[Nierówności][Planimetria] Nierówność z bokami trójkata

[rochaj]

Pokaż że jeśli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są bokami trójkata oraz \(\displaystyle{ c\geq a}\) to \(\displaystyle{ \frac{b^{2}+c^{2}}{a^{2}}\geq \frac{2\sqrt{3}c\cdot\sin\beta -a}{b+c}}\)


gdzie \(\displaystyle{ \beta}\) jest kątem \(\displaystyle{ ABC}\).

[mol_ksiazkowy]

Nierozwiązane problemy III, Zadanie 40

Ukryta treść:    

Z twierdzenia (nierówności) Weitzenbocka \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2 \geq 4\sqrt{3}S}\) tj. \(\displaystyle{ b^2+c^2 \geq 2 \sqrt{3}ac \sin(\beta) - a^2}\) tj. :
\(\displaystyle{ \frac{ b^2+c^2 }{a^2} \geq \frac{2 \sqrt{3}c \sin(\beta) - a }{a} > \frac{2 \sqrt{3}c \sin(\beta) - a }{b+c}}\)

Uwagi: założenie \(\displaystyle{ c \geq a}\) jest zbędnym