udowodnij niewymiernosc

[waliant]

udowodnij ze liczba \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) jest liczbą niewymierną (stosując przy tym indukcję matematyczną).

[mol_ksiazkowy]

Ukryta treść:

Zaproponować ewentualnie jakiś inny dowód nie „nie wprost” niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\)

Ukryta treść:    

szkic
Niech \(\displaystyle{ X= \left\{ \left( m, n \right) \in \NN \times \NN : \frac{m}{n}= \sqrt{2} ; nwd \left( m, n \right) =1 \right\}}\). Wtedy jeśli \(\displaystyle{ \left( m, n \right) \in X}\) to \(\displaystyle{ \left( 2n -m, m -n \right) \in X}\) oraz \(\displaystyle{ m -n <n}\), tj. \(\displaystyle{ X=\emptyset}\):
Gdy\(\displaystyle{ \sqrt{2}=\frac{m}{n}}\), to \(\displaystyle{ \sqrt{2}= \frac{1}{\sqrt{2}- 1}+ 1 =\frac{2n-m}{m-n}}\) oraz \(\displaystyle{ 1<\frac{m}{n}<2}\)
j jescze inaczej to rozważyć wielomian \(\displaystyle{ W \left( x \right) =x^2 -2}\) żadna z liczb \(\displaystyle{ 1, -1, 2, -2}\) nie jest jego pierwiastkiem; nie ma on więc pierwiastków w \(\displaystyle{ \QQ}\).
z \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) bedzie podobnie

[patryk00714]

Liczba \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\), jak wiemy, jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^2-5}\)

Gdyby liczba \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) była wymierna to musiałaby znajdować się wśród liczb postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(\displaystyle{ }\)5, zaś \(\displaystyle{ q}\) jest dzielnikiem wyrazu stojącego przy najwyższej potędze \(\displaystyle{ x}\)-a, ale \(\displaystyle{ \sqrt{5} \notin\frac{p}{q}=\left\{-5,5 \right\}}\)

sprzeczność.

[AndrzejK]

Liczba \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\), jak wiemy, jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^2-5}\)

Gdyby liczba \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) była wymierna to musiałaby znajdować się wśród liczb postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(\displaystyle{ }\)5, zaś \(\displaystyle{ q}\) jest dzielnikiem wyrazu stojącego przy najwyższej potędze \(\displaystyle{ x}\)-a, ale \(\displaystyle{ \sqrt{5} \notin\frac{p}{q}=\left\{-5,5 \right\}}\)

sprzeczność.

Ten zbiór nie ma tylko dwóch elementów, 5 ma więcej dzielników.

[mol_ksiazkowy]

Zadanie 44 z Nierozwiązanych

Inny dowód (niestety nie wprost ):

Załóżmy że \(\displaystyle{ \sqrt{2} \in \QQ}\). Niech \(\displaystyle{ m}\) będzie najmniejsza liczbą naturalną że: \(\displaystyle{ m \sqrt{2}}\) jest liczbą naturalną; wtedy liczby \(\displaystyle{ k=m \sqrt{2} - m}\) oraz \(\displaystyle{ k\sqrt{2} = 2m - m\sqrt{2}}\) też są naturalne oraz \(\displaystyle{ k< m}\) tj. sprzeczność

Ten zgrabny dowód nie stosuje „podzielności” ani innych tego typu narzędzi

z \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) nie „idzie” bo \(\displaystyle{ k >m}\)...

[a4karo]

Zadanie 44 z Nierozwiązanych

Inny dowód (niestety nie wprost ):

Załóżmy że \(\displaystyle{ \sqrt{2} \in \QQ}\). Niech \(\displaystyle{ m}\) będzie najmniejsza liczbą naturalną że: \(\displaystyle{ m \sqrt{2}}\) jest liczbą naturalną; wtedy liczby \(\displaystyle{ k=m \sqrt{2} - m}\) oraz \(\displaystyle{ k\sqrt{2} = 2m - m\sqrt{2}}\) też są naturalne oraz \(\displaystyle{ k< m}\) tj. sprzeczność

Ten zgrabny dowód nie stosuje „podzielności” ani innych tego typu narzędzi

z \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) nie „idzie” bo \(\displaystyle{ k >m}\)...

Alez oczywiście, że idzie, tylko trzeba go troszke zmodyfikować:

Niech \(\displaystyle{ m}\) będzie najmniejsza liczbą naturalną że: \(\displaystyle{ m \sqrt{5}}\) jest liczbą naturalną; wtedy liczba \(\displaystyle{ k=m \sqrt{5} - 2m<3m-2m=m}\) i \(\displaystyle{ k\sqrt{5}=5m-2m\sqrt{5}}\) jest liczbą całkowitą. I już.

@mol_ksiazkowy: za wprowadzenie czytelników w błąd udowodnisz ta metodą, że dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) jej pierwiastek jest niewymierny.