Wykaż, że można wybrać

[hubertwojtowicz]

Jest n+1 liczb naturalnych mniejszych od 2n. Wykaż, że można wybrać z nich trzy takie, aby jedna z nich była sumą pozostałych dwóch.
Proszę o wskazówki

[andrzej1994]

Spróbuj pokombinować coś z ciągiem Fibonacciego. (Chyba. Jeśli się mylę, to proszę mnie poprawić). Jakby to nie wystarczyło to pisz

[Ponewor]

Ukryta treść:    

Niech owe liczby to porządkując je rosnąco to odpowiednio \(\displaystyle{ a_{1}, \ a_{2}, \ \ldots, \ a_{n+1}}\). Rozważmy ciąg:
\(\displaystyle{ b_{i}=a_{i+1}-a_{1}}\) dla \(\displaystyle{ i=1, \ 2, \ \ldots , \ n}\).
Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ i \neq j}\) zachodzi \(\displaystyle{ a_{i}\neq a_{j}}\) oraz \(\displaystyle{ b_{i}\neq b_{j}}\).
Mamy zatem \(\displaystyle{ 2n+1}\) liczb naturalnych:
\(\displaystyle{ a_{1}, \ a_{2}, \ \ldots, \ a_{n+1}, \ b_{1}, \ b_{2}, \ \ldots, \ b_{n}}\)
mniejszych równych \(\displaystyle{ 2n}\). Zatem pewne dwie muszą być równe. Z uwagi na poczynione wcześniej spostrzeżenia muszą istnieć takie \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ j}\), że zachodzi \(\displaystyle{ a_{i}=b_{j}}\), co oznacza koniec dowodu.

[Jakub Gurak]

Ukryta treść:    

co oznacza koniec dowodu.

Nie tak prędko.
Rzeczywiście, muszą istnieć takie \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ j}\), że zachodzi \(\displaystyle{ a_{i}=b_{j}}\)
Zatem \(\displaystyle{ a_{i}=b_{j}=a_{j+1}-a_{1}}\)
Stąd \(\displaystyle{ a_{i}+a_{1}=a_{j+1}}\)
Pozostaje bowiem uzasadnić, że liczby te są różne.
Zatem wystarczy uzasadnić, że \(\displaystyle{ i\ne 1\ne j+1\ne i}\)
Druga 'różność' otrzywiście zachodzi, pozostają jeszcze dwie.

[Ponewor]

Prawdę mówiąc, to nie bardzo rozumiem o co Ci chodzi. Jeśli możesz proszę jaśniej.
Tymczasem zauważyłem inną nieścisłość: dodałem nieświadomie niezbędne założenie, że liczby z polecenia są parami różne. Inaczej proszę zweryfikować prawdziwość tezy dla wszystkich liczb równych jeden.

[Jakub Gurak]

Rzeczywiście, to dobry przykład, dla wszystkich \(\displaystyle{ n+1}\) liczb równych \(\displaystyle{ 1}\), teza zadnia nie będzie prawdziwa. Trzeba chyba założyć, że liczby są różne, każda z każdą. Ale wtedy wybrać trzeba też 3 różne liczby (bo wybieramy wśród różnych liczb), aby jedna była sumą pozostałych dwóch. I chodzi o to, by sprawdzić czy te liczby \(\displaystyle{ a_{i}, a_{1}, a_{j+1}}\) są różne.