[Teoria liczb] Własność z najmniejszą wielokrotnością

[mol_ksiazkowy]

Dany jest układ liczb naturalnych \(\displaystyle{ a_j}\), j=1,....3n. z przedziału [1, 6n] - parami różnych, ale takich, że najmniejsza wspólna wielokrotność każdych dwóch z nich jest większa od 6n. Wykaż, że wszystkie one są większe od 2n.

[vi'vo]

Hmm... nie wiem czy dobrze zrozumiałem treść powyższego zadania, ale ...
Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ n=6}\) wtedy \(\displaystyle{ a_{j} \in [1,36]}\) przy czym \(\displaystyle{ j \in [1,18]}\).
Weźmy teraz dwa wyrazy powiedzmy (skoro dla wszystkich, to i dla tej szczególnej) :
\(\displaystyle{ a_{m}}\) i \(\displaystyle{ a_{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ m,n \in [1,18]}\)
i :
\(\displaystyle{ a_{m}=11}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=10}\)
Liczby te są względzie pierwsze, wiec \(\displaystyle{ NWW(a_{n},a_{m})=11 \ast 10= 110 > 36}\)
a mimo to \(\displaystyle{ a_{n} < 12}\) i \(\displaystyle{ a_{m} < 12}\)

[Elvis]

To nie jest dobry przykład. Podałeś tylko jedną parę.

[mol_ksiazkowy]

dowód nie wprost
Założenia:
\(\displaystyle{ a_1>0}\)
\(\displaystyle{ NWW(a_i, a_j)>6n}\) dla \(\displaystyle{ i\ne j}\)
\(\displaystyle{ a_1 \leq 2n}\)


O ile \(\displaystyle{ a_1 \leq 2n}\) to w zbiorze \(\displaystyle{ A= \{ 3n+1, ...,6n \}}\) istnieja co najmniej dwie rózne wielokrotnosci \(\displaystyle{ a_1}\) jedna w <2n, 4n) zas druga w <4n, 6n). Dalej niech \(\displaystyle{ f: \{a_2,...,a_{6n}\} \to A}\) tj liczbie \(\displaystyle{ a_j}\) przyporzadkowujemy jej najmniejsza wielokrotnosc lezaca w zbiorze A. f jest poprawnie okreslona.
Dzieki temu iz \(\displaystyle{ NWW(a_i, a_j)>6n}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injektywna. tj (\(\displaystyle{ ka_i =la_j \in A}\), k, l sa l. naturalne) nie jest mozliwa. Uzyskalismy wiec \(\displaystyle{ (3n-1)+2=3n+1}\) róznych liczb w zbiorze A, który ma \(\displaystyle{ 3n}\) elementów, tj sprzecznosc,