[Teoria liczb] Znajdz takie piatki liczb pierwszych , ze:

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 23 sie 2006, o 14:27

\(\displaystyle{ (\frac{a}{b})^2-(\frac{c}{d})^2=p}\)

qsiarz · Post autor: **qsiarz** » 23 sie 2006, o 14:51

rozloz ze wzorow skroconego mnozenia, jeden skladnik musi wynosic 1, zeby liczba p byla pierwsza. nie chce psuc zabawy

wychodzi mi mala sprzecznosc.
z roznan przy powyzszym zalozeniu ladnie wyszlo ze p=1,
ale pozostale litery wychodza mi bzdury ;]

pomysle nad tym wieczorem.

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 23 sie 2006, o 15:00

qsiarz napisał:

rozloz ze wzorow skroconego mnozenia, jeden skladnik musi wynosic 1, zeby liczba p byla pierwsza. nie chce psuc zabawy

\(\displaystyle{ (\frac{a}{b})^2-(\frac{c}{d})^2=[(\frac{a}{b})-(\frac{c}{d})][(\frac{a}{b})+(\frac{c}{d})]=p}\)
no ale....

mirek · Post autor: **mirek** » 23 sie 2006, o 15:43

Równanie równoważne to:
(ad-bc)(ad+bc) = pbbdd
Ponieważ są to liczby pierwsze to prawa strona równania jest parzysta a lewa nieparzysta, więc równanie nie ma rozw.

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 23 sie 2006, o 16:28

mirek napisał:

Równanie równoważne to:
(ad-bc)(ad+bc) = pbbdd
Ponieważ są to liczby pierwsze to prawa strona równania jest parzysta a lewa nieparzysta, więc równanie nie ma rozw

hm...nie tak szybko może być wszak jedna z liczb dwójką...

Elvis · Post autor: **Elvis** » 24 sie 2006, o 13:50

\(\displaystyle{ (\frac{a}{b})^2 - (\frac{c}{d})^2 = p}\)
\(\displaystyle{ (\frac{a}{b} + \frac{c}{d})(\frac{a}{b} - \frac{c}{d}) = p}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = p}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = 1}\)
Dodając stronami:
\(\displaystyle{ 2*\frac{a}{b} = p + 1}\)
\(\displaystyle{ a = \frac{b(p+1)}{2}}\)
Zarówno \(\displaystyle{ b}\), jak i \(\displaystyle{ p+1}\) są różne od \(\displaystyle{ 1}\), więc jedno z nich musi być równe \(\displaystyle{ 2}\) (aby \(\displaystyle{ a}\) było pierwsze). Rozważamy dwa przypadki i dochodzimy do wniosku, że nie ma takich liczb pierwszych.

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 24 sie 2006, o 14:13

Elvis napisał:

\(\displaystyle{ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = p}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = 1}\)
Dodając stronami:
\(\displaystyle{ 2*\frac{a}{b} = p + 1}\)
\(\displaystyle{ a = \frac{b(p+1)}{2}}\)

Jeśli te liczby są naturalne...., ale tak być nie musi

mirek · Post autor: **mirek** » 24 sie 2006, o 16:25

Jeden z nawiasów może być ułamkiem a drugi l. całkowitą. A więc rozwiązanie niedobre:(. Ja doszedłem do tego że b=d a terz wy się pomęczcie:)

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 24 sie 2006, o 16:36

\(\displaystyle{ (\frac{p-2}{ \sqrt{p-4}})^2 - (\frac{2}{ \sqrt{p-4}})^2=p}\)

alchemik · Post autor: **alchemik** » 22 sie 2008, o 19:01

\(\displaystyle{ (ad)^{2}-(bc)^{2}=pbbdd}\)
czyli: \(\displaystyle{ a=b d=b}\)
Przy założeniu pierwszego uzyskujemy sprzeczność, czyli b=d
\(\displaystyle{ (a+c)(a-c)=pb^2}\)

1. dla a i c nieparzystego otrzymujemy, że lewa strona jest podzielna przez 4 czyli b=4, ale dla (a+c)(a-c)=4p nie ma pierwiastków dla a i c liczby pierwszej nieparzystej

2. dla a i c parzystych czyli równych 2 mamy lewą stroną równą 0, a prawa nie może być tyle równa

3. dla a=2 i c nieparzystego
nie ma rozwiązań równanie w liczbach pierwszych

4. a nieparzyste c=2:
\(\displaystyle{ a^{2}-4=pb^{2}}\)
lewa strona podzielna przez 3 to prawa też musi być, a więc możliwe rozwiązania:
\(\displaystyle{ a=7 \ b=3 \ c=2 \ d=3 \ p=5 \\ a=11 \ b=3 \ c=2 \ d=3 \ p=13}\)

Marc0 · Post autor: **Marc0** » 29 lis 2010, o 18:13

Wiem, że odkopuje
skąd to?

\(\displaystyle{ czyli: a=b \vee d=b}\)

Swistak · Post autor: **Swistak** » 29 lis 2010, o 18:29

Bo \(\displaystyle{ (ad)^2=(bc)^2+pb^2d^2}\), prawa strona jest podzielna przez b, zatem lewa też musi być, ale przeciez mamy, że wszystkie liczby są liczbami pierwszymi.