[Wielomiany] Iteracje i dzielenie wielomianów

[mol_ksiazkowy]

Możliwie najsprytniej pokazać, iż wielomian \(\displaystyle{ Q}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ P(x)-x}\). A czy może dzielić on się - gdy mamy parzysta ilość iteracji przez: \(\displaystyle{ P(P(x))- x}\)?

\(\displaystyle{ Q(x)= P \circ P \circ .... \circ P \circ (x) - x}\)

[przemk20]

jesli dla pewnego \(\displaystyle{ x_0}\) mamy
\(\displaystyle{ P(x_0) = x_0}\)
to wtedy takze mamy
\(\displaystyle{ Q(x_0) = P \circ P \circ ...\circ P(x_0) - x_0 = 0 \\}\)

[mol_ksiazkowy]

Ale..... Jesli wielomiany P i Q maja te same miejsca zerowe to z tego nie wynika ze jeden dzieli drugi, np
\(\displaystyle{ P(x)=x(x^2+1)}\)
\(\displaystyle{ Q(x)=x(x^2+3)}\)
etc

[przemk20]

tylko, to jest dla kazdego \(\displaystyle{ x_0}\)

[mol_ksiazkowy]

aha, ok a co np jesli mamy wielomiany
\(\displaystyle{ (x^2+3)^4 (x^2+1)^2}\) i \(\displaystyle{ (x^2+3)^5 (x^2+1)}\)
moze pokazcie dowod dla
\(\displaystyle{ P(x)=x^2+x+1}\)
?

[przemk20]

no nalezalo by chyba jeszcze pokazac ze jesli
\(\displaystyle{ \frac{d^k (P(x_0)-x_0)}{dx_0^k} =0 \frac{d^kQ (x_o)}{dx_0^k}=0 \\}\)
co latwo idzie przez indukcje,
a do czego mamy l.zes.