[Równania funkcyjne] 2 równania funkcyjne

[Piotr Rutkowski]

Heh, te równania to niezły hardkor, a ja niestety nie mam do nich odpowiedzi. Może Wam się uda je rozwiązać

1)Znajdź wszystkie funkcje nieskończenie różniczkowalne \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}}\) spełniające zależność:
\(\displaystyle{ 2f(x + 1) = f(x) + f(2x)}\)

2)Znajdź funkcje \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}}\) takie, że:
\(\displaystyle{ f((3 + \sqrt {2})x) + f((1 + 3\sqrt {2})x) = 2f((2 + 2\sqrt {2})x)}\)

[robin5hood]

2)
warunek
\(\displaystyle{ f(t)+f(u)=f(t+u)}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ t,u\in D_f}\)
spełniają tylko niektóre funkcje liniowe

[andkom]

1) Co prawda rozwiązanie tego zadania opowiadałem już polskiemumiśkowi "na żywo", ale dopiszę je i tutaj:

Wykorzystamy ciągłość drugiej pochodnej funkcji f.
Mamy \(\displaystyle{ 2f''(x+1)=f''(x)+4f''(2x).}\)
Rozważmy dowolny przedział [a,b] zawierający zarówno 0, jak i 2.
f'' przyjmuje w tym przedziale wartość największą \(\displaystyle{ M=f''(x_M)}\) i najmniejszą \(\displaystyle{ m=f''(x_m)}\). Ponieważ
\(\displaystyle{ a\leqslant\frac a2\leqslant\frac{x_M}2}\)
więc \(\displaystyle{ m\leqslant f''\left(\frac{x_M}2\right)\leqslant M}\) oraz \(\displaystyle{ m\leqslant f''\left(\frac{x_M}2+1\right)\leqslant M}\)
Podobnie \(\displaystyle{ m\leqslant f''\left(\frac{x_m}2\right)\leqslant M}\) oraz \(\displaystyle{ m\leqslant f''\left(\frac{x_m}2+1\right)\leqslant M}\)
Stąd
\(\displaystyle{ 2m\leqslant2f''\left(\frac{x_m}2+1\right)=f''\left(\frac{x_m}2\right)+4f''\left(x_m\right)\leqslant M+4m}\)
oraz
\(\displaystyle{ m+4M\leqslant f''\left(\frac{x_M}2\right)+4f''\left(x_M\right)=2f''\left(\frac{x_M}2+1\right)\leqslant2M}\)
Po dodaniu stronami mamy \(\displaystyle{ 3m+4M\leqslant3M+4m}\), czyli \(\displaystyle{ M\leqslant m}\). Wynika stąd, że f'' jest stała na przedziale [a,b]. Ponieważ przedział ten wybieraliśmy dość dowolnie, więc f'' po prostu jest stała. Jednak jedyna stała funkcja spełniająca 2h(x+1)=h(x)+4h(2x) to funkcja zerowa.
Wynika stąd, że f' jest funkcją stałą, a ponadto 2f'(x+1)=f'(x)+2f'(2x). Znowu - ta stała to musi być zero, czyli f'(x)=0. Zatem f jest funkcją stałą. Proste sprawdzenie, że funkcje stałe spełniają nasze równanie kończy rozwiązanie.

[Rush]

2. Podstawmy \(\displaystyle{ a=(3+ \sqrt{2} ) b=(1+3 \sqrt{2})}\)
Rownanie przybiera postac
\(\displaystyle{ f(ax) + f(bx) = 2 f((2+2 \sqrt{2} )x)= f( \frac{(a+b)x}{2})}\)
Dzielac przez 2 otrzymujemy, ze \(\displaystyle{ \frac{f(ax)+f(bx)}{2} = f( \frac{ax+bx}{2} )}\)
Podstawmy ax=u bx=y. Rownanie wyglada teraz tak:
\(\displaystyle{ \frac{f(u)+f(y)}{2} = f( \frac{y+u}{2})}\)
Niech teraz \(\displaystyle{ g(u) = y(u) + y(0)}\) mamy **
\(\displaystyle{ \frac{g(u)+g(y)}{2} = g( \frac{y+u}{2}) *}\) Ponadto g(0) = 0 oraz g(u) jest funkcja ciagla.
Kladac y=0 dostajemy \(\displaystyle{ \frac{g(u)}{2} = g( \frac{u}{2})}\)
Polozmy u+y=u, otrzymamy wtedy \(\displaystyle{ \frac{g(u+y)}{2} = g( \frac{u+y}{2})}\)
Podstawiajac powyzszy wniosek do * dostajemy, ze
\(\displaystyle{ g(u+y) = g(u) + g(y)}\) Jest to rownanie Cauchyego oraz kazda funkcja je spelniajaca daje sie zapisac w postaci g(u) = au dla pewnego stalego a. Wstawiac g(u) do ** otrzymujemy, ze \(\displaystyle{ y(u)=au-f(0)}\) a zatem nasza funkcja jest postaci \(\displaystyle{ y(u)=au-b}\)
Mam nadzieje, ze sie nigdzie nie pomylilem.

[Piotr Rutkowski]

Dzięki za dobre chęci, ale już dawno doszedłem do wniosku, że w tym zadaniu kryje się błąd. Po pierwsze nie ma żadnej wzmianki o ciągłości, ograniczoności itd. itp.
Po drugie równanie to spełniają m. in. wszystkie funkcje spełniające równanie Cauchy'ego (czyli niekoniecznie liniowe, bo mogą być nieciągłe), zatem zdaje mi się, że rozwiązywanie tego równania mija się z celem... Sorki