[Stereometria] punkt wspólny

[matex_06]

Przez każdy wierzchołek i środki wychodzących zeń krawędzi danego czworościanu prowadzimy sferę. Udowodnij, że otrzymane w ten sposób cztery sfery mają punkt wspólny.

[marcin7Cd]

51. Zadanie z 101 nierozwiązanych

Ukryta treść:    

Oznaczmy ten czworościan \(\displaystyle{ ABCD}\), a tymi sferami niech będą \(\displaystyle{ \omega _A,\omega _B, \omega _C, \omega _D}\) oznaczmy przez \(\displaystyle{ O}\) środek sfery opisanej na tym czworościanie. Zauważmy, że sfera opisana na czworościanie i sfera z zadania są jednokładne w skali \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) w wspólnym wierzchołku czworościanu.Przez \(\displaystyle{ A'}\) oznaczę punkt przecięcia prostej AO z sferą opisaną na czworościanie. \(\displaystyle{ A'O=AO \Rightarrow AO=\frac{1}{2}A'A}\) Z Tąd wynika, że jednokładność przekształcająca sferę opisaną na sferę \(\displaystyle{ \omega _A}\) przekształca punkt \(\displaystyle{ A'}\)(który leży na sferze opisanej) na punkt \(\displaystyle{ O}\) Oznacza to, że \(\displaystyle{ O \in \omega _A}\). Analogicznie udowadniam, że \(\displaystyle{ O}\) należy do pozostałych sfer