[Wielomiany] Wielomiany Newtona

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[Wielomiany] Wielomiany Newtona

Post autor: Swistak » 7 lip 2011, o 14:17

O ile mnie pamięć nie myli, to wielomianem Newtona stopnia n, k zmiennych nazywa się wielomian wielu zmiennych taki, że \(\displaystyle{ W_{n, k}(a_1, a_2, ..., a_k)=a_1^n+a_2^n+...+a_k^n}\)
zad. 1
Udowodnij, że dla każdego naturalnego N istnieją takie 2 ciągi liczb
a) rzeczywistych
b) całkowitych
\(\displaystyle{ a_1, a_2, ..., a_k}\) oraz \(\displaystyle{ b_1, b_2, ..., b_k}\), że ciągi wartości wielomianów Newtona o stopniach 1, 2, ..., N, k zmiennych dla tych ciągów są równe oraz ciąg b nie jest permutacją ciągu a.
zad. 2
Mamy dane 2 ciągi \(\displaystyle{ a_1, a_2, ..., a_n}\) oraz \(\displaystyle{ b_1, b_2, ..., b_n}\) liczb
a) całkowitych
b) rzeczywistych
takie, że ciągi wartości wielomianów Newtona n zmiennych o stopniach 1, 2, ..., n są dla tych ciągów równe. Rozstrzygnij dla jakich n ciąg b musi być permutacją ciągu a.

Oba zadanie są moimi wymysłami w sporej części wziętymi z innego zadania, przy czym zadanie 1 potrafię zrobić, a do zadania 2 nie znam nawet odpowiedzi.

ODPOWIEDZ