[Teoria liczb] Istnienie nieskończonego zbioru

[Piotr Rutkowski]

Bardzo ciekawy i prawdopodobnie (wg mnie) bardzo, bardzo trudny problem :

Czy istnieje nieskończony zbiór liczb naturalnych, taki, że suma elementów każdego jego skonczonego podzbioru jest potęgą liczby naturalnej?
Powodzenia

[Qń]

Każda liczba jest swoją pierwszą potęgą, więc w tej wersji każdy nieskończony zbiór liczb naturalnych spełnia ten warunek.

Pozdrawiam.
Qń.

[Piotr Rutkowski]

Ehh, skoro tak, to przeformułuję do już czysto formalnej postaci:

Rozstrzygnąć, czy istnieje nieskończony podzbiór \(\displaystyle{ A}\) liczb naturalnych, taki, że
\(\displaystyle{ \forall_{A_{1}\subset A}}\) takich, że \(\displaystyle{ A_{1}=\{a_{1},a_{2},...,a_{n}\} \ \forall_{i\in \{1,2,...,n\}} a_{i}\in \mathbb{N}}\) spełniony jest warunek:
\(\displaystyle{ \exists_{n,p \in \mathbb{N} \ p>1}\sum_{i=1}^{n}a_{i}=n^{p}}\)

Teraz już chyba wiadomo o co chodzi Ale Qń, jestem ciekaw Twojej opinii na temat tego zadania. Co o nim sądzisz?

[Qń]

Mały konflikt oznaczeń Ci się wkradł, ale wiadomo o co chodzi.

Zadanie wygląda na mocno niebanalne, strzelam, że takiego zbioru nie ma, ale na razie nie mam pomysłu jak w ogóle to ruszyć. Pokombinuję. A Ty znasz rozwiązanie?

Pozdrawiam.
Qń.

[Piotr Rutkowski]

Raczej nie za bardzo. Mogę jedynie polegać na słowach kilku znacznie mądrzejszych ode mnie osób i dać jakieś wątłe wskazówki (pełnego dowodu niestety brak).

Podobno dowód następującego stwierdzenia jest równowazny zrobieniu naszego zadania:

Dla danych liczb \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) takich, że \(\displaystyle{ min(b,c)}\)

[salda_fadla]

Ciekaw jestem czy w rodzinie skonczonych zbiorow spelniajacych warunek z pierwszego postu mozna znalezc zbiory dowolnej wielkosci.

[arek1357]

A czy zbiory jednoelementowe to też potęgi???

-- 30 grudnia 2009, 01:24 --

więc zakładam że jednoelementowe muszą być też potęgami.
Mi coś takiego przyszło do głowy że taki zbiór może dałoby się skonstruować.
weźmy: 1 i 8 obie te liczby są potęgami a ich suma też więc mamy już zbiór dwuelementowy {1,8}

a teraz jakby dorzucił do niego :

\(\displaystyle{ a^{b}}\)

takie że:

\(\displaystyle{ 1+ a^{b}=x_{1}^{y_{1}}}\)

\(\displaystyle{ 8+ a^{b}=x_{2}^{y_{2}}}\)

\(\displaystyle{ 9+ a^{b}=x_{3}^{y_{3}}}\)

Zakładam że da się znaleźć taki a do b

więc mamy zbiór już trzyelementowy:

\(\displaystyle{ \{1,8, a^{b} \}}\)

i tak jak będziemy sobie robić do nieskończoności otrzymamy zbiór nieskończony o jaki chodzi w zadaniu.
Sęk tym że trzeba jeszcze udowodnić , że:

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{k \in N} \bigvee\limits_{a,b,c,d \in N}:k=a^{b}-c^{d}}\)

Moja intuicja podpowiada mi że chyba tak jest dobranoc!!!

-- 30 grudnia 2009, 23:57 --

Można napisać jakieś programiki w C++ szukające kolejnych elementów takiego zbiorku .
w sumie sprawa wygląda ciekawie bo już żeby skonstruować zbiór taki o niewielkiej mocy trzeba się naszukać, oczywiście najlepiej brać każdy następny element możliwie jak najmniejszy!!

[Piotr Rutkowski]

Mhm, Twój pomysł nie jest niczym innym tylko próbą zwykłej indukcji, która tutaj jest co najmniej nieoczywista... no chyba, że pominąłem jakiś oczywisty fakt. Tak czy siak spędziłem trochę czasu nad tym zadaniem i to co Ci podpowiada intuicja jest niezwykle trudno udowodnić (jest to otwarty problem powiązany z zagadnieniem Catalana). Jeśli naprawdę uważasz, że jest to takie oczywiste, to najpierw spróbuj napisać w C++ program wstawiając \(\displaystyle{ k=6}\)
Jeśli zdołałbyś udowodnić ten fakcik, to prawdopodobnie dostałbyś stypendium na dowolnej uczelni i medal Fieldsa na dokładkę
Pozdrawiam i polecam studium tego problemu... Wciąż pozostał otwarty.

[arek1357]

Oj broń boże nie uważam że to oczywiste ale podzieliłem się moimi przemyśleniami...
Mi chodzi o to że ja w każdym kroku chcę dołożyć jeden element do tego zbiorku spełniający

\(\displaystyle{ 2^{k-1}}\) równań

i będący postaci

\(\displaystyle{ x^{y} ,y>1}\)

i bym się starał ze zbioru rozwiązań wybrać najmniejszy element ...

[Piotr Rutkowski]

No tak, ale wydaje mi się, że tutaj ten potencjalny krok indukcyjny jest o wiele bardziej skomplikowany niż samo zadanie... Po prostu Twojego lematu dla \(\displaystyle{ k=6}\) nie udowodniono ani nie obalono do tej pory, a paru matematyków pracowało nad tym problemem, dlatego powątpiewam w dowód lematu w formie ogólnej Wciąż zachęcam do wrzucania innych pomysłów

[arek1357]

No a czy coś wiadomo o tym równaniu?

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{k \in N} \bigvee\limits_{x,a,y,b \in N}:k=x^{a}-y^{b}, a,b>1}\)

No a co wiadomo o tym równaniu czy ma jakieś ogólne rozwiązania bo że ma to wiadomo ale np. dla k=2 nie mogę znaleźć i wogóle nie spotkałem się z tym równaniem raczej nigdzie???

[Piotr Rutkowski]

bo że ma to wiadomo

Na pewno? Właśnie o tym Twoim lemacie mówiłem. Tutaj prawie nic nie wiadomo. Dla \(\displaystyle{ k=6}\) nie wiadomo czy ma w ogóle jakieś rozwiązania. Dla dwójki akurat łatwo znaleźć (np. \(\displaystyle{ 2=3^{3}-5^{2}}\)), natomiast czy Twój lemat jest prawdziwy nie rozstrzygnięto do tej pory...
Zagadnienie Catalana polega na znalezieniu wszystkich potęg właściwych różniących się o 1, a jak na razie postęp przy ogólnym rozwiązaniu jest niewielki. Do tej pory większość osób pracujących nad tym zagadnieniem z teorii liczb wyraża przypuszczenie, że rozwiązań równań postaci podanej przez Ciebie dla ustalonego \(\displaystyle{ k}\) jest skończenie wiele. Jak na razie dowodu brak...