[Planimetria] Równanie wektorowe dla trójkąta

[mol_ksiazkowy]

Jest to klasyczne tj. takie równanie * gdzie punkty A, B, C są niewspółliniowe, zaś x,y,z są to liczby rzeczywiste. Szukany jest punkt S, który realizuje *. Wykaż poniższe własności tegoż równania:

1) Gdy \(\displaystyle{ x+y+z \neq 0}\) to równanie * ma dokładnie jedno rozwiązanie,
2) Jeśli \(\displaystyle{ \frac{y}{x} >0}\) i \(\displaystyle{ \frac{z}{x} >0}\) to S leży we wnętrzu trójkąta ABC
3) Dla x=y=z=1, rozwiązaniem * jest środek ciężkości trójkąta ABC
4) Rozwiązaniem równania * dla \(\displaystyle{ x=a, y=b, z=c}\) jest środek okręgu wpisanego w trójkąt ABC***
5) Rozwiązaniem równania * dla \(\displaystyle{ x=sin(2\alpha), y=sin(2\beta), z=sin(2\gamma)}\) jest środek okręgu opisanego na trójkącie ABC
6) Rozwiązaniem równania dla \(\displaystyle{ x=ctg(\beta)ctg(\gamma), y=ctg(\alpha)ctg(\gamma), z=ctg(\alpha)ctg(\beta)}\) jest ortocentrum trójkąta ABC

*** Zobacz Nierozwiązane Problemy, zadanie 32

* \(\displaystyle{ x \vec AS+ y \vec BS +z \vec CS= \vec 0}\)

[Sylwek]

Przyjmuję oznaczenia standardowe w trójkącie.

1) Wynika to wprost z definicji środka ciężkości układu mas (dla nas jest to układ trzech punktowych mas położonych w punktach A,B,C) - punkt S jest wówczas środkiem ciężkości tego układu mas.


2) Z tego wynika, że x,y,z mają jednakowe znaki, przyjmijmy że dodatnie (jakby były ujemne, to wystarczy równanie (*) pomnożyć przez -1). Teraz można przeprowadzić dowód nie wprost - w ogólnym zarysie: przypuśćmy, że nie leży we wnętrzu, wówczas suma: \(\displaystyle{ x \vec{AS}+ y \vec{BS} +z \vec{CS}}\) nie jest wektorem zerowym (gdyż koniec wektora wypadkowego leży poza trójkątem) - sprzeczność.


3) Jest to równoważne położeniu równych mas w wierzchołkach A,B,C - środek ciężkości tego układu jest zarazem środkiem ciężkości trójkąta.


4) Równoważnie: kładziemy odpowiednio masy a,b,c w wierzchołkach \(\displaystyle{ A,B,C}\), niech punkt Z leży na odcinku AB i niech będzie środkiem ciężkości mas w punktach A,B. Oczywiście (z warunku punktu równowagi dwóch mas): \(\displaystyle{ \frac{AZ}{BZ}=\frac{m_b}{m_a}=\frac{b}{a}}\), z drugiej strony z twierdzenia o dwusiecznej (standardowe oznaczenia trójkąta): \(\displaystyle{ \frac{CA}{CB}=\frac{b}{a}}\), czyli: \(\displaystyle{ \frac{CA}{CB}=\frac{AZ}{BZ}}\). Stąd Z leży na dwusiecznej kąta C, trzykrotnie powtarzając to rozumowanie otrzymujemy, że środek ciężkości układu tych mas leży w punkcie przecięcia się dwusiecznych, czyli w środku okręgu wpisanego w trójkąt ABC.


5) Analogicznie jak 4) (zostawiam jako ćwiczenie dla chętnych).


6) Analogicznie jak 4) (zostawiam jako ćwiczenie dla chętnych).