[Nierówności] wykazanie nierównosci z liczbami naturalnymi

[darek20]

Niech \(\displaystyle{ a_{i}, i=1,2,3,\cdots,n}\) są liczbami naturalnymi takimi że \(\displaystyle{ ~ \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots +\frac{1}{a_{n}}=1}\)
Pokaż ze \(\displaystyle{ ~ max~(a_{1},a_{2},\cdots, a_{n})\leq n^{2^{n-1}}}\)

[mol_ksiazkowy]

Zadanie jest ze \(\displaystyle{ 101}\) Nierozwiazanych

Ukryta treść:    

Ile jest max\(\displaystyle{ a_j}\) gdy \(\displaystyle{ a_j \in N}\) , i:
* \(\displaystyle{ \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + … + \frac{1}{a_1} = 1}\) ?

Twierdzenie
Największa wartość jaką może przyjąc \(\displaystyle{ a_j}\) jeśli (*) równa jest
\(\displaystyle{ r_n - 1}\) gdzie
\(\displaystyle{ r_1 = 2}\) oraz \(\displaystyle{ r_{n+1} = r_1...r_n + 1}\) a więc jest to ciąg
\(\displaystyle{ 2, 3, 7, 43, ....}\)
(zródło: Lev. K, cz. III , o nierównosciach, )
mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + … + \frac{1}{r_{n - 1}} + \frac{1}{r_n - 1}= 1}\) oraz \(\displaystyle{ r_{n+1} = r_n^2 - r_n +1}\)
stad tez \(\displaystyle{ r_n \leq n^{2^{n - 1}}}\)

[mol_ksiazkowy]

kontynuacja zadania

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ r_n \leq n^{2^{n - 1}}}\) indukcja po n, przy uzyciu rekurencji na ciąg \(\displaystyle{ r_n}\)
Jes to tzw. problem Kelloga