[Teoria liczb] Suma potęg 10

[Jakub Nowotyńsk]

Czy suma dwóch lub więcej potęg liczby 10 o wykładnikach naturalnych ktore sie nie powtarzają może być parzystą potęgą liczby naturalnej?

[magnolia91]

\(\displaystyle{ 10^{x}+10^{y}+10^{z}+...}\) jest podzielne
przez 2 i przez 5.
Wobec tego prawa strona też dzieli się przez 2 i przez 5 dlatego gdyby suma potęg 10 była potęgą liczby naturalnej była by postaci \(\displaystyle{ (10a)^{p}}\) gdzie a jest liczbą naturalną.
Nie może być a=1 bo \(\displaystyle{ 10^{x+1}>10^{x}+10^{x-1}+...+100+10}\).
Przypadek a>1 pozostawiam nierozstrzygnięty.

Jedno wyrażenie - jedne klamry nad całością. Kasia

[przemk20]

jak to przez 2 i 5 przeciesz moze byc np.
\(\displaystyle{ 10^k+ 10^0}\)
a czy chodzi tobie o to
\(\displaystyle{ 10^k + 10^{k-1} + .. + 100 + 10 + 1 \equiv 3 \mod 4}\)
czyli nie moze byc

[mostostalek]

jak to przez 2 i 5 przeciesz moze byc np.
\(\displaystyle{ 10^k+ 10^0}\)

0 nie jest liczbą naturalną..

załóżmy, że istnieje a takie że:

\(\displaystyle{ (10a)^p=10^k+10^{k_1}+10^{k_2}+...+10^{k_n}}\), gdzie \(\displaystyle{ k<k_1<k_2<...<k_n}\)

załóżmy, że a jest takie, że 10 nie dzieli a..
wtedy mamy:
\(\displaystyle{ 10^p \cdot a^p=10^k+10^{k_1}+10^{k_2}+...+10^{k_n}}\)
teraz podzielimy p na 3 przypadki:
gdyby \(\displaystyle{ p<k}\)
to obie strony dzielimy przez \(\displaystyle{ 10^p}\) i zauważamy, że lewa strona, w przeciwieństwie do prawej nie jest podzielna przez 10 - sprzeczność
gdyby: \(\displaystyle{ p>k}\) to dzielimy obie strony przez \(\displaystyle{ 10^k}\) i zauważamy, że tym razem prawa strona w przeciwieństwie do lewej nie jest podzielna przez 10 - sprzeczność.
3 przypadek: \(\displaystyle{ p=k}\)
wtedy dzielimy przez \(\displaystyle{ 10^k}\) i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a^p=1+10^{k_1-k}+10^{k_2-k}+...+10^{k_n-k}}\)
\(\displaystyle{ a^p-1=10^{k_1-k}+10^{k_2-k}+...+10^{k_n-k}}\)
zauważmy, że nie ma takiej liczby naturalnej a aby \(\displaystyle{ a^p-1}\) było podzielne przez 10. Prawa strona jest podzielna przez 10 - sprzeczność

wcześniej założyliśmy że a nie jest podzielne przez 10.
do końca dowodu należy coś zrobić z tymi a podzielnymi przez 10..
Jeśli a jest podzielne przez 10 to oczywiście:
\(\displaystyle{ \exists p_1 \ \ \exists a_1,\hbox{ że } 10^p \cdot a^p=10^{p_1} \cdot (a_1)^p}\), że \(\displaystyle{ a_1}\) nie jest podzielne przez 10.
Rozumowanie analogiczne jak dla p.

[Piotr Rutkowski]

zauważmy, że nie ma takiej liczby naturalnej a aby \(\displaystyle{ a^p-1}\) było podzielne przez 10. Prawa strona jest podzielna przez 10 - sprzeczność

Powiedziałbym, ze jest to co najmniej wygodne

Może dobrze, że temat się ruszył, przydałoby się żeby ktoś w końcu to rozwiązał...
Swego czasu też miałem jakieś podejścia, ale zadanie wygląda na naprawdę skomplikowane

[abc666]

Powiedziałbym, ze jest to co najmniej wygodne

A to jest w ogóle prawdziwe? Wystarczy a z cyfrą jedności 1, chyba, że znowu czegoś nie widzę

[mostostalek]

A to jest w ogóle prawdziwe? Wystarczy a z cyfrą jedności 1, chyba, że znowu czegoś nie widzę

nie jest prawdziwe.. co prawda mówimy tu o a>1 bo dla a=1 sprzeczność została udowodniona..

niestety \(\displaystyle{ 11^2-1=120}\) na przykład.

natomiast czy istnieje takie a, że \(\displaystyle{ a^p-1=10^{k_1}+10^{k_2}+...+10^{k_n} \hbox{ gdzie }k_1<k_2<...<k_n}\) to już temat zupełnie inny
dodatkowo mamy jeszcze założenie, że p jest parzyste

[Piotr Rutkowski]

Powiedziałbym, ze jest to co najmniej wygodne

A to jest w ogóle prawdziwe? Wystarczy a z cyfrą jedności 1, chyba, że znowu czegoś nie widzę

Naprawdę nikt tu nie docenia odrobiny sarkazmu...
Cóż, temat został podbity, mam nadzieję, że ktoś w końcu złamie to zadanie.

Aha, tak tylko dodam, że przejście do \(\displaystyle{ a^{p}=10^{k_{1}}+...+10^{k_{n}}+1}\) nieznacznie upraszcza zadanie. Znów pytamy się o parzystą potęgę złożoną z samych jedynek i zer (m. in. dlatego nie ma znaczenia czy rozważamy liczby \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) czy \(\displaystyle{ \mathbb{N}_{0}}\)).

[XMaS11]

Wystarczy pokazać, że żaden kwadrat nie jest tej postaci.
Niech więc \(\displaystyle{ a^{2}=10^{k_{1}}+...+10^{k_{l}}+1}\).
Ostatnią cyfrą \(\displaystyle{ a}\) jest 1 lub 9.
Gdy ostatnią cyfrą a jest 1 to :
\(\displaystyle{ a=10n+1}\).
Dostajemy :
\(\displaystyle{ (10n+1)^{2}=10^{k_{1}}+...+10^{k_{l}}+1}\)
\(\displaystyle{ 10n(10n+2)=10^{k_{1}}+...+10^{k_{l}}}\)
\(\displaystyle{ 2n(5n+1)=10^{z_{1}}+...+10^{z_{l}}}\), gdzie \(\displaystyle{ z_i=k_i-1}\).
Gdyby n było niepodzielne przez 5, to ostatnią cyfrą tej liczby u góry nie mogła by być ani 1 ani 0, zatem \(\displaystyle{ n=5n_1}\). Wstawiamy i dostajemy :
\(\displaystyle{ n_1(25n_1+1)=10^{z_1-1}+...+10^{z_l-1}}\)
Lewa strona jest parzysta, zatem prawa też, czyli prawa się kończy na 0, czyli jest podzielna przez 5, czyli lewa też jest podzielna przez 5, zatem \(\displaystyle{ 5|n_1}\). Podobnie dalej pokazujemy, że \(\displaystyle{ n_1}\) jest parzyste i dzielimy stronami przez 10. Kontynuując to rozumowanie dochodzimy do tego, że dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ m}\) zachodzi \(\displaystyle{ 5^m|n}\), zatem \(\displaystyle{ n=0}\), czyli \(\displaystyle{ a=1}\), sprzeczność.
Gdy ostatnią cyfrą a jest 9, robimy analogicznie.
Pozdro dla Sylwka za wstępną analizę tego rozwiązania.

[XMaS11]

To rozwiązanie jest fake'owe, ale nie kasuje.

[Swistak]

Wiem, że nic co powiem w tej chwili nie będzie zbyt odkrywcze, ale przynajmniej mi to znacznie rozjaśniło pogląd na sprawę.
1. Zauważmy, że coś jest parzystą potęgą, to jest w szczególności kwadratem, a jeżeli jest kwadratem, to jest parzystą potęgą, a więc sformułowanie "parzysta potęga" można z powodzeniem zastąpić przez sformułowanie "kwadrat".
2. Liczba składająca się z potęg 10 jest niczym innym niż liczba składająca w zapisie dziesiętnym z samych zer i jedynek.
3. Zauważmy, że bez straty ogólności możemy przyjąć, że cyfra jedności tej liczby jest 1, ponieważ gdyby liczba kończyłaby się na nieparzystą liczbę zer, to z oczywistych powodów nie mogłaby być kwadratem, a jeżeli kończyłaby się na parzystą liczbę zer i byłaby kwadratem, to także liczba z tymi uciętymi zerami nadal byłaby kwadratem.

[XMaS11]

Ciekawe , czy \(\displaystyle{ 10^l+1}\) jest nieresztą kwadratową \(\displaystyle{ (mod \ 10^{l+1})}\). Jest to prawda dla \(\displaystyle{ l=4k,4k+2,4k+3}\)(o ile się nie pomyliłem, ale chyba było ok), ale dla \(\displaystyle{ l=4k+1}\) nie umiem tego rozstrzygnąć. Oczywiście pozytywna odpowiedź na to pytanie daje negatywną odpowiedź na pytanie wyjściowe.

[mol_ksiazkowy]

Problem 72 z Nierozwiązanych (starych)...
Uogólnienie
Dla jakich \(\displaystyle{ c>1}\) wyrażenie \(\displaystyle{ \sum_{j } c^{n_j}}\) jest kwadratem liczby całkowitej
(np. \(\displaystyle{ 2^6+ 2^5+ 2^2}\)) ?