[Wielomiany] Szukany wielomian
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13374
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3425 razy
- Pomógł: 809 razy
[Wielomiany] Szukany wielomian
Czy istnieje taki wielomian W(x), o współczynnikach całkowitych, ze wartość bezwzględna jaką przyjmuje dla trzech pewnych rónych liczb całkowitych jest równa 1, a mimo to ma on pewien piewriastek całkowity....?!
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2692
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 664 razy
[Wielomiany] Szukany wielomian
Nie, wówczas dla pewnego k całkowitego mielibyśmy:
\(\displaystyle{ -1=0^2-1=((W(k))^2-1=(k-a)(k-b)(k-c)Q(k)}\), gdzie a,b,c są różnymi liczbami całkowitymi, Q(x) pewnym wielomianem o współczynnikach całkowitych (możemy tak wyłączać te nawiasy, gdyż \(\displaystyle{ (W(x))^2-1}\) jest wielomianem, więc możemy skorzystać z twierdzenia Bezout)
Zatem każda z liczb: (k-a), (k-b), (k-c) przyjmuje wartość 1 lub -1, skąd natychmiastowo wynika, że pewne dwie spośród liczb a,b,c są równe - sprzeczność z warunkami zadania.
\(\displaystyle{ -1=0^2-1=((W(k))^2-1=(k-a)(k-b)(k-c)Q(k)}\), gdzie a,b,c są różnymi liczbami całkowitymi, Q(x) pewnym wielomianem o współczynnikach całkowitych (możemy tak wyłączać te nawiasy, gdyż \(\displaystyle{ (W(x))^2-1}\) jest wielomianem, więc możemy skorzystać z twierdzenia Bezout)
Zatem każda z liczb: (k-a), (k-b), (k-c) przyjmuje wartość 1 lub -1, skąd natychmiastowo wynika, że pewne dwie spośród liczb a,b,c są równe - sprzeczność z warunkami zadania.