[Teoria liczb] Łatwa teoria liczb z okręgowych.

[Marcinek665]

Witam, zadanie jest z okręgowych LX OM:

Dane są takie liczby całkowite \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), że \(\displaystyle{ a>b>1}\) oraz liczba \(\displaystyle{ ab+1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ a+b}\), zaś liczba \(\displaystyle{ ab-1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ a-b}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ a < b\sqrt{3}}\)

Czy jest ktoś w stanie zaprezentować rozwiązanie zasadniczo różniące się od wzorcowego? Bo nie wierzę, że istnieje tylko jedna droga prowadząca do celu.

Pozdrawiam.

[Ponewor]

Zadanie trafiło do \(\displaystyle{ 101}\) nierozwiązanych.

Mam nadzieję, że to rozwiązanie czyni zadość kryterium "zasadniczo różniące się od wzorcowego", co pozostawiam do Twojej oceny, jeśli po przeszło roku problem nadal Cię interesuje

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a+b \mid ab+1 \wedge a-b \mid ab-1}\)
Pierwszy odruch to wymnożyć:
\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2} \mid a^{2}b^{2} -1}\)
No i co z z tego? Raczej niewiele to daje. Kombinujemy dalej.
hmm \(\displaystyle{ ab+1}\), to takie fajne wyrażenie. Czemu? fani zwijania zrobią tak:
\(\displaystyle{ a+b \mid ab+1 +a+b=\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\)
No a teraz wypadałoby, żeby podobną sztuczkę dało się zrobić z drugą podzielnością. Da się:
\(\displaystyle{ a-b \mid ab-1+a-b=\left(a-1\right)\left(b+1\right)}\)
No i co? Znów mnożenie? Jasne!
\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2} \mid a^{2}-b^{2}+a^{2}b^{2}-1+2a^{2}b-2b \Rightarrow a^{2}-b^{2} \mid 2a^{2}b-2b \Rightarrow a^{2}-b^{2} \mid 2a^{2}b^{2}-2b^{2} \Rightarrow a^{2}-b^{2} \mid 2\left(a^{2}b^{2}-1\right)+2 -2b^{2} \Rightarrow a^{2}-b^{2} \mid 2- 2b^{2} \Rightarrow a^{2}-b^{2} \mid 2b^{2}-2}\)
A ponieważ \(\displaystyle{ b >1}\) to:
\(\displaystyle{ 2b^{2}-2 \ge a^{2} -b^{2} \Rightarrow 3b^{2}>a^{2} \Leftrightarrow b\sqrt{3}>a}\)
Jak widzimy końcówka jest identyczna z wzorcówką, ale może to wystarczy.