Dowieść, ze w dowolnym trójkacie stosunek sumy długosci środkowych do jego obwodu zawiera sie w przeziale I, oraz, ze tej własnosci nie ma zaden inny przedział wezszy?! Czy mozna podobna wlasciwosc wyłuskac dla tj zastepoujac w tym twierdzeniu słowo "srodkowa" ,przez "wysokosc"... , badz dwusieczna?
\(\displaystyle{ I=(\frac{3}{4}, 1)}\)
[Planimetria] środkowe a obwód
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13376
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3425 razy
- Pomógł: 809 razy
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2692
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 664 razy
[Planimetria] środkowe a obwód
No to mamy do udowodnienia:
a) \(\displaystyle{ \frac{s_a+s_b+s_c}{a+b+c}>\frac{3}{4}}\). Z nierówności trójkąta mamy: \(\displaystyle{ \frac{2}{3}s_a + \frac{2}{3} s_b > c}\) - sumując trzy takie nierówności uzyskujemy postulowaną nierówność. Zauważmy, że w miejsce \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\) nie możemy wstawić większej liczby rzeczywistej - przy poniższym trójkącie równoramiennym i kącie między ramionami \(\displaystyle{ \alpha}\) dążącym do \(\displaystyle{ 180^o}\) stosunek długości środkowych do obwodu zbliża się dowolnie blisko do \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\):
b) \(\displaystyle{ \frac{s_a+s_b+s_c}{a+b+c}<1}\) - wystarczy zbudować trzy równoległoboki - dla przykładu mamy równoległobok o bokach a,b i jednej przekątnej c - zauważmy, że druga przekątna ma długość \(\displaystyle{ 2s_c}\), więc z nierówności trójkąta: \(\displaystyle{ a+b>2s_c}\) - dodając trzy takie nierówności dostajemy b). Tu również nie możemy użyć liczby mniejszej niż 1, gdyż stosunek długości środkowych do obwodu zbliża się dowolnie blisko do jedynki w takim trójkącie równoramiennym jak powyżej, tylko przy \(\displaystyle{ \alpha \rightarrow 0}\).
Wysokość i dwusieczna mają podobne właściwości. Dla wysokości jest to przedział \(\displaystyle{ (0,\frac{\sqrt{3}}{2} \rangle}\), a dla dwusiecznej \(\displaystyle{ (\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} \rangle}\). Zostawiam to dla chętnych, dowód jest znacznie trudniejszy niż ze środkowymi, niektóre z tych nierówności można sprowadzić do udowodnienia nierówności dla trzech zmiennych rzeczywistych.
a) \(\displaystyle{ \frac{s_a+s_b+s_c}{a+b+c}>\frac{3}{4}}\). Z nierówności trójkąta mamy: \(\displaystyle{ \frac{2}{3}s_a + \frac{2}{3} s_b > c}\) - sumując trzy takie nierówności uzyskujemy postulowaną nierówność. Zauważmy, że w miejsce \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\) nie możemy wstawić większej liczby rzeczywistej - przy poniższym trójkącie równoramiennym i kącie między ramionami \(\displaystyle{ \alpha}\) dążącym do \(\displaystyle{ 180^o}\) stosunek długości środkowych do obwodu zbliża się dowolnie blisko do \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\):
b) \(\displaystyle{ \frac{s_a+s_b+s_c}{a+b+c}<1}\) - wystarczy zbudować trzy równoległoboki - dla przykładu mamy równoległobok o bokach a,b i jednej przekątnej c - zauważmy, że druga przekątna ma długość \(\displaystyle{ 2s_c}\), więc z nierówności trójkąta: \(\displaystyle{ a+b>2s_c}\) - dodając trzy takie nierówności dostajemy b). Tu również nie możemy użyć liczby mniejszej niż 1, gdyż stosunek długości środkowych do obwodu zbliża się dowolnie blisko do jedynki w takim trójkącie równoramiennym jak powyżej, tylko przy \(\displaystyle{ \alpha \rightarrow 0}\).
Wysokość i dwusieczna mają podobne właściwości. Dla wysokości jest to przedział \(\displaystyle{ (0,\frac{\sqrt{3}}{2} \rangle}\), a dla dwusiecznej \(\displaystyle{ (\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} \rangle}\). Zostawiam to dla chętnych, dowód jest znacznie trudniejszy niż ze środkowymi, niektóre z tych nierówności można sprowadzić do udowodnienia nierówności dla trzech zmiennych rzeczywistych.