[Planimetria] Dwusieczna a boki

[mol_ksiazkowy]

Dwusieczna kąta A trójkąta przecina okrąg opisany na tymże trójkącie ABC w punkcie D. Wykaż jak najbardziej elementarnie, że: \(\displaystyle{ 2AD > AB+AC}\).

P.S. Nie interesują mnie dowody trygonometryczne i żmudne rachunkowe etc.

[palazi]

Eeee lipa, trgonometrycznie idzie w 3 linijkach To nie fair

[mol_ksiazkowy]

hhe....Ale moze byc ze elementarny tez jest zgrabny i niewiele dłuzszy....

[limes123]

Bardzo fajne zadanie
Mój dowód moze nie na 3 linijki ale chyba elementarny ->
Na prostych AC i AB obieramy odpowiednio za punktem C punkt B' oraz za punktem B - C' w taki sposób, by CB'=AB oraz BC'=AC. Oczywiści trójkąt AB'C' jest równoramienny. Niech teraz X, Y będą rzutami D odpowiednio na boki AC', AB'. Trójkąty BDX oraz BYC są przystające i oznaczmy BX=CY=a. Mamy AY=AX=AB-a=B'C-a=B'Y i analogicznie AX=C'X, czyli D jest środkiem okręgu opisanego na AB'C' i teraz już jest łatwo, bo AD=B'D, oraz 2AD=AD+B'D>AB'=AC+B'C=AC+BC ckd

[Sylwek]

Trójkąty BDX oraz BYC są przystające

Mógłbyś to dokładniej rozpisać? Przejrzyste podawanie swoich dowodów jest znacznie lepsze niż bezsensowne rzucanie hasłami na prawo prześlizgując się nad najważniejszymi punktami dowodu, na OM za taki suchy fakt byłaby znaczna redukcja punktów. To nie pierwszy, ani nie dziesiąty temat, w którym Twój dowód jest ekstremalnie streszczony i nieprzejrzysty.

[limes123]

Bardzo przepraszam ale nie robie tego specjalnie (na konkursach i olimpiadach tez mi sie zdazaja takie bledy i pracuje nad tym, zeby je wyeliminowac). Chodzi o przystawanie DCY i DBX. Katy DYA oraz DXA sa proste. DX=DY (rzuty prostokatne z punkty na dwusiecznej na ramiona kata) oraz DB=DC (poniewaz te cieciwy sa wyznaczone przez rowne katy wpisane). Oznacza to, ze jesli na polprostej BX za punktem X wezmiemy P takie, ze BX=PX, to trojkaty BDX oraz DPX sa przystajace, oraz DPX i DCY sa przystajace, czyli DBX i DCY sa przystajace. I jeszcze uwaga, jeden z pkt X Y lezy na zewnatrz okregu, a drugi wewnatrz, lub oba na okregu. Mam nadzieje ze jest ok.

[Swistak]

Ja mam problem w drugą stronę . Na olimpiadach zawsze za bardzo się rozpisuje i czasami czasu brakuje przez to xP (ale dość rzadko się zdarza, żeby mi czasu zabrakło, tylko na konkursach, które mnie przerastają o co najmniej 2 klasy xP).
Choć jak coś tłumaczę kolegom, albo jakiejś pojętnej osobie to nie zależy mi na porządnym zapisie, tylko tym, żeby zrozumieli.

[Sylwek]

Oznacza to, ze jesli na polprostej BX za punktem X wezmiemy P takie, ze BX=PX, to trojkaty BDX oraz DPX sa przystajace, oraz DPX i DCY sa przystajace, czyli DBX i DCY sa przystajace

Wszystko poza pogrubionym możesz pominąć, po prostu mamy z Pitagorasa BX=CY i z cechy bbb dostajemy przystawanie DBX i DCY, dalej jest zrozumiałe.

pracuje nad tym, zeby je wyeliminowac

No ja myślę