Najmniejsza liczba naturalna spełniająca dane warunki

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 21 gru 2011, o 11:46

Wyznaczyć najmniejszą liczbę \(\displaystyle{ a \in \mathbb{N}}\) taką, że:

\(\displaystyle{ a=b^3+c^3 \wedge a=d^3+e^3}\), gdzie \(\displaystyle{ b,c,d,e \in \mathbb{N} \wedge b \neq d \wedge b \neq e \wedge c \neq d \wedge c \neq e}\)

Odpowiedź uzasadnić.

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 21 gru 2011, o 11:55

Taksówka Hardy'ego

\(\displaystyle{ 1729=1^3+12^3=9^3+10^3}\)

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 21 gru 2011, o 12:06

Ok, a jak udowodnić, że to najmniejsza liczba?

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 22 gru 2011, o 10:39

tatteredspire pisze:jak udowodnić, że to najmniejsza liczba?

Jest taka tożsamość Ramanujana:

jeśli \(\displaystyle{ x^2+xy+y^2=3kz^2}\)

to \(\displaystyle{ (x+k^2z)^3+(ky+z)^3=(kx+z)^3+(y+k^2z)^3}\)

może z tego coś wyciśniesz?