[Teoria liczb] Suma ułamków jako liczba całkowita
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
czekoladowy
- Użytkownik
- Posty: 331
- Rejestracja: 3 paź 2009, o 15:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koziegłówki
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 41 razy
[Teoria liczb] Suma ułamków jako liczba całkowita
Znajdz wszystkie liczby naturalne a,b takie, ze \(\displaystyle{ \frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}}\) też jest liczbą naturalną. Powodzenia.
Ostatnio zmieniony 28 gru 2011, o 16:50 przez Sylwek, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
-
arek1357
[Teoria liczb] Suma ułamków jako liczba całkowita
ja za a+1=x, b+1=y, załóżmy że NWD(x,y)=1
i jest:
\(\displaystyle{ (1) \frac{x}{y}+ \frac{y}{x}-( \frac{1}{x}+ \frac{1}{y} )}\)
załóżmy że x<y i x nie dzieli y bo jeśli x=y łatwo zauważyć że wtedy musi być a=b=1 i całośc wychodzi 1
niech
\(\displaystyle{ y= \alpha x+r, r \neq 0}\)
podstawmy to do (1) i otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{x}{y}+ \alpha + \frac{r}{x}- \frac{1}{x}- \frac{1}{y}= \alpha + \frac{x-1}{y}+ \frac{r-1}{x}}\)
zajmiemy się teraz tylko częścią niecałkowitą czyli:
\(\displaystyle{ \frac{x-1}{y}+ \frac{r-1}{x} = \frac{ x(x-1)+y(r-1)}{xy}< \frac{x}{y} +1}\)
znaczy żeby to było całokowite lewa strona może wynosić tylko 1 czyli:
\(\displaystyle{ \frac{ x(x-1)+y(r-1)}{xy}=1}\)
lub:
\(\displaystyle{ x^{2}-x+yr-y=xy}\)
widać że:
y|xx-x
lub:
\(\displaystyle{ y= \frac{x^{2}-x}{k}= \frac{x(x-1)}{k},k=x-r+1,NWD(x,x-1)=1}\)
k<=x, widać z ostatniego że k musi być równe x ale sprzecznoś bo y wtedy=x-1 a y>x jest
a jeśli k <>x to NWD(x,y)>1 co też sprzeczność.
czyli x jest podzielne przez y znaczy że:
\(\displaystyle{ y= \alpha x, r=0}\)
po podstawieniu do (1)
MAMY:
\(\displaystyle{ \alpha + \frac{x}{ \alpha x}- \frac{1}{x}- \frac{1}{ \alpha x}= \alpha + \frac{1}{ \alpha }- \frac{1}{x}- \frac{1}{ \alpha x}= \alpha + \frac{x- \alpha -1}{ \alpha x}}\)
ten ostatni ułamek może być równy 0 lub 1 co najwyżej
czyli:
(a) \(\displaystyle{ x- \alpha +1=0}\)
lub:
(b) \(\displaystyle{ x- \alpha +1= \alpha x}\)
z (a)
\(\displaystyle{ x= \alpha +1}\)
\(\displaystyle{ y= \alpha ( \alpha +1)}\)
z (b)
\(\displaystyle{ x=-(1+ \frac{2}{ \alpha -1})}\)
z (b) widać , że alfa=-1,0,2,3
odpowiednio:
x=0,1,-3,-2
y=0,0,-6,-6
gwoli ścisłości powinno się pobawić przypadkiem gdy: NWD(x,y)>1
i jest:
\(\displaystyle{ (1) \frac{x}{y}+ \frac{y}{x}-( \frac{1}{x}+ \frac{1}{y} )}\)
załóżmy że x<y i x nie dzieli y bo jeśli x=y łatwo zauważyć że wtedy musi być a=b=1 i całośc wychodzi 1
niech
\(\displaystyle{ y= \alpha x+r, r \neq 0}\)
podstawmy to do (1) i otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{x}{y}+ \alpha + \frac{r}{x}- \frac{1}{x}- \frac{1}{y}= \alpha + \frac{x-1}{y}+ \frac{r-1}{x}}\)
zajmiemy się teraz tylko częścią niecałkowitą czyli:
\(\displaystyle{ \frac{x-1}{y}+ \frac{r-1}{x} = \frac{ x(x-1)+y(r-1)}{xy}< \frac{x}{y} +1}\)
znaczy żeby to było całokowite lewa strona może wynosić tylko 1 czyli:
\(\displaystyle{ \frac{ x(x-1)+y(r-1)}{xy}=1}\)
lub:
\(\displaystyle{ x^{2}-x+yr-y=xy}\)
widać że:
y|xx-x
lub:
\(\displaystyle{ y= \frac{x^{2}-x}{k}= \frac{x(x-1)}{k},k=x-r+1,NWD(x,x-1)=1}\)
k<=x, widać z ostatniego że k musi być równe x ale sprzecznoś bo y wtedy=x-1 a y>x jest
a jeśli k <>x to NWD(x,y)>1 co też sprzeczność.
czyli x jest podzielne przez y znaczy że:
\(\displaystyle{ y= \alpha x, r=0}\)
po podstawieniu do (1)
MAMY:
\(\displaystyle{ \alpha + \frac{x}{ \alpha x}- \frac{1}{x}- \frac{1}{ \alpha x}= \alpha + \frac{1}{ \alpha }- \frac{1}{x}- \frac{1}{ \alpha x}= \alpha + \frac{x- \alpha -1}{ \alpha x}}\)
ten ostatni ułamek może być równy 0 lub 1 co najwyżej
czyli:
(a) \(\displaystyle{ x- \alpha +1=0}\)
lub:
(b) \(\displaystyle{ x- \alpha +1= \alpha x}\)
z (a)
\(\displaystyle{ x= \alpha +1}\)
\(\displaystyle{ y= \alpha ( \alpha +1)}\)
z (b)
\(\displaystyle{ x=-(1+ \frac{2}{ \alpha -1})}\)
z (b) widać , że alfa=-1,0,2,3
odpowiednio:
x=0,1,-3,-2
y=0,0,-6,-6
gwoli ścisłości powinno się pobawić przypadkiem gdy: NWD(x,y)>1