze można wybrać \(\displaystyle{ S \subset \{ 1, ...,n\}}\) t. że zachodzi (*). Dać też przykład, że uogólnienie na przypadek nieskończony nie działa (a może jednak....?!). Wszelkie metody i uwagi mile widziane. etc
(*) \(\displaystyle{ |\sum_{j \in S} z_j| \geq \frac{1}{6} \sum_{j=1}^n |z_j|}\)
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.
39. Kombi z wartością bezwzględną
Wśród liczb \(\displaystyle{ 1,2,3,...,n+1}\) jedna liczba została skreślona, zaś pozostałe są ustawione w kolejności \(\displaystyle{ a_{1} ,a _{2} ,..., a_{n}}\) w taki sposób , aby wszystkie \(\displaystyle{ n}\) wartości bezwzględnych \(\displaystyle{ \left| a _{1}-a _{2} \right| ,\left| a _{2}- a_{3} \right| ,..,\left|a _{n} -a _{1} \right|}\) różniły się pomiędzy sobą. Dla jakich liczb naturalnych\(\displaystyle{ n \ge 3}\) można to zrobić ?
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.
40. Nierówność w trójkącie
Pokaż że jeśli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są bokami trójkata oraz \(\displaystyle{ c\geq a}\) to \(\displaystyle{ \frac{b^{2}+c^{2}}{a^{2}}\geq \frac{2\sqrt{3}c\cdot\sin\beta -a}{b+c}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \beta}\) jest kątem \(\displaystyle{ ABC}\)
Jak zauważył już Crizz jeśli ta granica istnieje, to równa jest \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). Gdy \(\displaystyle{ c_n = \frac{\sqrt{2}}{a_n}}\) to \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{a_{n+2}} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{a_{n+1}}+ \frac{\sqrt{2}}{a_n}}}\) tj. ciag srednich harmonicznych wyrazów poprzednich.
p. math.stackexchange.com/questions/374566/limit-of-a-n2-frac1a-n-frac1a-n1
Trzy punkty leżące na trzech bokach trójkąta nazwiemy trójką Cevy, jeżeli proste łączące te punkty z wierzchołkami przecinają się w jednym punkcie. Przypuśćmy, że wykreśliliśmy okrąg przez punkty tworzące trójkę Cevy otrzymując trzy nowe punkty na bokach trójkąta. Udowodnij, że nowe punkt także tworzą trójkę Cevy.
Niech \(\displaystyle{ a,b,c, d}\) całkowite i takie ze \(\displaystyle{ \lvert\ ad-bc \rvert=1}\) oraz \(\displaystyle{ \lvert\ a \rvert> \lvert\ c \rvert}\) . Wykaż że \(\displaystyle{ a^{2}+ab+b^{2}\ge c^{2}+cd+d^{2}}\).
dla jakich \(\displaystyle{ n}\) można zbiór \(\displaystyle{ \{1,2,...,3n\}}\) podzielić na \(\displaystyle{ n}\) trójelementowych podzbiorów takich że w każdym z nich największa liczba jest równa sumie dwóch mniejszych?
moje wypociny:
warunek konieczny \(\displaystyle{ n}\) przystaje do 0 lub 1 modulo 4. udało mi sie skonstruować zbiory dla n=1,4,5 i tyle...
Problem rozwiązany połowicznie przez użytkownika Jakub Gurak.
47. Trójkąty w wielokącie
Mamy \(\displaystyle{ n}\) - kąt wypukły (\(\displaystyle{ n>3}\)) w którym żadne trzy przekątne nie mają wspólnego punktu. Ile jest wszystkich trójkątów powstałych w wyniku podziału tego \(\displaystyle{ n}\)-kąta tymi \(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2}}\) przekątnymi
Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie zbiorem 43 liczb naturalnych nie większych niż \(\displaystyle{ 100}\). Dla każdego podzbioru \(\displaystyle{ X \subset S}\) niech \(\displaystyle{ t_X}\) to będzie iloczyn wszystkich liczb ze zbioru \(\displaystyle{ X}\). Wykaż, ze istnieją dwa rozłączne podzbiory \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) zbioru \(\displaystyle{ S}\) takie, że \(\displaystyle{ t_At_B^2}\) jest sześcianem liczby naturalnej
Dany jest ciąg liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a_1,a_2,...,a_n}\) oraz liczba rzeczywista \(\displaystyle{ M}\). Powiemy, że ten ciąg ma własność \(\displaystyle{ k}\)-podziału (\(\displaystyle{ k\in \mathbb{N}_{>0}}\)) jeżeli istnieje podział tego ciągu na dokładnie k spójnych, niepustych fragmentów, każdy o sumie nieprzekraczającej \(\displaystyle{ M}\).
Udowodnić, że dla dowolnego M jeśli ciąg ma własność \(\displaystyle{ k_1}\)-podziału oraz \(\displaystyle{ k_2}\)-podziału to ma też własność \(\displaystyle{ k}\)-podziału dla wszelkich \(\displaystyle{ k_1\leq k\leq k_2}\).
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie skończonym zbiorem liczb, takim że: dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in A}\) istnieją dokładnie dwa elementy \(\displaystyle{ b, c \in A}\) i \(\displaystyle{ b \leq c}\) i \(\displaystyle{ a=b+c}\). Wykaż, ze istnieją parami różne elementy \(\displaystyle{ a_1, ... , a_k \in A}\) takie że: \(\displaystyle{ a_1+...+a_k=0}\)
Udowodnij że w każdym niehamiltonowskim turnieju możliwy jest podział wierzchołków na dwie klasy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), taki że dla dowolnych wierzchołków \(\displaystyle{ a \in A}\) i \(\displaystyle{ b \in B}\) krawędź skierowana między nimi ma zwrot \(\displaystyle{ a \to b}\)
W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) dwusieczna kąta wychodząca z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\) przecina okrąg opisany na tym trójkacie w punkcie \(\displaystyle{ K}\). Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest środkiem \(\displaystyle{ AK}\) pokaż że \(\displaystyle{ BX+CX\geq{AK}}\)
W prostokącie o polu jednostkowym wybrano pięć punktów takich, że żadne trzy nie są współliniowe. Znajdź najmniejszą liczbę trójkątów o wierzchołkach w trzech z tych pięciu punktów takich, że pole żadnego trójkąta nie przekracza \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\).
Ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,...,n\}}\) wybieramy losowo bez zwracania \(\displaystyle{ k}\) liczb \(\displaystyle{ (k \leqslant n)}\). Oblicz wartość oczekiwaną różnicy między największą a najmniejszą z wylosowanych liczb.
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.
58. Mix 23, okres
Niech \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) będzie taka funkcją, iż \(\displaystyle{ |f(x)| \leq 1}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in R}\), oraz zachodzi tożsamość \(\displaystyle{ f(x) + f(x+ \frac{13}{42})= f(x+ \frac{1}{6}) + f(x+ \frac{1}{7})}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją okresową.
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.
59. Mix 29, Jeszcze jeden podział
Wskazać (wraz z dowodem ) najmniejszy możliwie \(\displaystyle{ n}\) takie, że przy dowolnym podziale zbioru \(\displaystyle{ S= \{ 1,2,3,...,n \}}\) na dwa podzbiory, jeden z nich (lub być może oba) będzie zawierał elementy \(\displaystyle{ a, b \ a \neq b}\) takie że \(\displaystyle{ ab}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ a+b}\)
Mamy sobie skoczka który skacze po prostej linii, wykonuje on \(\displaystyle{ n}\) ruchów przy czym każdy jest innej długości i nie większej niż \(\displaystyle{ n}\). Tzn. wykonuje ruchy długości \(\displaystyle{ 1;2;3;....n-1;n}\) przy czym w dowolnej kolejności. Czy jest możliwe, aby ustawiając na drodze \(\displaystyle{ n-1}\) min skoczek nie mógł przejść
Przekształcić (elementarnie) do postaci sumy kwadratów bądź kwadratu sumy \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} {a_i}^n-n \prod_{i=1}^{n} a_i}\) gdzie \(\displaystyle{ a_i \ge 0}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ i=1,2,3,...,n}\)
Każdy z wektorów (na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\)) \(\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n}\) ma długość nie większą niż 1. Udowodnij że w wyrażeniu \(\displaystyle{ \beta = \pm \alpha_1\pm \alpha_2 \pm...\pm \alpha_n}\)
można tak dobrać znaki aby \(\displaystyle{ |\beta| \le \sqrt{2}}\)
Dana jest liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\). Udowodnić że pewna wielokrotność liczby \(\displaystyle{ n}\) ma w systemie 7-kowym postać \(\displaystyle{ 333 \ldots 300 \ldots 0}\)
Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją \(\displaystyle{ f: [0,1] \mapsto [0,1]}\) ciągła i taką, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in [0, 1]}\) w ciągu iteracji \(\displaystyle{ x, f(x), f( f(x) ), …}\) występuje element \(\displaystyle{ 0}\). Czy z tego wynika, iż \(\displaystyle{ \underbrace{f (f (f( \ldots )))}_{n} \equiv 0}\) dla jakiegoś \(\displaystyle{ n}\) ?
Znaleźć cztery takie liczby naturalne, aby suma każdych dwóch spośród nich była pełnym kwadratem. (Jest to uogólnienie zadania Diofantosa dla trzech liczb, - wtedy można wziąść np. \(\displaystyle{ 41, 80, 320}\)).
Przekątne czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ O}\). Niech punkty \(\displaystyle{ P, Q, R, S}\) będą rzutami punktu \(\displaystyle{ O}\) odpowiednio na boki \(\displaystyle{ AB, BC, CD, AD}\). Udowodnić, że czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest wpisany w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy w czworokąt \(\displaystyle{ PQRS}\) da się wpisać okrąg.
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.
69. Mix, Gra
Joasia i Onufry grają w następującą grę. Na tablicy są napisane liczby od 1 do 1000. Ruch polega na wymazaniu liczby, która nie jest dzielnikiem żadnej z wymazanych dotąd liczb. Przegrywa ten, kto nie może wykonać ruchu. Joasia zaczyna. Kto ma strategię wygrywającą ?
na tablicy mamy \(\displaystyle{ n}\) liczb rzeczywistych. ruch polega na wybraniu dwóch liczb i zastąpieniu każdej z nich przez ich sumę. wyznaczyć wszystkie liczby \(\displaystyle{ n}\), dla których zawsze (tj dla dowolnych początkowych liczb) można osiągnąć \(\displaystyle{ n}\) równych liczb.
Graf nazywamy \(\displaystyle{ k}\)-krytycznym, jeśli \(\displaystyle{ \chi(G)=k}\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ v \in V(G)}\) jest \(\displaystyle{ \chi(G-v)< k}\). Wykazać, że dla każdego \(\displaystyle{ k}\)-krytycznego grafu G zachodzi \(\displaystyle{ \delta(G) \ge k-1}\)
Niech \(\displaystyle{ a_{i}, i=1,2,3,\cdots,n}\) są liczbami naturalnymi takimi że \(\displaystyle{ ~ \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots +\frac{1}{a_{n}}=1}\)
Wykaż że \(\displaystyle{ ~ max~(a_{1},a_{2},\cdots, a_{n})\leq n^{2^{n-1}}}\)
Niech \(\displaystyle{ a_n}\) oznacza ilość tych ciągów "zero- jedynkowych" mających \(\displaystyle{ n}\) elementów, które nie zawierają sekwencji \(\displaystyle{ ...., 0, 1, 0, ....}\); zaś \(\displaystyle{ b_n}\) ilość tych, które nie zawierają sekwencji: \(\displaystyle{ ..., 0, 0, 1, 1, ....}\) ani \(\displaystyle{ ..., 1, 1, 0, 0, ....}\). Wykazać, iż \(\displaystyle{ b_{n+1}=2a_n}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 2}\)
Dane są liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ a, b, c}\) takie, że \(\displaystyle{ ab|c(c^2-c+1)}\) i \(\displaystyle{ a+b|c^2 + 1}\). Pokazać, że zbiory \(\displaystyle{ \left\{ a,b\right\}}\) i \(\displaystyle{ \left\{ c, c^2-c +1\right\}}\) są równe.
Problem rozwiązany przez użytkowników timon92 i Ponewor.
77. Zadanie z Hong Kongu z 94
W turnieju udział bierze 10 zawodników, każda para uczestników gra ze sobą jeden raz. TRÓJKĄTEM będziemy nazywać trójkę uczestników: \(\displaystyle{ A, B, C}\), takich, że \(\displaystyle{ A}\) wygrał z \(\displaystyle{ B}\) , \(\displaystyle{ B}\) wygrał z \(\displaystyle{ C}\) , \(\displaystyle{ C}\) wygrał z \(\displaystyle{ A}\). Niech ponadto \(\displaystyle{ W_i}\) oznacza ilość gier wygranych przez \(\displaystyle{ i}\)-tego zawodnika, \(\displaystyle{ L_i}\)- ilość gier przegranych. Wiemy, że jeżeli \(\displaystyle{ i}\)-ty zawodnik wygrał z \(\displaystyle{ j}\)-tym, to \(\displaystyle{ L_i+W_j \ge 8}\).
Udowodnij, że w turnieju wystąpiło DOKŁADNIE 40 trójkątów.
Dany jest niemalejący ciąg liczb naturalnych \(\displaystyle{ a_n}\).Wykazać, że jeśli ciąg \(\displaystyle{ \frac{n}{a_n}}\) jest nieograniczony, to wśród jego wyrazów tego ciągu jest nieskończenie wiele liczb całkowitych
Danych jest \(\displaystyle{ 2n}\) różnych punktów: \(\displaystyle{ n}\) białych i \(\displaystyle{ n}\) czarnych. Żadne trzy z nich nie są współliniowe. Udowodnić, ze można tak narysować \(\displaystyle{ n}\) odcinków o końcach w danych \(\displaystyle{ 2n}\) punktach, aby były one różnokolorowe i aby nie przecinały się one ze sobą.
Liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ a, b}\) spełniają następujący warunek: \(\displaystyle{ 2ab-1|4a^4-2a^2+1}\).
Należy udowodnić, że ten warunek pociąga za sobą: \(\displaystyle{ \sqrt{ab-1}}\) jest liczbą całkowitą.
Pewne pola na szachownicy zamalowano tak, że król nie może dotrzeć od lewego do prawego jej brzegu po polach zamalowanych. Udowodnić, że po nie zamalowanych polach może od dolnego do górnego brzegu szachownicy dotrzeć wieża.
Czy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f: \RR^+\to \RR^+}\) taka że \(\displaystyle{ f(y) > (y - x) (f(x))^2}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in \RR^+}\) gdzie \(\displaystyle{ y > x > 0}\)?
Ukryta treść:
Jako zbliżone ćwiczenie:
Wykaż, że: jeśli f jest taka, że \(\displaystyle{ |f()- f(b) | \leq |a-b|^2}\) dla \(\displaystyle{ a, b \in \RR}\), to \(\displaystyle{ f \equiv f(0)}\).
Jest \(\displaystyle{ n+1}\) liczb naturalnych mniejszych od \(\displaystyle{ 2n}\). Wykazać, że można wybrać z nich trzy takie, aby jedna z nich była sumą pozostałych dwóch.
Na płaszczyźnie leży \(\displaystyle{ 2n+3}\) punktów, tak iż żadne trzy nie leżą na jednej prostej i żadne cztery na jednym okręgu. Wykaż, że wtedy można narysować okrąg na którym są trzy z tych punktów, tak iż z pozostałych \(\displaystyle{ 2n}\) punktów dokładnie \(\displaystyle{ n}\) leży wewnątrz tego okręgu a \(\displaystyle{ n}\) pozostałych na zewnątrz tegoż okregu.
Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą dającą przy dzieleniu przez 20 resztę 11 lub 19. Udowodnić, że istnieją 3 kolejne liczby całkowite, które są generatorami modulo \(\displaystyle{ p}\)
Dany jest okrąg \(\displaystyle{ ABC}\) i okrąg opisany na nim \(\displaystyle{ o}\). Styczna do \(\displaystyle{ o}\) w punkcie \(\displaystyle{ A}\) przecina prostą \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\). Prosta prostopadła do \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ B}\) przecina symetralną \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ E}\) a prosta prostopadła do \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ C}\) przecina symetralną \(\displaystyle{ AC}\) w punkcie \(\displaystyle{ F}\). Udowodnij że \(\displaystyle{ D, E, F}\) leżą na jednej prostej
Wartość wyrażenia \(\displaystyle{ (2^{\frac{1}{3}}-1)^{\frac{1}{3}}}\) da się przedstawić w formie \(\displaystyle{ a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}+c^{\frac{1}{3}}}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\) liczby wymierne. Oblicz \(\displaystyle{ abc}\)
Dany jest trójkąt ostrokątny \(\displaystyle{ ABC}\) oraz punkt \(\displaystyle{ P}\), w jego wnętrzu taki, że kąty \(\displaystyle{ CAP}\) i \(\displaystyle{ CBP}\) są równe. Niech \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\) są rzutami punktu \(\displaystyle{ P}\) na boki \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\). Wykazać że symetralna odcinka \(\displaystyle{ KL}\) dzieli na pół bok \(\displaystyle{ AB}\)
Wyznaczyc wszystkie funkcję ciągłe \(\displaystyle{ f:[0, \infty)\to\mathbb{R}}\) takie ze \(\displaystyle{ \displaystyle\lim_{x\to \infty} f(x)=0}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)+3f(x^2)=5f(x^3+1)}\) dla \(\displaystyle{ x\geq 0.}\)
Rozstrzygnąć czy istnieje funkcja różniczkowalna \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R},}\) taka że \(\displaystyle{ (f \circ f)(x) = \sin x.}\)
Niech \(\displaystyle{ x >0}\) i \(\displaystyle{ y >0}\) : \(\displaystyle{ (\frac{1}{3} (x+ (xy)^{\frac{1}{2}}+ y))^{\frac{1}{3}} = (\frac{1}{2}(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}))^{\frac{1}{2}}}\)
Czy \(\displaystyle{ x=y}\) ?
Znaleźć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ a,b,c}\) takie że: \(\displaystyle{ \begin{cases} 1+a|b^2+c^2\\1+b|c^2+a^2\\1+c|a^2+b^2\end{cases}}\)
Znajdź wszystkie czwórki liczb naturalnych \(\displaystyle{ (a,b,c,d)}\) takich, że \(\displaystyle{ \\ \begin{cases} a | bcd+1 \\ b | cda+1 \\ c | dab +1 \\ d | abc+1 \end{cases}.}\)
Znaleźć wszystkie funkcje rzeczywiste \(\displaystyle{ f\,:\,\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+}\) spełniające równanie funkcyjne (tj. \(\displaystyle{ \,f(x)\,f(y)\,=\,f\big(y\,f(x)\big)\,}\) ). Uwaga:, tu już nie wymagamy, aby funkcja była surjekcją, a jedynie by liczby dodatnie przekształcała na dodatnie!
źródło: Crux Mathematicorum, 17.6 172, problem 1659
6. Bilard
W układzie współrzędnych rysujemy parabolę o równaniu \(\displaystyle{ y=x^2}\). Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie obszarem w I ćwiartce pomiędzy parabolą a osią \(\displaystyle{ OX}\). W obszarze tym porusza się kula bilardowa (jako punkt materialny) odbijając się od brzegu \(\displaystyle{ \alpha}\) zgodnie z regułą "kąt padania=kąt odbicia". Dowieść, że kula odbije się od brzegu \(\displaystyle{ \alpha}\) skończenie wiele razy.
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.
8. Dwa ciągi
Mamy dane 2 ciągi \(\displaystyle{ a_1, a_2, ..., a_n}\) oraz \(\displaystyle{ b_1, b_2, ..., b_n}\) liczb
a) całkowitych
b) rzeczywistych
takie, że ciągi wartości wielomianów Newtona \(\displaystyle{ n}\) zmiennych o stopniach \(\displaystyle{ 1, 2, ..., n}\) są dla tych ciągów równe. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) ciąg \(\displaystyle{ b}\) musi być permutacją ciągu \(\displaystyle{ a}\).
Wyznaczyć wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ f}\) o współczynnikach całkowitych takie, że \(\displaystyle{ f(p)|2^p - 2}\) dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\).
Czy liczba \(\displaystyle{ \frac{2m(2m-1)}{2n(2n-1)}}\) może być kwadratem liczby naturalnej dla pewnych \(\displaystyle{ m,n\in\mathbb N^+,\ n\neq m\ ?}\)
Ukryta treść:
Np. n=1, m=25; trudniejszy będzie problem gdy m, n >1. ponadto \(\displaystyle{ \frac{2m(2m+1)}{2n(2n+1)}}\) może być kwadratem np. \(\displaystyle{ \frac{24 \cdot 25}{2 \cdot 3}}\)
Danych jest \(\displaystyle{ 3n}\), ludzi \(\displaystyle{ n=1,2,3,\ldots}\) oraz kółka zainteresowań. W każdym kółku jest nieparzysta liczba członków, a część wspólna dowolnych \(\displaystyle{ 2^{n-1}+1}\) kółek zawiera parzystą liczbę członków. Udowodnić, że kółek jest nie więcej niż \(\displaystyle{ 2^n+n2^{n-1}}\).
Niech \(\displaystyle{ x_1,x_2,\dots,x_n>0}\) będą takie że \(\displaystyle{ x_1x_2\cdots x_n = 1}\). Pokaż że \(\displaystyle{ \frac{x_k}{k + x_1 + x_2 + \dots + x_k} \geq 1 - \frac{1}{\sqrt[n]{2}}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \{1,2,\dots,n\}.}\)
Dana jest ustalona para \(\displaystyle{ (s,t)}\) liczb całkowitych, \(\displaystyle{ s \neq 0 \neq t}\). Mając inna parę liczb całkowitych \(\displaystyle{ (x,y)}\) zastępujemy ją wg schematu \(\displaystyle{ (x,y) \mapsto (x+t,y-s)}\). Powiemy że para \(\displaystyle{ (x,y)}\) jest szczególna , gdy po skończonej liczbie kroków (być może równej zeru) uzyskamy pewną parę \(\displaystyle{ (x^\prime, y^\prime)}\) liczb które nie są względnie pierwsze.
1) Zbadaj czy \(\displaystyle{ (s, t)}\) jest szczególna ?
2) Wykaż że dla dowolnej \(\displaystyle{ (s,t)}\) istnieje para \(\displaystyle{ (x,y)}\) która nie jest szczególna
Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele par \(\displaystyle{ (t, v)}\) liczb naturalnych o tej własności, iż \(\displaystyle{ tv - 2\sqrt{v^2 + t^2} +2}\) jest kwadratem liczby całkowitej.
b) to samo: dla par \(\displaystyle{ (u, z)}\) i wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{21u + 6z - 20}{7}}\)
Problem rozwiązany połowicznie przez użytkownika mol_ksiazkowy.
18. Zestaw od Iwana, Trójki
Wyznaczyć wszystkie trójki \(\displaystyle{ ( x, y, z )}\) liczb całkowitych takie, że liczby \(\displaystyle{ x^2 + y, \ y^2 + z, \ z ^2 + x}\) są kwadratami liczb całkowitych.
Jest nieskończenie wiele rozwiązań, np. trywialne \(\displaystyle{ x = b^2 \ y=a^2 - b^4 \ z=0}\). Łatwiejszym wydaje się problem dla dwóch zmiennych: liczby \(\displaystyle{ x^2+y}\) i \(\displaystyle{ y^2+x}\) mogą być ewentualnie kwadratami, jednak gdy \(\displaystyle{ x, y \in \NN}\) nie, gdyż dla \(\displaystyle{ x \geq y,x^2 <x^2+y <(x+1)^2.}\)
19. Następna nierówność
Niech \(\displaystyle{ a,b>0;a^{3}+b^{5}\leq a^{2}+b^{2}.}\) Pokaż że \(\displaystyle{ b-\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{1}{2}}\).
Niech \(\displaystyle{ K=\{n|n=a^2+b^2, a, b, n \in \mathbb{N}, a , b >0\}.}\) Znaleźć wszystkie liczby całkowite \(\displaystyle{ m}\) takie, że \(\displaystyle{ \{m, m+1, m+2\} \subset K.}\)
W mixie był błąd (opuszczono \(\displaystyle{ x}\));
22. Niezmiennik ciągu
Z danego ciągu liczb \(\displaystyle{ 1, 2, ..., 1968, 1969}\) możemy usunąć dwie liczby, dopisując jednocześnie na końcu ciągu wartość bezwzględną ich różnicy. Czy przez wielokrotne zastosowanie tej operacji można otrzymać ciąg złożony z samych zer?
Wydaje mi się, że niezmiennikiem będzie w tym przypadku nieparzystość tego ciągu, lecz czy są inne niezmienne w tym zadaniu?
W jednej z kategorii na tegorocznym Kangurze, pojawił się taki o to problem:
Ile liczb całkowitych dodatnich będących wielokrotnościami liczby \(\displaystyle{ 2013}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ 2013}\) różnych dodatnich dzielników (do dzielników liczby zaliczamy \(\displaystyle{ 1}\) i tę liczbę) ?
Otóż ja podbijam i stawiam ogólniejszy problem:
Dana jest liczba naturalna \(\displaystyle{ n > 1}\), oraz jej rozkład na czynniki pierwsze \(\displaystyle{ n= \prod_{i=1}^{m}p_{i}^{\alpha_{i}}}\). Ile liczb całkowitych dodatnich będących wielokrotnościami liczby \(\displaystyle{ n}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ n}\) różnych dodatnich dzielników?
Ukryta treść:
Problem łatwo rozstrzygnąć w przypadku podobnym do oryginalnego, to jest gdy \(\displaystyle{ \alpha_{1}=\alpha_{2}= \ldots = \alpha_{m}=1}\).
Udowodnić, że jeśli dodatnie całkowite \(\displaystyle{ n}\) NIE jest postaci \(\displaystyle{ 2^y3^x}\) (gdzie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są całkowite nieujemne), to \(\displaystyle{ F_n}\) ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) (gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest całkowite dodatnie).
no i \(\displaystyle{ F_n}\) to \(\displaystyle{ n}\)-ty wyraz ciągu Fibonacciego.
Nie korzystając z pojęcia liczb pierwszych i własności z nimi związanych (ale tylko z nimi, typu rozkład na czynniki pierwsze) oraz pojęcia względnej pierwszości, pokazać że:
dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ a,b,c}\) zachodzi \(\displaystyle{ abc=[a,b,c](ab,ac,bc)=(a,b,c)[ab,ac,bc]}\) oraz \(\displaystyle{ [a,b,c](a,b,c)\mid abc.}\)
Dodatkowo - pokazać, że \(\displaystyle{ abc=[a,b,c](a,b,c) \Leftrightarrow (a,b)=(a,c)=(b,c)=1}\).
Problem rozwiązany połowicznie przez użytkownika JakimPL.
29. Pokrycie wielokąta
Dla każdej trójki kolejnych wierzchołków wielokąta wypukłego narysowano okrąg przechodzący przez te wierzchołki. Udowodnić, że ten spośród otrzymanych okręgów, który ma największy promień zawiera cały wielokąt.
Uzasadnić, ze założenie o wypukłości jest tu istotne.
(M. Gardner) Ustawić 20 hetmanów na szachownicy \(\displaystyle{ 8 \times 8}\) w taki sposób, aby każdy hetman mógł zbić (wykonując jeden ruch) dokładnie cztery z pozostałych 19 hetmanów
Ile jest 6-elementowych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,...,49\right\}}\), takich, że nie ma w nim żadnych dwóch kolejnych liczb.
Ukryta treść:
Wymyśliłem pewne rozwiązanie, ale jest ono średnio eleganckie i nie jestem pewny czy jest do końca poprawne . Byłbym wdzięczny za sprawdzenie poprawności mojego rozwiązania, oraz inne pomysły.
można uzyskać rozkład \(\displaystyle{ 1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3}\) (liczba Hardy’ego ) znajdując w niej \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) ?
Czy istnieje figura (zbiór):
a) skończona (której promień jest skończony) o więcej niż 1 środku symetrii
b) nieskończona o \(\displaystyle{ n}\) środkach symetrii, gdzie \(\displaystyle{ n>1}\)
c) czy w innej niż euklidesowej metryce jest to możliwy któryś z powyższych przypadków.
Mamy sobie planszę \(\displaystyle{ 4n \times 4n}\) i ustawiamy na niej maksymalną liczbę pionków tak, aby w żadnym wierszu ani kolumnie nie stały 2 pionki. Każdego pionka chcemy przesunąć na którąś z dwóch przekątnych, ale nie obchodzi nas to, czy będzie on na jednej, czy na drugiej przekątnej. Ponadto na jednym polu może stać wiele pionków.
Ruch polega na przesunięciu pionka na sąsiednie pole.
Jaka jest maksymalna możliwa liczba ruchów potrzebna do przesunięcia wszystkich pionków na przekątne ?
(Musztari) W turnieju szachowym każdy z uczestników rozegrał po jednej partii ze wszystkimi pozostałymi. Wykaż, że uczestników turnieju można tak ponumerować, że żaden z nich nie przegrał partii z graczem o numerze większym o 1 od jego numeru.
Niech \(\displaystyle{ m \ge 2, m\in \NN}\). Znaleźć najmniejszą liczbę całkowitą \(\displaystyle{ n>m}\) taką, że dla dowolnego podziału zbioru \(\displaystyle{ \{m,m+1,...,n\}}\) na dwa podzbiory, przynajmniej jeden zawiera trzy liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) takie, że \(\displaystyle{ c=a^b}\)
Usunąć niewymierność z mianownika \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[4]{5}}}\) (nie chodzi o trywialne \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[4]{5}}}{1}}\) itp.)
Dany jest graf \(\displaystyle{ G = (V,E)}\), gdzie \(\displaystyle{ V = \left\{\left\{ i,j \right\} : i, j \in \left\{1,2,3,4,5\right\}\right\}}\), przy czym \(\displaystyle{ uv \in E \Leftrightarrow u \cap v =\emptyset}\).
Udowodnij, że \(\displaystyle{ G}\) jest izomorficzny z grafem Petersena.
Nie potrafię narysować tego grafu, tzn. wychodzi mi graf pełny na 5 wierzchołkach, który nijak nie jest izomorficzny z grafem Petersena. (A może jest ?)
Jak wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ 5n^2\pm 4}\) jest kwadratem liczby naturalnej, to \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą Fibonacciego ?
Zaproponować ewentualnie jakiś inny dowód nie „nie wprost” niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\).
45. Nierówność z czterema zmiennymi
bardzo fajna nierówność, chętnie zobaczę Wasze rozwiązania, bo zapewne można ją ugryźć z wielu stron:
dla dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) o sumie równej \(\displaystyle{ 4}\):
\(\displaystyle{ a^2bc+b^2cd+c^2da+d^2ab \le 4}\)
proszę tylko nie piszcie: "jak się ujednorodni i wymnoży to pewnie wyjdzie"
Mamy dwa koncentryczne dyski, każdy podzielony na \(\displaystyle{ 200}\) sektorów pomalowanych dwoma kolorami. Na zewnętrznym dysku liczba sektorów każdego koloru jest taka sama. Pokazać, że można tak nałożyć dyski na siebie, by uzyskać co najmniej \(\displaystyle{ 50\%}\) zgodności kolorów.
Dana jest rodzina wszystkich \(\displaystyle{ k}\)-elementowych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,......,2n\right\}}\). Dla każdego takiego podzbioru \(\displaystyle{ A}\) rozważmy jego najmniejszy element. Wyznaczyć średnią wielkość najmniejszego elementu po wszystkich takich \(\displaystyle{ k}\)-elementowych podzbiorach.
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.
50. Inna suma potęg
Udowodnić, że każdą liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\) można przedstawić w postaci sumy takich liczb postaci \(\displaystyle{ 2 ^{i}3 ^{j}}\), że żadna z nich nie jest dzielnikiem którejś z pozostałych.
być może indukcja; np. jeśli \(\displaystyle{ n}\) ma tę własność, to \(\displaystyle{ 2n}\) też
Problem rozwiązany przez użytkownika Msciwoj.
51. Część wspólna sfer
Przez każdy wierzchołek i środki wychodzących zeń krawędzi danego czworościanu prowadzimy sferę. Udowodnij, że otrzymane w ten sposób cztery sfery mają punkt wspólny.
Znaleźć największą liczbe \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N}}\) taką że \(\displaystyle{ \lfloor (1+\sqrt{3})^n \rfloor}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2^k}\)
Hipoteza: Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, to \(\displaystyle{ k=0}\)
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy .
54. Wędrówki pająka
Mamy \(\displaystyle{ n}\) okregów przecinajacych sie w punkcie \(\displaystyle{ O}\). Pająk wychodzi z punktu \(\displaystyle{ X}\) na okregu \(\displaystyle{ S_1}\) i idzie do punktu \(\displaystyle{ Y}\) na \(\displaystyle{ S_2}\) w taki sposób, że \(\displaystyle{ XY}\) przechodzi przez punkt przecięcia okregow \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\) różny od \(\displaystyle{ O}\). Udowodnij, ze pająk wróci do X po \(\displaystyle{ n}\) takich przejściach.
Znaleźć wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\) takie że \(\displaystyle{ \frac{p+1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{p^2+1}{2}}\) są liczbami pierwszymi.
\(\displaystyle{ p=3}\) nie jest jedynym rozwiązaniem; są inne np. \(\displaystyle{ p=61}\). Jeśli \(\displaystyle{ p>3}\) to ostatnią cyfrą \(\displaystyle{ p}\) musi być \(\displaystyle{ 1}\).
Hipoteza: (marcin7Cd): takich liczb jest nieskończona ilość.
57. Mix 28, Rozkład na sumę
1. a) Znaleźć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ a}\) takie że \(\displaystyle{ a-1}\) jest sumą dwóch (niekoniecznie różnych) dzielników liczby \(\displaystyle{ a}\)
b) Znaleźć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ a}\) takie że \(\displaystyle{ a-1}\) jest sumą trzech (niekoniecznie różnych) dzielników liczby \(\displaystyle{ a}\)
c) Podać przykład liczby \(\displaystyle{ a}\), takiej że \(\displaystyle{ a-1}\) jest sumą czterech (niekoniecznie różnych) dzielników liczby \(\displaystyle{ a}\)
d) Czy prawdziwe jest twierdzenie: dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) istnieje tylko skończona ilość liczb \(\displaystyle{ a}\) takich , że \(\displaystyle{ a-1}\) jest sumą \(\displaystyle{ n}\) (niekoniecznie różnych) dzielników liczby \(\displaystyle{ a}\)
Problem rozwiązany połowicznie przez użytkownika Ahhaa.
58. Zamek
Sekretny zamek ma na wspólnej osi 4 tarcze z których każda jest podzielona na 5 sektorów z napisanymi na nich cyframi. Zamek otwiera się tylko w takim położeniu tarcz przy którym cyfry na nich tworzą określona liczbę czterocyfrową. Znaleźć prawdopodobieństwo tego że przy przypadkowym ustawieniu tarcz zamek będzie można otworzyć.
Czy istnieje taka para funkcji \(\displaystyle{ g,h:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}\), że jedyną funkcją \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) taką, że \(\displaystyle{ \forall_{x\in \mathbb{R}} f(g(x))=g(f(x)) \wedge f(h(x))=h(f(x))}\) jest identyczność ?
Znaleźć wszystkie pary liczb naturalnych, \(\displaystyle{ n}\) oraz \(\displaystyle{ k, 2 < k < n}\), takich że \(\displaystyle{ \binom{n}{k-1}, \binom{n}{k}, \binom{n}{k+1}}\) tworzą rosnący ciąg arytmetyczny.
Hipoteza: Gdy taki ciąg istnieje, to \(\displaystyle{ n+2}\) jest kwadratem liczby naturalnej (tj. \(\displaystyle{ n+2=m^2}\) ). Ze względu na symetrię wierszy \(\displaystyle{ k}\) nie jest jedyne. Np. dla \(\displaystyle{ n=14}\) są ciągi \(\displaystyle{ {14 \choose 4}, {14 \choose 5}, {14 \choose 6}}\) oraz \(\displaystyle{ {14 \choose 8}, {14 \choose 9}, {14 \choose 10}}\) itd. ...
Problem rozwiązany przez użytkownika czekoladowy.
61. Mix, Kongruencja z silnią
Dla jakich \(\displaystyle{ n \in\NN}\) jest \(\displaystyle{ \lfloor \frac{1}{3} n \rfloor ! \equiv 0 \ (mod \ n)}\) ? W szczególności scharakteryzować rozmieszczenie tych liczb w zbiorze \(\displaystyle{ \NN}\)
Istnieje nieskończenie wiele rozwiązań, co wynika z tożsamości: \(\displaystyle{ -1 = (2m^2)^2 + (2m)^2 - (2m^2+1)^2}\).
Czy są to już wszystkie rozwiązania ?!
63. Nierówność z funkcją \(\displaystyle{ S}\)
Udowodnij, że dla dowolnej stałej \(\displaystyle{ k}\) istnieje nieskończenie wiele takich liczb całkowitych \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ S(2^n+n)+k<S(2^n)}\), gdzie \(\displaystyle{ S(a)}\) to suma cyfr \(\displaystyle{ a}\) w zapisie dziesiętnym.
Podzbiór zbioru liczb naturalnych nazywamy kwadratowym jeśli dla każdych dwóch elementów należących do tego podzbioru, ich iloczyn powiększony o 1 jest kwadratem pewnej liczby naturalnej.
Pokazać, że zbiór kwadratowy jest skończony. Znaleźć maksymalną możliwą liczbę elementów zbioru kwadratowego.
Oprócz zbiorów dwu-elementowych i trzy-elementowych, jakie podał silvaran są też i cztero-elementowe. Takim są zbiory \(\displaystyle{ \{ a, b, \ a+b+2\sqrt{ab+1} , \ 4 \sqrt{ab+1} (a+\sqrt{ab+1})(b+\sqrt{ab+1})}\) o ile \(\displaystyle{ ab+1}\) jest kwadratem; np. zbiór {1, 3, 8, 120}. Jest to przykład Eulera.
Inne otrzymuje się przez ciąg Fibonacciego np. zbiór {3, 8, 21, 2080}.
(źródło: L. Jones A polynomial approach to a Diophantine problem), Math. Mag. 72, s 52
65. Całkowita suma
Znajdź wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b}\) takie, że \(\displaystyle{ \frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}}\) też jest liczbą naturalną.
istnieje nieskończona ilość rozwiązań; jeśli \(\displaystyle{ b= a(a+1) - 1}\) to \(\displaystyle{ \frac{a}{b+1} + \frac{b}{a+1} =a}\)
Problem rozwiązany połowicznie przez użytkownika arek1357.
66. Twierdzenie Steinhausa
Dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) istnieje na płaszczyźnie koło zawierające wewnątrz dokładnie \(\displaystyle{ n}\) punktów kratowych.
Potrzebuję nie tyle dowód tego twierdzenia (chociaż jeżeli nie jest skomplikowany to może być w odpowiedzi), co przykład jego zastosowania w zadaniach...
źródło: W. S O stu prostych, ale trudnych..., BM 6
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.
67. Przecięcia stycznych
W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) są spodkami wysokości opuszczonych z wierzchołków odpowiednio \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\). Pokazać, że styczne do okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ AEF}\) w punktach \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) przecinają się w punkcie leżącym na odcinku \(\displaystyle{ BC}\).
Niech \(\displaystyle{ S(n)= \sum_{d |n} \tau(d)}\). Czy istnieją takie \(\displaystyle{ n}\), iż \(\displaystyle{ S(n)=n}\) ? Jeśli tak wyznaczyć je wszystkie, przy czym \(\displaystyle{ \tau(n)}\) oznacza ilość dzielników \(\displaystyle{ n}\)
Wykazać, że jeżeli mamy dwie dowolnie wybrane liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b}\) takie że \(\displaystyle{ a<b}\), to spośród wszystkich przedziałów postaci \(\displaystyle{ (a+2p \pi ,b+2p \pi )}\) gdzie \(\displaystyle{ p \in \mathbb{Z}}\), co najmniej jeden z tych przedziałów zawiera pewną liczbę naturalną.
Punkt \(\displaystyle{ S}\) jest środkiem okręgu wpisanego w pewien czworokąt. Wykazać, że punkt \(\displaystyle{ S}\) jest współliniowy ze środkami przekątnych tego czworokąta.
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.
74. Ortocentrum
Na czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) można opisać okrąg. Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie punktem symetrycznym do \(\displaystyle{ C}\) względem \(\displaystyle{ AB}\), a \(\displaystyle{ Q}\) punktem symetrycznym do \(\displaystyle{ C}\) względem \(\displaystyle{ AD}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ PQ}\) przechodzi przez ortocentrum trójkąta \(\displaystyle{ ABD}\).
Udowodnij, że liczba Mersenne'a postaci \(\displaystyle{ 2^p-1}\) dla \(\displaystyle{ p\in\mathbb{P}}\), \(\displaystyle{ p>2}\) jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi:
Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie zbiorem 25 punktów, takim, że w każdym 3-elementowym podzbiorze istnieją dwa punkty, których odległość nie przekracza 1. Udowodnić, że istnieje 13-elementowy podzbiór zbioru \(\displaystyle{ S}\), który można przykryć kołem o promieniu 1.
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.
78. Okrąg i punkty
Danych jest \(\displaystyle{ 110}\) punktów wewnątrz okręgu jednostkowego. Pokaż, że co najmniej cztery z tych punktów leżą wewnątrz okręgu o promieniu \(\displaystyle{ \frac{1}{8}.}\)
Na płaszczyźnie umieszczone są koła o rozłącznych wnętrzach, i każde koło jest styczne do co najmniej sześciu spośród pozostałych kół. Udowodnić, że kół tych jest nieskończenie wiele. Czy istnieje na płaszczyźnie skończona ilość kół o rozłącznych wnętrzach , z których każde jest styczne do pewnych pięciu spośród pozostałych kół ?
Dany zbiór \(\displaystyle{ X}\) \(\displaystyle{ A _{1} , A _{2} , A_{3} ,..., A_{1066}}\) - podzbiory \(\displaystyle{ X}\)
dla każdego \(\displaystyle{ i \left|A _{i}\right| > \frac{1}{2} |X|}\)
Pokazać, że istnieją \(\displaystyle{ x _{1} ,...,x _{10} \in X}\) takie, że dla każdego\(\displaystyle{ i \in {1,...,1066}}\) istnieje \(\displaystyle{ j \in {1,...,10} \ x _{j} \in A _{i}}\)
Ile jest ciągów o długości \(\displaystyle{ 2n}\) takich, że każda liczba \(\displaystyle{ i\in\left\{1,2, ... ,n \right\}}\) występuje dokładnie dwa razy oraz każde sąsiednie dwa wyrazy są różne ?
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.
82. Jednokolorowe wierzchołki
Wszystkie krawędzie sześcianu oraz jego przekątne i przekątne jego ścian pomalowano na biało lub czarno (każdy z wymienionych odcinków na jeden kolor). Udowodnij, że istnieją dwa różne czworokąty o wierzchołkach w wierzchołkach danego sześcianu i bokach jednego koloru.
W międzynarodowej konferencji naukowej wzięło udział \(\displaystyle{ 1998}\) uczonych. Wśród każdych trzech naukowców co najmniej dwóch włada tym samym językiem, a każdy z uczestników konferencji zna co najwyżej pięć języków. Udowodnij, że co najmniej \(\displaystyle{ 200}\) uczonych zna ten sam język.
"każdy graf nieskierowany o sześciu wierzchołkach i przynajmniej dziesięciu krawędziach zawiera klikę trzyelementową"
Korzystając z tego faktu udowodnij, że każdy graf nieskierowany, który ma osiem wierzchołków i nie mniej niż \(\displaystyle{ 17}\) krawędzi, zawiera klikę trzyelementową.
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą bezkwadratową , złożoną i nieparzystą. Wtedy jeśli dla dowolnego dzielnika pierwszego \(\displaystyle{ p}\) liczby \(\displaystyle{ n}\), \(\displaystyle{ p-1}\) dzieli \(\displaystyle{ n-1}\) to \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą Carmichaela
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy i Afish .
86. Mix 31; Liczby trójkątne
Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb parzystych, będących różnicami dwóch liczb trójkątnych tylko na jeden sposób.
dla jakich n calkowitych wiekszyc od \(\displaystyle{ 1}\) liczby \(\displaystyle{ {n \choose 1}{n \choose 2},...,{n \choose n-1}}\) maja wspólny dzielnik wiekszy od \(\displaystyle{ 1}\).
Doszedłem do tego że jak \(\displaystyle{ n}\) jest pierwsze to wszystko działa, jak \(\displaystyle{ n}\) jest potęgą liczby pierwszej to wydaje mi się (dowodu nie umiem) ze też jest ok.; jak jest złożona to nie działa (tez nie umiem udowodnić)
XXII OM - II - Zadanie 1; http://archom.ptm.org.pl/?q=node/1189
Problem rozwiązany link .
88. Zbiór z nwd
Niech zbiór \(\displaystyle{ A}\) zawiera \(\displaystyle{ n}\) liczb naturalnych. Pokaż że zbiór postaci \(\displaystyle{ \left\{\frac{ab}{nwd (a, b)^{2}}: a, b\in A\right\}}\) zawiera co najmniej n elementów.
Niech \(\displaystyle{ m,n}\) naturalne Pokazać że jeśli \(\displaystyle{ \frac{(m+3)^n+1}{3m}}\) całkowite to \(\displaystyle{ \frac{(m+3)^n+1}{3m}}\) jest nieparzyste.
Niech \(\displaystyle{ k>2}\) naturalne. Liczby \(\displaystyle{ k}\)-kątne to elementy ciągu \(\displaystyle{ a_n = k\cdot\frac{n^2-n}{2}-n(n-2)}\)
Twierdzenie Cauchy'ego (znalezione w Teorii liczb Narkiewicza)
Dla dowolnego \(\displaystyle{ n>2}\), każda liczba naturalna da się zapisać w postaci sumy co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) liczb \(\displaystyle{ n}\)-kątnych.
Niech \(\displaystyle{ p>2}\) liczba pierwsza oraz \(\displaystyle{ k\in\{1,2,\dots,2p+2\}\setminus\{p,2p\}}\). Niech \(\displaystyle{ N=2kp+1}\). Następujące warunki równoważne są:
(1) \(\displaystyle{ N}\) jest liczbą pierwszą
(2) istnieje \(\displaystyle{ a\in\{2,3,\dots,N-1\}}\) takie że \(\displaystyle{ N\mid a^{kp}+1}\) oraz \(\displaystyle{ \gcd(a^k+1,N)=1}\) ?
Niech \(\displaystyle{ x, a, b}\) to będą liczby naturalne , takie iż \(\displaystyle{ x^{a+b}=a^b b}\). Wykaż, ze \(\displaystyle{ a=x}\) i \(\displaystyle{ b=x^x.}\)
Czy taki wielomian \(\displaystyle{ P()}\) w ogóle istnieje...?
97. Kostki
Mamy duży zapas kostek sześciennych przezroczystych i zielonych, które są jednakowej wielkości. Z kostek takich budujemy bryły sześcienne, a kostki zielone umieszczamy w takich miejscach i w takiej liczbie, aby spełniony był następujący warunek: Jeżeli przez środek każdej kostki zielonej przeprowadzimy trzy proste równoległe do krawędzi zbudowanej bryły, to każda kostka użyta do budowy tej bryły zostanie przebita co najmniej jedną z tych prostych. Jaką najmniejszą liczbę zielonych kostek trzeba użyć do budowy bryły sześciennej złożonej ze 125 kostek ,aby spełniony był wyżej podany warunek ?
Dla każdej pary liczb całkowitych \(\displaystyle{ (x,y)}\), spełniających równanie \(\displaystyle{ (x^2+y^2)(x-2y+15)=2xy}\), oblicz sumę \(\displaystyle{ x\!+\!y}\). W odpowiedzi podaj największą możliwą sumę.
dla \(\displaystyle{ n=3}\), nierówność ta przyjmuje postać nierówności Nesbitta ;viewtopic.php?t=28103 ; potrzebne więcej informacji o tej nierówności
100. Własność liczb pierwszych
Czy istnieją \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}_{3} = \{3, 4, 5, \ldots\}}\) i \(\displaystyle{ p_{1}, \ldots, p_{n}}\) parami różne liczby pierwsze takie, że \(\displaystyle{ p_{i}\not\equiv 1\pmod{p_{j}}}\) dla \(\displaystyle{ i\neq j}\), że dla każdego \(\displaystyle{ l \in \{1, \ldots, n\}}\) istnieją \(\displaystyle{ k\in \{1, \ldots, n\}}\) i parami różne \(\displaystyle{ j_{1},\ldots j_{k}\in \{1,\ldots, n\}}\), że zachodzi:
N \(\displaystyle{ \sqrt{-1}}\) ero \(\displaystyle{ z}\) w \(\displaystyle{ \sqrt{-1}}\) ą \(\displaystyle{ z}\) ane Problemy 5
1. Mix zadania różne VI
Lemat o grupie jednorodnej; Udowodnić iż w ośmioosobowej grupie osób istnieją rozłączne grupy jednorodne trzyosobowe
Grupa jednorodna to taka, w której każdy zna każdego lub nikt nie zna nikogo
(tez twierdzenia Turána)
Wewnątrz kwadratu jest zbiór odcinków o końcach na obwodzie kwadratu. Suma długości tych odcinków jest równa 3. Wykazać, że gdy \(\displaystyle{ 8r<1}\) to w kwadracie tym istnieje koło o promieniu \(\displaystyle{ r}\) rozłączne z każdym z tych odcinków (tj. nie przecinające żadnego z nich).
Mając dany okrąg i trzy niewspółliniowe punkty w jego wnętrzu skonstruować trójkąt wpisany w ten okrąg i taki, że na każdym jego boku jest jeden z tych punktów.
100 zawodników rozgrywa turniej szachowy systemem każdy z każdym. Po 32 rundach turniej został przerwany. Wykazać, że co najmniej 4 pary graczy uzyskały ten sam wynik.
W okrąg o obwodzie \(\displaystyle{ 24}\) wpisany jest trójkąt równoboczny oraz kwadrat i nie maja one wspólnego wierzchołka. Wykazać, że co najmniej jeden z siedmiu łuków, na które te wierzchołki podzieliły okrąg ma długość nie większą niż \(\displaystyle{ 1}\).
Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) określony jest następująco \(\displaystyle{ x_1 =2 \quad x_{n+1} =\left[ \frac{3}{2} x_n \right] \quad \text{dla } \; n=1,2,3,\ldots}\)
Udowodnij, że \(\displaystyle{ 1^\circ}\) w ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) występuje nieskończenie wiele liczb parzystych i nieskończenie wiele liczb nieparzystych. \(\displaystyle{ 2^\circ}\) ciąg \(\displaystyle{ \left( (-1)^{x_n} \right)}\) nie jest okresowy.
Czworoblok to figura podzielona na cztery przystające wielokąty, tak iż część wspólna każdych dwóch z nich zawiera odcinek. Czy istnieją czworobloki wypukłe ?
Ukryta treść:
źródło: J RM
mol_ksiazkowy
11. Trójkąt i liczba
Czy dla każdej liczby wymiernej \(\displaystyle{ q}\) istnieje trójkąt, którego długości boków są liczbami wymiernymi oraz jego pole jest równe \(\displaystyle{ q}\) ? Odpowiedz uzasadnij.
W kwadracie o boku \(\displaystyle{ 1}\) znajduje się \(\displaystyle{ m^2}\) punktów, tak że każde trzy nie leżą na jednej prostej. Pokaż ze istnieje trójkąt, którego wierzchołkami są trzy spośród tych punktów oraz pole tego trojka jest nie większe niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2(m-1)^2}.}\)
Niech dany jest \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) o wysokościach \(\displaystyle{ h_{a},h_{b},h_{c}}\) gdzie \(\displaystyle{ AB=c,BC=a,AC=b}\)
Pokaż że dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ P}\) wewnatrz tego trójkata mamy \(\displaystyle{ \sqrt{PA+PB}+\sqrt{PB+PC}+\sqrt{PA+PC}\ge 2\sqrt{h_{a}+h_{b}+h_{c}}}\)
Mamy graf. I jest on nieskierowany, spójny. Ma \(\displaystyle{ 100}\) wierzchołków. Ma taką własność: każdy podgraf ma wierzchołek (choć jeden) o takiej własności, że jego stopień to jest nie większy niż \(\displaystyle{ 10}\).
Udowodnić, że liczba wierzchołków stopnia co najmniej \(\displaystyle{ 30}\) jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 66}\).
Rozważmy grę, która polega na obstawianiu orła lub reszki na ustaloną przez nas kwotę, przyjmijmy \(\displaystyle{ k}\). Jeżeli obstawimy stronę, która wypadnie, do naszego kapitału wpływa \(\displaystyle{ k}\), natomiast jeżeli przegramy, musimy oddać \(\displaystyle{ k}\). Obie strony wypadają z równym sobie prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Gracz gra strategią następującą:
- w pierwszym kroku stawia \(\displaystyle{ 1}\) na orła (zauważmy, że obstawiany typ jest bez znaczenia),
- jeżeli przegra, podwaja stawkę; jeżeli jest to niemożliwe - gra va banque,
- jeżeli wygra, ponawia krok pierwszy, stawiając \(\displaystyle{ 1}\).
Jakie jest prawdopodobieństwo, że, startując z kapitałem \(\displaystyle{ 2^N}\), przegra cały swój majątek, jeżeli gra kończy się nie później niż po \(\displaystyle{ n}\) obstawieniach? Rozważyć nieskończoną odmianę tej gry iterowanej.
Niech \(\displaystyle{ f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{e^{\frac{1}{x+1}}-1}}\). Pokaż ze dla każdego \(\displaystyle{ x\in (0,\infty)}\) mamy \(\displaystyle{ f(x)>\sqrt{\frac{x+1}{x}}}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)<\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}}\).
Znaleźć wszystkie liczby całkowite \(\displaystyle{ x}\) takie, że : \(\displaystyle{ x \equiv 4 \ (\bmod 7)}\) i \(\displaystyle{ 62x \equiv \ 102 \ (\bmod 162).}\)
Problem rozwiązany połowicznie przez użytkownika Hodor.
21. Sumy kwadratów kolejnych liczb
Czy i jakie i dla jakich \(\displaystyle{ n}\) równanie : \(\displaystyle{ a^2+ (a+1)^2+…+ (a+n)^2 = b^2}\)
ma rozwiązania w zbiorze \(\displaystyle{ \NN}\) ?
Problem rozwiązany połowicznie przez użytkownika mol_ksiazkowy.
22. Ile cyfr ?
\(\displaystyle{ \huge \left(2^{43,112,609}-1\right)^{13\cdot 2^{43,112,609}-14}}\)
ile cyfr ma liczba mówiąca o tym ile cyfr ma liczba określająca liczbę cyfr tej liczyby
Proszę o pomoc w zweryfikowaniu następującej hipotezy (albo jakiekolwiek informacje z nią związane, jeśli jest znana):
Dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) i dla każdego całkowitego dodatniego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi: \(\displaystyle{ p \nmid 2^{2^{n}}+1 \vee p^{2} \nmid 2^{2^{n}}+1}\)
Liczby ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, ..., 4k \}}\) rozmieszczono w dowolny sposób przypisujac je różnym \(\displaystyle{ 4k}\) punktom na okręgu. Udowodnić, że istnieje \(\displaystyle{ 2k}\) rozłącznych cięciw i takich, że różnica liczb na obu końcach każdej z tych cięciw jest nie większa niż \(\displaystyle{ 3k-1}\)
Niech \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) będzie funkcją mającą własność Darboux na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Pokaż że jeśli istnieje \(\displaystyle{ m>0}\) takie że \(\displaystyle{ |f(x)-f(y)| \ge m|x-y|,}\) dla \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb{R}}\) to f jest bijekcją.
Czy jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą \(\displaystyle{ p=3k+1}\), to istnieją \(\displaystyle{ a, b \in \NN}\) iż \(\displaystyle{ p=a^2+ab+b^2}\) tj. \(\displaystyle{ p}\) jest pół kwadratem sumy. Czy taki rozkład jest jednoznaczny ?
Przeanalizować ten układ: \(\displaystyle{ \begin{cases} x^k+ y = a\\ y^k+ x =a\end{cases}}\)
gdy \(\displaystyle{ k \in \NN}\) a \(\displaystyle{ a \in \RR}\)
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.
40. Iloczyn pierwiastków
Udowodnij, że jeśli liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ x ^{4} + x^{3}-1}\), to liczba \(\displaystyle{ ab}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x ^{6}+ x^{4} +x ^{3}-x ^{2} -1}\).
Ukryta treść:
Uogólnienie dla wielomianów \(\displaystyle{ x ^{4} + kx^{3}-1}\) i \(\displaystyle{ x ^{6}+ x^{4} +k^2x ^{3}-x ^{2} -1}\)
Ile jest równy wyznacznik macierzy, w której:
pierwszy rząd to \(\displaystyle{ (a_1, a_2, a_3,...., a_n)}\) \(\displaystyle{ i}\) ty rząd to \(\displaystyle{ (a_i, a_i, a_i ,...., a_{i+1}, ...., a_n)}\) \(\displaystyle{ n}\) ty rząd to \(\displaystyle{ (a_n, a_n, a_n, ...., a_n)}\)
?
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą naturalną. Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych \(\displaystyle{ \left( a,b,c,d,e\right)}\) takich, że \(\displaystyle{ n = \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}}{abcde+1}.}\)
Dane są liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b >1}\) względnie pierwsze i takie, że \(\displaystyle{ \frac{a^2}{2ab^2 -b^3 +1}}\) jest liczbą całkowitą. Udowodnić, że \(\displaystyle{ a=7}\) i \(\displaystyle{ b=2}\)
Czy dla każdej liczby niewymiernej \(\displaystyle{ x}\) istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ n \ge 1}\) taka, że iloczyn \(\displaystyle{ nx}\) ma w rozwinięciu dziesiętnym nieskończenie wiele zer lub nieskończenie wiele dziewiątek?
Udowodnić, że nie istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y}\) takie że \(\displaystyle{ x^2+x y +y^2}\) oraz \(\displaystyle{ x^2 - x y +y^2}\) są kwadratami liczb całkowitych.
W.S.
Szklana kula zrzucona z jakiegoś piętra \(\displaystyle{ n}\) piętrowego wieżowca może się rozbić. Zależy to nie od kuli, lecz od wysokości. Mamy \(\displaystyle{ k}\) takich kul. Należy ustalić minimalna ilość prób, które trzeba wykonać, zrzucając kule z pięter, aby zawsze wykryć numer najwyższego pietra, z którego zrzucona kula nie rozbije się.
Niech \(\displaystyle{ f(n, k)=m}\) będzie szukaną ilością prób. Obliczyć \(\displaystyle{ f(206, 4)}\)
Dla jakich liczb całkowitych \(\displaystyle{ m, n}\) liczby \(\displaystyle{ 3^m + 1}\) i \(\displaystyle{ 3^n + 1}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ mn}\) ?
Czy jeśli \(\displaystyle{ (\RR, *)}\) jest zbiorem z działaniem takim, że \(\displaystyle{ ( a*b) *c = a+b+c}\) dla \(\displaystyle{ a, b, c \in \RR}\) to \(\displaystyle{ a*b = a+b}\) dla \(\displaystyle{ a, b \in \RR}\) ?
O ile nie to wskazać inne (niż dodawanie) takie działanie
Dane są takie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x_1, x_2, ..., x_n, y_1, ..., y_n}\) spełniające warunek \(\displaystyle{ x_1 ^2+ x_2 ^2+...+x_n^2=y_1^2+...+y_n^2=1}\) oraz \(\displaystyle{ x_1y_1+...+x_ny_n=0}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ (x_1+...+x_n)^2+(y_1+...+y_n)^2 \le n}\)
Zając kładzie się spać na górnym piętrze łóżka piętrowego. Jest ono ustawione w ten sposób, że z jednej strony jest ściana, a z drugiej nie ma żadnej barierki, więc można spaść. Świstak widząc to zaczyna się zastanawiać jakie jest prawdopodobieństwo, że jego kolega spadnie. Pomóż świstakowi!
Wiadomo, że średnio człowiek w ciągu nocy obraca się \(\displaystyle{ n}\) razy. Jeżeli w pewnym momencie \(\displaystyle{ L-P=k}\), to Zając spadnie, gdzie \(\displaystyle{ L}\) to dotychczasowa liczba obrotów w lewo, a \(\displaystyle{ P}\) w prawo.
Dla jakich \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\): \(\displaystyle{ b^2}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ a+1}\) i \(\displaystyle{ a^2}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ b+1}\) ?
Pokaż że \(\displaystyle{ \tg1^{\circ}+\tg7^{\circ}+...+\tg175^{\circ}=-30\sqrt3}\), gdzie \(\displaystyle{ 1^{\circ},7^{\circ},...,175^{\circ}}\) tworzą ciag arytmetyczny.
Ile jest ciągów (o wyrazach \(\displaystyle{ 1,2..,m}\)) o długości \(\displaystyle{ n}\) takich, że każda z liczb \(\displaystyle{ 1,2...m}\) wystąpiła w nim przynajmniej raz.
Udowodnij, że dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p>11}\) i dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ k}\) istnieje taka \(\displaystyle{ m}\) będąca wielokrotnością \(\displaystyle{ p^k}\), że \(\displaystyle{ s(m)=p}\)
Dany jest czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\), z jego dwusiecznych zewnętrznych tworzymy nowy czworokąt \(\displaystyle{ PQRS}\). Pokaż, ze jeżeli na \(\displaystyle{ ABCD}\) można opisać okrąg to punkt przecięcia przekątnych \(\displaystyle{ ABCD}\) i środki okręgów opisanych na \(\displaystyle{ ABCD}\) oraz \(\displaystyle{ PQRS}\) są współliniowe.
Skąd wiadomo, że dla równania funkcyjnego \(\displaystyle{ f(x+yf(x)^{2})^{2}=f(x)^{2}f(y)^{2}}\) zachodzi, że \(\displaystyle{ f(x)^{2}=\sup(1+cx,0)}\)?
Określmy następująco ciąg liczb \(\displaystyle{ p_i}\):
- \(\displaystyle{ p_1, \ p_2}\) są liczbami pierwszymi
- \(\displaystyle{ p_n}\) jest największym dzielnikiem pierwszym liczby \(\displaystyle{ p_{n-1}+p_{n-2}+2000}\)
Udowodnij, że istnieje takie \(\displaystyle{ M}\), że dla każdego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ p_n \le M}\)
Powiedzmy, iż mam funkcję rzeczywistą o wartościach rzeczywistych. Czy może być tak, że jest ona ciągła na pewnym zbiorze nigdziegęstym (nieprzeliczalnym) ?
Niech \(\displaystyle{ f: \RR \to \RR}\) będzie taką, że \(\displaystyle{ f(x-1) - f(x+1) = \lfloor f(x)-f(x+1) \rfloor}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ f}\) jest okresowa.
Problem rozwiązany połowicznie przez użytkownika jutrvy.
66. Malowanie kwadratu
Ile jest istotnie różnych pokolorowań kwadratu \(\displaystyle{ 3 \times 3}\), przy których jest 7 pół czarnych i dwa białe?
wskazówka: skorzystaj z lematu Burnside’a
Dany jest ciąg \(\displaystyle{ \lfloor n \sqrt{2} \rfloor = \lfloor \sqrt{2n^2} \rfloor}\), Jego wyrazy są w pierwszym wierszu, a pod nim te których brak tj. \(\displaystyle{ 1, \ 2, \ 4, \ 5, \ 7, \ 8, \ 9 , ...}\) \(\displaystyle{ 3, \ 6, 10 , 13, 17 , 20 , 23, ...}\)
Udowodnić, że różnica liczb na \(\displaystyle{ n}\) tym miejscu (w \(\displaystyle{ n}\) tej kolumnie ) to \(\displaystyle{ 2n}\).
W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) dwusieczna kąta \(\displaystyle{ A}\) przecina okrąg opisany na tym trójkącie w punkcie \(\displaystyle{ M}\). Punkt \(\displaystyle{ S}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Udowodnij, że odcinki \(\displaystyle{ MS, MB}\) i \(\displaystyle{ MC}\) mają tę samą długość.
Niech \(\displaystyle{ D}\) będzie punktem na boku \(\displaystyle{ BC}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) tak że \(\displaystyle{ AD>BC}\). Punkt \(\displaystyle{ E}\) na \(\displaystyle{ CA}\) taki że \(\displaystyle{ \frac{AE}{EC}=\frac{BD}{AD-BC}}\). Pokaż że \(\displaystyle{ AD>BE}\) .
Udowodnić, że w każdym systemie k-kowym, gdzie \(\displaystyle{ k>1}\) dla każdej liczby \(\displaystyle{ a}\) całkowitej dodatniej i względnie pierwszej z \(\displaystyle{ k-1}\) istnieje takie \(\displaystyle{ m}\), że każda liczba całkowita większa od \(\displaystyle{ m}\) jest sumą cyfr jakiejś wielokrotności \(\displaystyle{ a}\) (w tym systemie).
Niech \(\displaystyle{ SABC}\) będzie czworościanem o objętości \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ G}\) -środek ciężkości trójkata \(\displaystyle{ ABC}\), \(\displaystyle{ O}\) - środek odcinka \(\displaystyle{ SG}\). Niech \(\displaystyle{ S'A'B'C'}\) będzie obrazem w symetrii środkowej \(\displaystyle{ SABC}\) względem \(\displaystyle{ O}\). Oblicz objętość części wspólnej \(\displaystyle{ SABC}\) oraz \(\displaystyle{ S'A'B'C'}\).
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.
77. Zmiany w trójce
Mamy \(\displaystyle{ X= \{ 3, 4, 12 \}}\) i jeśli jakieś \(\displaystyle{ a , b \in X}\) to można je zamienić na \(\displaystyle{ 0,6a -0,8b}\) i \(\displaystyle{ 0,8a +0,6b}\). Czy można zamienić przez takie zamiany \(\displaystyle{ X}\) na zbiór \(\displaystyle{ Y= \{ 4, 6, 12 \}}\) ?
Znajdź wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b}\) takie że oba wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{a^{3}+b}{b^{3}-3a}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac {b^{3}+a}{a^{3}-3b }}\) są naturalne
Znależć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\) takie że \(\displaystyle{ 2(n^2+n-1)^2+7}\) jest kwdratem liczby naturalnej.
Wiadomo że 1 i 4 pasują ale czy są jeszcze inne a może już nie ma ?
Niech \(\displaystyle{ a\ge 1}\) będzie liczbą naturalną.
Oznaczmy \(\displaystyle{ S(n)=1+a+a^2+a^3+...+a^n}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,...}\)
Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ S(n)}\) jest liczbą trójkątna dla każdego \(\displaystyle{ n \in Z_{+}}\), to \(\displaystyle{ a=9}\)
Udowodnij, że układ \(\displaystyle{ \begin{cases}x^{6}+x^{3}+x^{3}y+y=147^{157} \\
x^{3}+x^{3}y+y^{2}+y+z^{9}=157^{147} \end{cases}}\)
nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych \(\displaystyle{ x, y, z}\).
Niech \(\displaystyle{ f, g}\) będą niestałymi wielomianami o zespolonych współczynnikach. Załóżmy, że \(\displaystyle{ f^{-1}(k) = g^{-1}(k)}\) dla \(\displaystyle{ k = 0, 1}\). Czy \(\displaystyle{ f \equiv g}\)?