[Równania][Teoria liczb] Znajdź wszystkie rozwązania

[Milczek]

Wymyśliłem oba równania i póki co nie miałem czasu posiedzieć nad nimi(ale chwilowo są poza moimi siłami), w ogóle zastanawiam się czy da radę ugryźć je jakoś elementarnie .

1.Dla \(\displaystyle{ a,b,c \in N}\)

Znajdź wszystkie rozwiązania równania \(\displaystyle{ a^2 + b^3 = c^4}\)

2.Dla \(\displaystyle{ a,b,c,d \in N}\)

Znajdź rozwiązania równania \(\displaystyle{ a^2 + b^3 + c^4 = d^5}\)

[mol_ksiazkowy]

w ogóle zastanawiam się czy da radę ugryźć je jakoś elementarnie .

Zadanie jest w \(\displaystyle{ 101}\) nierozwiazanych ....

Ukryta treść:    

Równanie \(\displaystyle{ x^3 + y^4 = z^5}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań w \(\displaystyle{ Z}\), niektóre z nich beda takie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2^k\\y=2^l\\z=2^m\end{cases}}\)
przy czym :
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3k=4l\\3k+1=5m\end{cases}}\)
Takich trójek \(\displaystyle{ (k,l,m)}\) jest nieskończenie wiele
A też gdy \(\displaystyle{ b}\) (\(\displaystyle{ b=x}\)) jest:
\(\displaystyle{ (2b)^3 = (-b)^3 + a^2}\) oraz \(\displaystyle{ a \in Z}\)

[Ponewor]

Znajdź wszystkie rozwiązania

[mol_ksiazkowy]

ad a

Ukryta treść:    

Znajdź wszystkie rozwiązania

ale czy takie istnieja, tj mozna je wyrazic jedyną formułą ?....

(*)\(\displaystyle{ x^2+ y^3 =z^4}\) i
(**)\(\displaystyle{ y^2+y =2x^2}\)
(**) ma nieskończenie wiele rozwiazań, tj. liczb trójkątnych bedacych
kwadratami jest nieskończenie wiele. gdyż \(\displaystyle{ x =y =1}\) sa takie oraz gdy
(*)\(\displaystyle{ x, y}\) spełnia (**), to \(\displaystyle{ y^{\prime}= 3y + 4x+ 1}\) i \(\displaystyle{ x^{\prime}= 2y+ 3x+1}\)
również.
Z tożsamości \(\displaystyle{ (\frac{y(y-1)}{2})^2 + y^3 =(\frac{y(y+1)}{2})^2}\) wynika (*) gdy
\(\displaystyle{ z = \frac{y(y+1)}{2}}\) i \(\displaystyle{ y}\) spełnia (*), a wiec np.
\(\displaystyle{ y= 8 \ z=6^2}\), ale sa tez inne rozwiazania (*), niektóre z nich, gdy np. \(\displaystyle{ y=2z}\) albo np \(\displaystyle{ 3^2 + 2^3 \cdot 9 = 9^2}\) wymnożyć przez \(\displaystyle{ 9^2}\) itd

[Jakub Gurak]

\(\displaystyle{ a^2 + b^3 + c^4 = d^5}\)

Podam też tylko niektóre rozwiązania.
Szukaną sytuacją będzie gdy:
\(\displaystyle{ a^2=b^3=c^4=3^{x}\hbox{ gdzie }x\in\mathbb{N}}\)
Zatem \(\displaystyle{ a=3 ^{ \frac{x}{2} }}\)

\(\displaystyle{ b=3 ^{ \frac{x}{3} }}\)

\(\displaystyle{ c=3^{ \frac{x}{4} }}\)

Niech \(\displaystyle{ x=12k \hbox{ gdzie } k\in\mathbb{N}}\)

Musi być \(\displaystyle{ a^2 + b^3 + c^4 = 3^{x}+3^{x}+3^{x}=3^{x}\cdot 3=3^{x+1}=d^5}\)

Zatem niech \(\displaystyle{ d=3^{ \frac{x+1}{5} }}\)

Musi być \(\displaystyle{ 5\mid \left( x+1=12k+1 \right)}\)
Zatem musi być, co łatwo sprawdzić, rozwazając reszty z dzielenia \(\displaystyle{ k}\) przez \(\displaystyle{ 5}\)
\(\displaystyle{ k=5l+2\hbox{ gdzie } l\in\mathbb{N} _{0}}\)
Zatem \(\displaystyle{ x=12k=12 \cdot \left( 5l+2\right)=60l+24}\)

zatem

\(\displaystyle{ a=3 ^{ \frac{60l+24}{2} }= 3 ^{30l+12}}\)

\(\displaystyle{ b=3 ^{ \frac{60l+24}{3} }= 3 ^{20l+8}}\)

\(\displaystyle{ c=3 ^{ \frac{60l+24}{4} }= 3 ^{15l+6}}\)

\(\displaystyle{ d=3^{ \frac{x+1}{5} }=3 ^{ \frac{60l+25}{5} }=3 ^{12l+5 } \qquad \hbox{ gdzie } l\in\mathbb{N} _{0}}\)

Sprawdźmy:
\(\displaystyle{ a^2 + b^3 + c^4 =\left( 3 ^{30l+12}\right) ^{2}+\left( 3 ^{20l+8}\right) ^{3}+\left( 3 ^{15l+6}\right) ^{4}=3^{60l+24}+3^{60l+24}+3^{60l+24}=3^{60l+25}=\left( 3^{12l+5}\right) ^{5}=d^{5}}\)
Zatem takie liczby są rozwiązaniami.

[marcin7Cd]

Nie wydaje mi się, że istnieje elementarne rozwiązanie. Znalazłem pracę(po angielsku) rozważającą takie typu równania na stronie 29 pojawia się równanie a). co do równania b) to wydaje mi się, że jeszcze go nikt nie rozwiązał. mało widziałem prac dotyczące równań tego typu z czterema zmiennymi