[MIX] Zadania różne
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11421
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
[MIX] Zadania różne
1. rozwiązane przez Ponewora
Obliczyć \(\displaystyle{ max \ x_j}\) oraz \(\displaystyle{ min \ x_j}\) dla układów \(\displaystyle{ x_j}\) dla \(\displaystyle{ j=1,..., 5}\) oraz:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=7\\x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+ x_5^2=10\end{cases}}\)
2*. rozwiązane przez nobuddyego
Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ a_j \in R}\) i (\(\displaystyle{ n>3}\)), oraz:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_1+… +a_n \geq n\\a_1^2+…+a_n^2 \geq n^2\end{cases}}\)
to \(\displaystyle{ max(a_1,...,a_n) \geq 2}\)
3. rozwiązane przez Ponewora
Wykazać że jeśli \(\displaystyle{ n \in N}\) to istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ x, y}\) że \(\displaystyle{ n=\frac{(x+y)^2+3x+y}{2}}\) oraz ze \(\displaystyle{ x ,y}\) są wyznaczone jednoznacznie przez \(\displaystyle{ n}\).
4. rozwiązane przez gryxona
Czy istnieją jakieś inne niż \(\displaystyle{ n=101}\) liczby pierwsze „zero-jedynkowe naprzemienne” ? Podać dowód lub inny przykład
np. taką nie jest \(\displaystyle{ n=101 010 101=41 \cdot 271 \cdot 9091}\) itd.
5. rozwiązane przez Kartezjusza
Matlinks, Wyznaczyć \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) takie, że
\(\displaystyle{ f(x+f(x)+2f(y))=f(2x)+f(2y)}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in R}\)
i \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją
6. rozwiązane przez kubek1
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie zbiorem liczb naturalnych, że jeśli \(\displaystyle{ x, y \in A}\) oraz \(\displaystyle{ x \neq y}\) to \(\displaystyle{ |x-y| \geq \frac{xy}{25}}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ A}\) ma nie więcej niż 9 elementów. Czy taki 9 elementowy zbiór istnieje ?
7*. Wewnątrz okręgu dane są trzy różne punkty niewspółliniowe. Skonstruować trójkąt wpisany w ten okrąg i taki że każdy z tych punktów jest na jednym z jego boków.
8. a) Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych, które nie są sumami trzech sześcianów liczb całkowitych
b) Dowieść też, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych, których sześcian jest sumą trzech sześcianów liczb naturalnych, względnie pierwszych między sobą
c) Uzasadnić, że \(\displaystyle{ 23}\) i \(\displaystyle{ 239}\) nie są sumami ośmiu sześcianów liczb całkowitych nieujemnych
9. rozwiązane przez Zahiona
Udowodnić, że gdy liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x_j}\) dla \(\displaystyle{ j=1,..,n}\) są takie, że \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n x_j = 0}\) i \(\displaystyle{ x_1\leq .... \leq x_n}\) to \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n x_j^2 \leq - nx_1x_n}\)
10. rozwiązane przez diana7
Dany jest kąt ostry \(\displaystyle{ \angle PQR}\) oraz punkt \(\displaystyle{ A}\) w jego wnętrzu. Nakreślić prostą \(\displaystyle{ l}\) taką że \(\displaystyle{ A \in l}\) i \(\displaystyle{ |AX|=|AY|}\), gdzie \(\displaystyle{ X =QP \cap l}\) oraz \(\displaystyle{ Y =QR \cap l}\)
11. Niech \(\displaystyle{ n \in N}\) będzie ustalone. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ 0<x<1}\) to istnieje \(\displaystyle{ k>0}\) (wielokrotność całkowita), taka, że \(\displaystyle{ \frac{n^2}{n+1}< kx< n}\)
12*. rozwiązane przez Kartezjusza
Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{xy} + \sqrt{xz} - x=a\\\sqrt{yz} + \sqrt{yx} - y=b \\\sqrt{zx} + \sqrt{zy} - z=c \end{cases}}\)
gdy \(\displaystyle{ a, b, c}\) są dane (parametry)
13. rozwiązane przez Ponewora
Znajdź (o ile istnieje ) takie \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\), że :
\(\displaystyle{ f(f(x) - x)= 2x}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\) inne niż \(\displaystyle{ f(x)=2x}\)
14. rozwiązane przez Pandę
Udowodnić, że w dowolnym 5- kącie istnieje co najmniej jeden bok, który nie jest równoległy do żadnego z dwóch boków z nim nie łączących się (tj. nie mających z nim wspólnego wierzchołka).
15. rozwiązane przez Pandę
Niech \(\displaystyle{ X = \{1,..., n \}}\). Podzbiór \(\displaystyle{ P \subset X}\) nazywa się wyjątkowy, jeśli dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y, z \in R}\), \(\displaystyle{ x + y \neq z}\). Ile najwięcej elementów może mieć podzbiór wyjątkowy zbioru \(\displaystyle{ X_{2014}}\) ?
16. rozwiązane przez yorgina
Niech \(\displaystyle{ 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, …}\) będzie ciągiem w którym każdy wyraz (oprócz zera) jest podwójnie ustawiony. I niech \(\displaystyle{ f(n)}\) będzie sumą \(\displaystyle{ n}\) pierwszych wyrazów tego ciągu (\(\displaystyle{ f_1 =0}\), itd.).
a) Udowodnić, że \(\displaystyle{ f(n)}\) jest kwadratem liczby całkowitej, gdy \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste
b) Wykazać iż \(\displaystyle{ f(m+n) - f(m-n)=mn}\) dla \(\displaystyle{ m>n}\)
17. rozwiązane przez gryxona
Funkcja \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) jest taka, że \(\displaystyle{ 4f(f(x))=2f(x)+ x}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ x=0}\) jest jedynym miejscem zerowym \(\displaystyle{ f}\).
18. Dowieść że gdy \(\displaystyle{ 0 < x_j <1}\) to \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n \frac{1}{x_j} \leq \frac{n}{1+ \sqrt[n]{x_1...x_n}}}\)
19. rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Niech \(\displaystyle{ W_1(x)=x^3 - 3x}\) oraz \(\displaystyle{ W_n(x)=W_1(W_{n-1}(x))}\) dla \(\displaystyle{ n>1}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ W_n()}\) ma \(\displaystyle{ 3^n}\) pierwiastków rzeczywistych
20. Wyznaczyć miejsce geometryczne środków trójkątów równobocznych wpisanych w dany kwadrat o boku \(\displaystyle{ a}\) (wszystkie trzy wierzchołki takich trójkątów są na bokach kwadratu).
21. pa; W prostokątnym układzie współrzędnych jest zbiór \(\displaystyle{ M}\) punktów o współrzędnych całkowitych \(\displaystyle{ (x, y)}\) takich, że \(\displaystyle{ 1 \leq x \leq 12}\) i \(\displaystyle{ 1 \leq y \leq 13}\).
a) Udowodnić, za każdy podzbiór zbioru \(\displaystyle{ M}\) zawierający co najmniej 49 elementów zawiera wierzchołki prostokąta o bokach równoległych do osi układu współrzędnych
b) podać podzbiór 48-elementowy zbioru \(\displaystyle{ M}\) nie mający tej własności
22. Wyznaczyć najmniejszy romb \(\displaystyle{ ABCD}\), o boku oraz obu przekątnych całkowitych, tj. \(\displaystyle{ |AB|, |AC|, |BD| \in \{1, 2, 3,...\}}\),
23. rozwiązane przez Premislava
Wyznaczyć takie \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) różniczkowalne, nietożsamościowo zerowe i takie, że:
\(\displaystyle{ f(x)= xf^{\prime}(\frac{x}{\sqrt{3}})}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\)
24. rozwiązane przez Msciwoja
Na płaszczyźnie dane jest \(\displaystyle{ n}\) punktów \(\displaystyle{ A_1,...,A_n}\). Środek każdego odcinka \(\displaystyle{ A_iA_j}\) (gdy \(\displaystyle{ i \neq j}\)) koloruje się na zielono. Ile maksymalnie, a ile minimalnie można wtedy mieć zielonych punktów?
25. rozwiązane przez Pinionrzek
Przez punkt \(\displaystyle{ P}\) który jest na zewnątrz danego okręgu \(\displaystyle{ P}\) poprowadzono trzy proste: styczną do tego okręgu w punkcie \(\displaystyle{ K}\), sieczną przecinającą ten okrąg w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) oraz prostą rozłączną z okręgiem. Wykazać, że jeśli kąty \(\displaystyle{ PKC}\) i \(\displaystyle{ PDK}\) są równe to punkty \(\displaystyle{ A, B, C, D}\) są na jednym okręgu.
26. rozwiązane przez kerajsa
Czy istnieje nieskończenie różnych trójek \(\displaystyle{ (x, y, z)}\) liczb naturalnych i \(\displaystyle{ y \neq z}\) takich, że:
\(\displaystyle{ x^2 + x(y-z)= y^2}\) ?
27. rozwiązane przez Pinionrzek
Niech \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) będą liczbami naturalnymi względnie pierwszymi. Podzbiór \(\displaystyle{ S}\) zbioru zbioru \(\displaystyle{ \{ 0, 1, 2, .... \}}\) nazywa się idealnym, jeśli zbioru \(\displaystyle{ 0 \in S}\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ n \in S}\) jest: \(\displaystyle{ n+p \in S}\) oraz \(\displaystyle{ n+q \in S}\). Ile jest podzbiorów idealnych zbioru \(\displaystyle{ \{ 0, 1, 2, .... \}}\) ?
28. rozwiązane przez timona92
Dany jest czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) w którym \(\displaystyle{ AB+ BC= AD+ DC}\). Niech prosta \(\displaystyle{ AB \cap}\) prosta \(\displaystyle{ CD = \{ B^{\prime} \}}\) oraz prosta \(\displaystyle{ \ BC \cap}\) prosta \(\displaystyle{ \ AD = \{ D^{\prime} \}}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ AB^{\prime}+ B^{\prime}C = AD^{\prime}+ D^{\prime}C}\).
29. rozwiązane przez Premislava
Wykazać, że gdy \(\displaystyle{ a>1}\) i \(\displaystyle{ b>1}\) to:
a) \(\displaystyle{ log_{a} \frac{a+b}{2} \geq log_{\frac{a+b}{2}} b}\)
b) czy także \(\displaystyle{ log_{a} \sqrt{ab} \geq log_{\sqrt{ab}} b}\)
(przy tych samych założeniach jak w a) ?
30. rozwiązane przez Hydra147
Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ x^5+x-1=0}\). Wyznaczyć równanie, którego rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ 1+ \alpha^4}\).
31. rozwiązane przez yorgina i michalinho
W ciągu \(\displaystyle{ \frac{26}{65}, \frac{266}{665}, \frac{2666}{6665}, …}\) ( w dowolnym jego wyrazie) można skreślić same „szóstki” co da poprawna wartość ułamka: \(\displaystyle{ \frac{2}{5}}\). Udowodnić to oraz wyjaśnić, czy istnieją inne takie „łatwe” ciągi (o ile tak: wskazać przykład).
32. rozwiązane przez Pinionrzek
Wyznaczyć resztę z dzielenia
a) \(\displaystyle{ 2^{49!}}\) przez \(\displaystyle{ 107 \cdot 109}\)
b) \(\displaystyle{ 100!}\) przez \(\displaystyle{ 101}\)
c) \(\displaystyle{ 10^{12}+63}\) przez \(\displaystyle{ 47}\)
33. Niech punkty jest \(\displaystyle{ P, Q, R}\) będą wierzchołkami trójkąta będącego wewnątrz kwadratu o boku jest \(\displaystyle{ 1}\). Udowodnić, że:
jest \(\displaystyle{ min(|PQ|, |QR|, |RP|) \leq 2\sqrt{2 - \sqrt{3}}}\).
Kiedy jest równość ?
34. Dać przykład rozkładu liczby \(\displaystyle{ 1}\) na sumę \(\displaystyle{ n>1}\) odwrotności kwadratów, które nie wszystkie są równe; oraz uzasadnić, że taki rozkład nie istnieje jeśli te wszystkie kwadraty są różne między sobą
35. a) Niech \(\displaystyle{ n=237 \ 749 \ 938 \ 896 \ 803}\). Wykazać istnienie \(\displaystyle{ m \in N}\) że \(\displaystyle{ 11n=1+ m^3}\) oraz że \(\displaystyle{ n}\) nie jest pierwsza wyznaczając jej rozkład.
b) jw. (tj. wyznaczyć rozkład ), gdy \(\displaystyle{ n= 48 \ 790 \ 373}\) mając dane
\(\displaystyle{ 7n = 699^3 + 8^3}\)
36. rozwiązane przez gryxona
Czy ciąg \(\displaystyle{ a_n=(-1)^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}}\) jest okresowy ?
37. rozwiązane przez Qńia i yorgina
Czy istnieje liczba naturalna (tj. \(\displaystyle{ n \in N}\)) że istnieją też \(\displaystyle{ x, y, z \in N}\) takie, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{n}{2}=x^2\\ \frac{n}{3}=y^3 \\ \frac{n}{5}=z^5 \end{cases}}\)
?
end.
Obliczyć \(\displaystyle{ max \ x_j}\) oraz \(\displaystyle{ min \ x_j}\) dla układów \(\displaystyle{ x_j}\) dla \(\displaystyle{ j=1,..., 5}\) oraz:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=7\\x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+ x_5^2=10\end{cases}}\)
2*. rozwiązane przez nobuddyego
Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ a_j \in R}\) i (\(\displaystyle{ n>3}\)), oraz:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_1+… +a_n \geq n\\a_1^2+…+a_n^2 \geq n^2\end{cases}}\)
to \(\displaystyle{ max(a_1,...,a_n) \geq 2}\)
3. rozwiązane przez Ponewora
Wykazać że jeśli \(\displaystyle{ n \in N}\) to istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ x, y}\) że \(\displaystyle{ n=\frac{(x+y)^2+3x+y}{2}}\) oraz ze \(\displaystyle{ x ,y}\) są wyznaczone jednoznacznie przez \(\displaystyle{ n}\).
4. rozwiązane przez gryxona
Czy istnieją jakieś inne niż \(\displaystyle{ n=101}\) liczby pierwsze „zero-jedynkowe naprzemienne” ? Podać dowód lub inny przykład
np. taką nie jest \(\displaystyle{ n=101 010 101=41 \cdot 271 \cdot 9091}\) itd.
5. rozwiązane przez Kartezjusza
Matlinks, Wyznaczyć \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) takie, że
\(\displaystyle{ f(x+f(x)+2f(y))=f(2x)+f(2y)}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in R}\)
i \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją
6. rozwiązane przez kubek1
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie zbiorem liczb naturalnych, że jeśli \(\displaystyle{ x, y \in A}\) oraz \(\displaystyle{ x \neq y}\) to \(\displaystyle{ |x-y| \geq \frac{xy}{25}}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ A}\) ma nie więcej niż 9 elementów. Czy taki 9 elementowy zbiór istnieje ?
7*. Wewnątrz okręgu dane są trzy różne punkty niewspółliniowe. Skonstruować trójkąt wpisany w ten okrąg i taki że każdy z tych punktów jest na jednym z jego boków.
8. a) Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych, które nie są sumami trzech sześcianów liczb całkowitych
b) Dowieść też, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych, których sześcian jest sumą trzech sześcianów liczb naturalnych, względnie pierwszych między sobą
c) Uzasadnić, że \(\displaystyle{ 23}\) i \(\displaystyle{ 239}\) nie są sumami ośmiu sześcianów liczb całkowitych nieujemnych
9. rozwiązane przez Zahiona
Udowodnić, że gdy liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x_j}\) dla \(\displaystyle{ j=1,..,n}\) są takie, że \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n x_j = 0}\) i \(\displaystyle{ x_1\leq .... \leq x_n}\) to \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n x_j^2 \leq - nx_1x_n}\)
10. rozwiązane przez diana7
Dany jest kąt ostry \(\displaystyle{ \angle PQR}\) oraz punkt \(\displaystyle{ A}\) w jego wnętrzu. Nakreślić prostą \(\displaystyle{ l}\) taką że \(\displaystyle{ A \in l}\) i \(\displaystyle{ |AX|=|AY|}\), gdzie \(\displaystyle{ X =QP \cap l}\) oraz \(\displaystyle{ Y =QR \cap l}\)
11. Niech \(\displaystyle{ n \in N}\) będzie ustalone. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ 0<x<1}\) to istnieje \(\displaystyle{ k>0}\) (wielokrotność całkowita), taka, że \(\displaystyle{ \frac{n^2}{n+1}< kx< n}\)
12*. rozwiązane przez Kartezjusza
Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{xy} + \sqrt{xz} - x=a\\\sqrt{yz} + \sqrt{yx} - y=b \\\sqrt{zx} + \sqrt{zy} - z=c \end{cases}}\)
gdy \(\displaystyle{ a, b, c}\) są dane (parametry)
13. rozwiązane przez Ponewora
Znajdź (o ile istnieje ) takie \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\), że :
\(\displaystyle{ f(f(x) - x)= 2x}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\) inne niż \(\displaystyle{ f(x)=2x}\)
14. rozwiązane przez Pandę
Udowodnić, że w dowolnym 5- kącie istnieje co najmniej jeden bok, który nie jest równoległy do żadnego z dwóch boków z nim nie łączących się (tj. nie mających z nim wspólnego wierzchołka).
15. rozwiązane przez Pandę
Niech \(\displaystyle{ X = \{1,..., n \}}\). Podzbiór \(\displaystyle{ P \subset X}\) nazywa się wyjątkowy, jeśli dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y, z \in R}\), \(\displaystyle{ x + y \neq z}\). Ile najwięcej elementów może mieć podzbiór wyjątkowy zbioru \(\displaystyle{ X_{2014}}\) ?
16. rozwiązane przez yorgina
Niech \(\displaystyle{ 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, …}\) będzie ciągiem w którym każdy wyraz (oprócz zera) jest podwójnie ustawiony. I niech \(\displaystyle{ f(n)}\) będzie sumą \(\displaystyle{ n}\) pierwszych wyrazów tego ciągu (\(\displaystyle{ f_1 =0}\), itd.).
a) Udowodnić, że \(\displaystyle{ f(n)}\) jest kwadratem liczby całkowitej, gdy \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste
b) Wykazać iż \(\displaystyle{ f(m+n) - f(m-n)=mn}\) dla \(\displaystyle{ m>n}\)
17. rozwiązane przez gryxona
Funkcja \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) jest taka, że \(\displaystyle{ 4f(f(x))=2f(x)+ x}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ x=0}\) jest jedynym miejscem zerowym \(\displaystyle{ f}\).
18. Dowieść że gdy \(\displaystyle{ 0 < x_j <1}\) to \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n \frac{1}{x_j} \leq \frac{n}{1+ \sqrt[n]{x_1...x_n}}}\)
19. rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Niech \(\displaystyle{ W_1(x)=x^3 - 3x}\) oraz \(\displaystyle{ W_n(x)=W_1(W_{n-1}(x))}\) dla \(\displaystyle{ n>1}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ W_n()}\) ma \(\displaystyle{ 3^n}\) pierwiastków rzeczywistych
20. Wyznaczyć miejsce geometryczne środków trójkątów równobocznych wpisanych w dany kwadrat o boku \(\displaystyle{ a}\) (wszystkie trzy wierzchołki takich trójkątów są na bokach kwadratu).
21. pa; W prostokątnym układzie współrzędnych jest zbiór \(\displaystyle{ M}\) punktów o współrzędnych całkowitych \(\displaystyle{ (x, y)}\) takich, że \(\displaystyle{ 1 \leq x \leq 12}\) i \(\displaystyle{ 1 \leq y \leq 13}\).
a) Udowodnić, za każdy podzbiór zbioru \(\displaystyle{ M}\) zawierający co najmniej 49 elementów zawiera wierzchołki prostokąta o bokach równoległych do osi układu współrzędnych
b) podać podzbiór 48-elementowy zbioru \(\displaystyle{ M}\) nie mający tej własności
22. Wyznaczyć najmniejszy romb \(\displaystyle{ ABCD}\), o boku oraz obu przekątnych całkowitych, tj. \(\displaystyle{ |AB|, |AC|, |BD| \in \{1, 2, 3,...\}}\),
23. rozwiązane przez Premislava
Wyznaczyć takie \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) różniczkowalne, nietożsamościowo zerowe i takie, że:
\(\displaystyle{ f(x)= xf^{\prime}(\frac{x}{\sqrt{3}})}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\)
24. rozwiązane przez Msciwoja
Na płaszczyźnie dane jest \(\displaystyle{ n}\) punktów \(\displaystyle{ A_1,...,A_n}\). Środek każdego odcinka \(\displaystyle{ A_iA_j}\) (gdy \(\displaystyle{ i \neq j}\)) koloruje się na zielono. Ile maksymalnie, a ile minimalnie można wtedy mieć zielonych punktów?
25. rozwiązane przez Pinionrzek
Przez punkt \(\displaystyle{ P}\) który jest na zewnątrz danego okręgu \(\displaystyle{ P}\) poprowadzono trzy proste: styczną do tego okręgu w punkcie \(\displaystyle{ K}\), sieczną przecinającą ten okrąg w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) oraz prostą rozłączną z okręgiem. Wykazać, że jeśli kąty \(\displaystyle{ PKC}\) i \(\displaystyle{ PDK}\) są równe to punkty \(\displaystyle{ A, B, C, D}\) są na jednym okręgu.
26. rozwiązane przez kerajsa
Czy istnieje nieskończenie różnych trójek \(\displaystyle{ (x, y, z)}\) liczb naturalnych i \(\displaystyle{ y \neq z}\) takich, że:
\(\displaystyle{ x^2 + x(y-z)= y^2}\) ?
27. rozwiązane przez Pinionrzek
Niech \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) będą liczbami naturalnymi względnie pierwszymi. Podzbiór \(\displaystyle{ S}\) zbioru zbioru \(\displaystyle{ \{ 0, 1, 2, .... \}}\) nazywa się idealnym, jeśli zbioru \(\displaystyle{ 0 \in S}\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ n \in S}\) jest: \(\displaystyle{ n+p \in S}\) oraz \(\displaystyle{ n+q \in S}\). Ile jest podzbiorów idealnych zbioru \(\displaystyle{ \{ 0, 1, 2, .... \}}\) ?
28. rozwiązane przez timona92
Dany jest czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) w którym \(\displaystyle{ AB+ BC= AD+ DC}\). Niech prosta \(\displaystyle{ AB \cap}\) prosta \(\displaystyle{ CD = \{ B^{\prime} \}}\) oraz prosta \(\displaystyle{ \ BC \cap}\) prosta \(\displaystyle{ \ AD = \{ D^{\prime} \}}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ AB^{\prime}+ B^{\prime}C = AD^{\prime}+ D^{\prime}C}\).
29. rozwiązane przez Premislava
Wykazać, że gdy \(\displaystyle{ a>1}\) i \(\displaystyle{ b>1}\) to:
a) \(\displaystyle{ log_{a} \frac{a+b}{2} \geq log_{\frac{a+b}{2}} b}\)
b) czy także \(\displaystyle{ log_{a} \sqrt{ab} \geq log_{\sqrt{ab}} b}\)
(przy tych samych założeniach jak w a) ?
30. rozwiązane przez Hydra147
Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ x^5+x-1=0}\). Wyznaczyć równanie, którego rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ 1+ \alpha^4}\).
31. rozwiązane przez yorgina i michalinho
W ciągu \(\displaystyle{ \frac{26}{65}, \frac{266}{665}, \frac{2666}{6665}, …}\) ( w dowolnym jego wyrazie) można skreślić same „szóstki” co da poprawna wartość ułamka: \(\displaystyle{ \frac{2}{5}}\). Udowodnić to oraz wyjaśnić, czy istnieją inne takie „łatwe” ciągi (o ile tak: wskazać przykład).
32. rozwiązane przez Pinionrzek
Wyznaczyć resztę z dzielenia
a) \(\displaystyle{ 2^{49!}}\) przez \(\displaystyle{ 107 \cdot 109}\)
b) \(\displaystyle{ 100!}\) przez \(\displaystyle{ 101}\)
c) \(\displaystyle{ 10^{12}+63}\) przez \(\displaystyle{ 47}\)
33. Niech punkty jest \(\displaystyle{ P, Q, R}\) będą wierzchołkami trójkąta będącego wewnątrz kwadratu o boku jest \(\displaystyle{ 1}\). Udowodnić, że:
jest \(\displaystyle{ min(|PQ|, |QR|, |RP|) \leq 2\sqrt{2 - \sqrt{3}}}\).
Kiedy jest równość ?
34. Dać przykład rozkładu liczby \(\displaystyle{ 1}\) na sumę \(\displaystyle{ n>1}\) odwrotności kwadratów, które nie wszystkie są równe; oraz uzasadnić, że taki rozkład nie istnieje jeśli te wszystkie kwadraty są różne między sobą
35. a) Niech \(\displaystyle{ n=237 \ 749 \ 938 \ 896 \ 803}\). Wykazać istnienie \(\displaystyle{ m \in N}\) że \(\displaystyle{ 11n=1+ m^3}\) oraz że \(\displaystyle{ n}\) nie jest pierwsza wyznaczając jej rozkład.
b) jw. (tj. wyznaczyć rozkład ), gdy \(\displaystyle{ n= 48 \ 790 \ 373}\) mając dane
\(\displaystyle{ 7n = 699^3 + 8^3}\)
36. rozwiązane przez gryxona
Czy ciąg \(\displaystyle{ a_n=(-1)^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}}\) jest okresowy ?
37. rozwiązane przez Qńia i yorgina
Czy istnieje liczba naturalna (tj. \(\displaystyle{ n \in N}\)) że istnieją też \(\displaystyle{ x, y, z \in N}\) takie, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{n}{2}=x^2\\ \frac{n}{3}=y^3 \\ \frac{n}{5}=z^5 \end{cases}}\)
?
end.
Ostatnio zmieniony 23 lip 2016, o 12:30 przez mol_ksiazkowy, łącznie zmieniany 28 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 393
- Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bonn
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 63 razy
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11421
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy