[Teoria liczb] zestaw mola

[mol_ksiazkowy]

Witam,
szczególnie miłosników zadań olimpijskich, ale tak wogole to wszystkich, Korzystając z mijajacego urlopu oraz kończacego sie już sezonu ogórkowego postanowiłem zebrac pewien wiekszy zestaw zadań z tej tematyki, aby zostały lepiej zauwazone (niz gdyby były w wielu róznych watkach). Być moze okaza sie one znane i szybko posypia sie rozwiazania, badz linki. Dla mnie niektóre z nich sa za trudne (zadanie "trudne" to takie, którego się nie potrafi rozwiazać). Oczywiscie nie mowie które to, aby nikogo nie sugerowac
Te zadania, które sa powtórka (były wczesniej na forum, lecz nie rozwiazano, tez sa oznaczone, na czerwono.) Dochodzi tez kilka oryginalnych problemów z Mathlinks, oraz z ksiazki: De Koninck, Mercier, 1001 Number theory Problems. Takze z innych dwoch książek. Spora czesc jest z różnych olimpiad, zawodów, itp. Myśle ze raczej nie pojawialy sie jeszcze na forum. Oznaczenia sa standarowe, ale w razie watpliwosci pewne pojecia sa definiowane. Zadanie 57, jest kontynuacja Problemu 69 (Kólko matematyczne >> Nierozwiązane problemy), jako ze rozwazamy kwadraty zamiast szescianów. Tu istnieja nietrywialne rozwiazania, wiec teza jest nieco inaczej sformułowana.
Mogły sie tu tez wkraść błedy- to beda skorygowane (oby!)
Kto lubi teorie liczb i chcialby sobie troszke potrenowac, to myślę ze jest ku temu okazja . Autorzy rozwiazań, beda podawani (czasem zapewne z grubym opóźnieniem ). Zapraszam wszystkich do rozwiazywania.
Dziekuje za zainteresowania. Powodzenia



1.Niech \(\displaystyle{ q}\) będzie liczbą parzystą dodatnią. Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ q^{(q+1)^n}+1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ (q+1)^{n+1}}\) ale nie przez \(\displaystyle{ (q+1)^{n+2}}\)

2. P Jeśli różnica sześcianów dwóch liczb naturalnych jest kwadratem pewnej liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ n}\), to liczba \(\displaystyle{ n}\) daje sie zapisać jako sumą dwóch kwadratów liczb naturalnych.
a Wykaż ten lemat
b A oto taki przykład: \(\displaystyle{ 8^3-7^3=(2^2+3^2)^2}\), podać inny
c uzasadnić ze liczb \(\displaystyle{ n}\) o tej własnosci jest nieskonczenie wiele

3. P Niech \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ k}\) bedą liczbami naturalnymi takie, ze \(\displaystyle{ 2 \leq k \leq n}\). Nazwiemy układ liczb \(\displaystyle{ a_1, ...,a_k}\) wyjątkowym, jeśli przy dowolnym rozkładzie \(\displaystyle{ n=n_1+ ...+n_k}\), gdzie \(\displaystyle{ a_j}\) to liczby całkowite nieujemne, to wtedy choć jedna z liczb \(\displaystyle{ ja_j}\) dla \(\displaystyle{ j=1,...,n}\) jest całkowita
a Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ k}\) istnieją ukłądy wyjątkowe?
b Wyznacz je, o ile to możliwe

4. P (Rozwiazane przez Swistak)
Wykaz, ze jesli \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) są to liczby naturalne, to iloczyn
\(\displaystyle{ (\frac{a}{b} - \frac{c}{d})(\frac{d}{c} - \frac{b}{a})}\)
nie jest liczbą naturalną
Zad. 4.

Ukryta treść:    

Swistak
Domyślam się, że w zadaniu 0 nie należy do zbioru liczb naturalnych, ponieważ wtedy dla a=b=c=d większych lub równych 1, teza byłaby niespełniona.
Zakładamy, że teza jest spełniona i dane wyrażenie należy do liczb naturalnych.
Przekształcamy je do postaci \(\displaystyle{ \frac{(ad-bc)^{2}}{abcd} \Rightarrow abcd|(ad-bc)^{2} \wedge ad \neq bc \Rightarrow abcd|a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2} \wedge ad \neq bc}\)
Dla każdej liczby \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) przyjmijmy oznaczenie \(\displaystyle{ i=2^{i_{1}}\cdot 3^{i_{2}} \cdot 5^{i_{3}} \cdot ...}\)
Zauważmy, że wtedy w rozkładzie liczby \(\displaystyle{ abcd}\) przy n-tej liczbie pierwszej występuje wykładnik \(\displaystyle{ a_{n}+b_{n}+c_{n}+d_{n}}\), w rozkładzie liczby \(\displaystyle{ a^{2}d^{2}}\) przy n-tej liczbie pierwszej występuje wykładnik \(\displaystyle{ 2(a_{n}+d_{n})}\), a w liczbie \(\displaystyle{ b^{2}c^{2}}\) przy niej wystepuje wykładnik \(\displaystyle{ 2(b_{n}+c_{n})}\). Zauważmy, że nie może zachodzić zarówno \(\displaystyle{ 2(a_{n}+d_{n})<a_{n}+b_{n}+c_{n}+d_{n}}\) i \(\displaystyle{ 2(b_{n}+c_{n})<a_{n}+b_{n}+c_{n}+d_{n}}\), bo wtedy zachodziłoby także \(\displaystyle{ 2(a_{n}+d_{n}+b_{n}+c_{n})<2(a_{n}+b_{n}+c_{n}+d_{n})}\), co jest oczywistą nieprawdą. Zatem liczba \(\displaystyle{ a_{n}+b_{n}+c_{n}+d_{n}}\) jest mniejsza lub równa od co najmniej jednej z dwóch liczb \(\displaystyle{ 2(a_{n}+d_{n})}\) i \(\displaystyle{ 2(b_{n}+c_{n})}\). Załóżmy bez zmniejszania ogólności, że jest to \(\displaystyle{ 2(b_{n}+c_{n})}\). Jeżeli przez \(\displaystyle{ p_{n}}\) oznaczymy n-ta liczbę pierwszą, to wtedy zachodzi \(\displaystyle{ p_{n}^{a_{n}+b_{n}+c_{n}+d_{n}}|p_{n}^{2(a_{n}+d_{n})}+p_{n}^{2(b_{n}+c_{n})}}\), a zgodnie z przyjętym założeniem dana liczba dzieli drugi składnik danej sumy, a więc musi dzielić także pierwszy składnik sumy. A więc zachodzi \(\displaystyle{ a_{n}+b+c_{n}+d_{n} \le 2(a_{n}+d_{n}) \wedge a_{n}+b_{n}+c_{n}+d_{n} \le 2(b_{n}+c_{n})}\). Dodając stronami otrzymujemy \(\displaystyle{ 2(a_{n}+b+c_{n}+d_{n}) \le 2(a_{n}+d_{n}+b_{n}+c_{n})}\), a równość zachodzi tylko wtedy, jeżeli zachodziły równości w dodanych nierównościach. Z tego wniosek, że \(\displaystyle{ a_{n}+d_{n}=b_{n}+c_{n} \Rightarrow ad=bc}\), a więc otrzymaliśmy sprzeczność
c.b.d.u.

mol (komentarz)
Liczbe te zapisujemy w formie: \(\displaystyle{ w=\frac{(ad-bc)^2}{abcd}=\frac{(ad)^2+(bc)^2}{abcd} -2}\)
Teraz z prostej obserwacji ze jesli liczby x , y sa naturalne i
\(\displaystyle{ xy | x^2+y^2}\) wynika, ze \(\displaystyle{ x=y}\)
mamy \(\displaystyle{ ad=bc}\). Ale wtedy \(\displaystyle{ w=0}\)

5. 1001 ntp. Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są to liczby naturalne i \(\displaystyle{ ab+1}\) jest kwadratem, to zbiór
\(\displaystyle{ A = \{ a, b, a+b +2\sqrt{ab+1}, 4(a+ \sqrt{ab+1})(b+\sqrt{ab+1})\sqrt{ab+1} \}}\)
jest taki, że jeśli \(\displaystyle{ x, y \in A}\), \(\displaystyle{ x \neq y}\), to wtedy \(\displaystyle{ xy+1}\) jest takze kwadratem. I dalej podać dwa przykłądy
takich zbiorów (dobierajac stosownie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)).

6. P Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie zbiorem wszystkich czterocyfrowych liczb- w układzie dziesiętnym, -w których zapisie występują dokłądnie dwie cyfry, przy czym żadna z nich nie jest zerem. Zamieniając miejscami cyfry liczby \(\displaystyle{ n \in A}\) otrzymujemy liczbę \(\displaystyle{ f(n) \in A}\) np \(\displaystyle{ f(3111)=1333}\). Wyznaczyć liczbę \(\displaystyle{ n \in A}\) , spełniającą warunek \(\displaystyle{ n >f(n)}\), dla której \(\displaystyle{ NWD(n,f(n))}\) jest możliwie największa.

7. P Niech \(\displaystyle{ S \subset \{ 1, ...,N \}}\) taki ze gdy \(\displaystyle{ x, y \in S}\) to \(\displaystyle{ x+y \notin S}\), tj suma dowolnych dwoch elementów wypada ze zbioru. Jaka jest największa możliwa taka moc zbioru \(\displaystyle{ S}\), gdy
\(\displaystyle{ N=50}\) ?

8. Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych \(\displaystyle{ (a,b)}\) takich, że liczba \(\displaystyle{ a+b^2}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ a^2b -1}\)

9. Znajdź najmniejszą możliwie liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p}\) taka, że \(\displaystyle{ \lfloor (3+\sqrt{p})^{2n} \rfloor +1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2^{n+1}}\) dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\),

10. Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele par liczb naturalnych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) takich ,że \(\displaystyle{ a^2+m}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ b}\), i \(\displaystyle{ b^2+m}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ a}\), gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest ustaloną liczba naturalną.

11. Musztardi Budujemy rójkątną tablicę według schematu: w pierwszym wierszu wpisujemy dowolną liczbę naturalną \(\displaystyle{ n>1}\); w każdym następnym wierszu pod wpisaną w poprzednim liczbą \(\displaystyle{ m}\) umieszczamy po lewej stronie \(\displaystyle{ m^2}\) a po prawej \(\displaystyle{ m+1}\). Pokazać, że liczby występujące w dowolnym wierszu tak zbudowanej tabeli są różne.

12. Mathlinks, Liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b, c}\) są takie, że \(\displaystyle{ NWD(a^2-1, b^2-1, c^2-1)=1}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ NWD(ab+c, ac+b, bc+a)=NWD(a,b,c)}\)

13. P Trzy równania; a) Wykaż, że równanie \(\displaystyle{ x^4-y^4=2z^2}\) nie ma rozwiazań \(\displaystyle{ N^{*}}\) (zbiorze liczb całkowitych dodatnich). Czy równanie \(\displaystyle{ x^4-y^4=z^2}\) ma ich nieskończenie wiele?
b) Znajdź wszystkie pary \(\displaystyle{ (x,y)}\) liczb całkowitych t, że: \(\displaystyle{ \frac{y^3-y}{x^3-x}=2}\)
c) Rozwiąż równanie- w dziedzinie liczb całkowitych \(\displaystyle{ x^2+6=y^5}\)

14. (Rozwiazane przez Qń)
Znajdź wszystkie trójki liczb naturalnych \(\displaystyle{ x,y, z}\) takie, że
\(\displaystyle{ x^3+y^3=2z^3}\)
i
\(\displaystyle{ x+y+ z}\) jest liczbą pierwszą
Zad. 14.

Ukryta treść:    

Mamy:
\(\displaystyle{ x^3+y^3 = 2z^3 \Leftrightarrow (x^3-x ) + (y^3-y) +(z^3- z) - 3z^3 = - (x+y+z)}\)
Każdy składnik po lewej stronie jest podzielny przez trzy (małe twierdzenie Fermata), zatem i prawa strona musi być podzielna przez trzy, a jeśli \(\displaystyle{ x+y+z}\) ma być liczbą pierwszą, to musi się po prostu równać trzy. Jeśli uznamy, że zero nie jest naturalne, to od razu dostajemy jedyne rozwiązanie \(\displaystyle{ x=y=z=1}\), jeśli uznamy, że zero jest naturalne, to łatwo zauważyć, że i tak żadna z liczb nie może być zerem, więc nowych rozwiązań nie będzie.

15. P Czy istnieje ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) dla \(\displaystyle{ n=2,3,4,...}\) ściśle rosnący i taki że
1) \(\displaystyle{ a_2=2}\)
2) \(\displaystyle{ a_{nm}=a_n a_m}\) dla indeksów \(\displaystyle{ m, n}\) względnie pierwszych
3) istnieje indeks \(\displaystyle{ j}\) taki, że \(\displaystyle{ a_j \neq j}\)
?

16. Znajdź wszystkie trójki liczb całkowitych \(\displaystyle{ x,y,z}\) takie, że:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 4x^3+y^2=16 \\z^2+yz =3 \end{array}\right.}\)

17. Dowieść, że jeśli liczby całkowite \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są takie iż \(\displaystyle{ 2a^2+a=3b^2+b}\)
to liczby \(\displaystyle{ a-b}\) i \(\displaystyle{ 3a+3b+1}\) są kwadratami liczb całkowitych

18. Dana jest liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) i liczba naturalna \(\displaystyle{ a}\) taka, że \(\displaystyle{ a \leq p}\). Niech \(\displaystyle{ A= \sum_{j=0}^{p-1} a^j}\). Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ q}\) jest liczbą pierwszą i dzielnikiem \(\displaystyle{ A}\) to \(\displaystyle{ q-1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ p}\)

19. Liczbę naturalną \(\displaystyle{ m}\) zwiemy dobrą, jesli istnieje liczba \(\displaystyle{ n}\), taka, że \(\displaystyle{ m=\frac{n}{d(n)}}\) gdzie funkcja \(\displaystyle{ d(n)}\) oznacza ilosc dzielnikow liczby \(\displaystyle{ n}\). Np liczba \(\displaystyle{ m=5}\) jest dobra, bo dobieramy do niej \(\displaystyle{ n=60}\). Znajdź najmniejszą liczbę naturalna, która nie jest dobra.

20. Dane są liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b, c, d, e, f}\) takie, że \(\displaystyle{ abc = fed}\) Czy liczba \(\displaystyle{ a(b^2+c^2)+d(e^2+f^2)}\) może być pierwsza? Odpowiedź
uzasadnij

21. Liczby całkowite \(\displaystyle{ a, b, c}\) są takie iż obie sumy:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} +\frac{c}{a}}\) i \(\displaystyle{ \frac{a}{c} + \frac{c}{b} +\frac{b}{a}}\) są całkowite. Wykaż że \(\displaystyle{ |a| = |b|= |c|}\).

22. 1001 ntp. Niech \(\displaystyle{ a_n}\) bedzie ciągiem jaki powstaje z \(\displaystyle{ N}\) po skreśleniu wszystkich kwadratów, tj ciągiem \(\displaystyle{ 2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15,17,....}\) Wykazać, iż dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\) zachodzi
\(\displaystyle{ a_n= n+ || \sqrt{n} ||}\),
gdzie \(\displaystyle{ ||x||}\) oznacza liczbę całkowita najlepiej przybliżająca \(\displaystyle{ x}\), tj \(\displaystyle{ ||x||= \lfloor x +\frac{1}{2} \rfloor}\)

23. Niech \(\displaystyle{ S_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{ {n \choose k} }}\). Znajdz rekurencje jako spełnia ciąg \(\displaystyle{ S_n}\), a następnie użyj jej by "zwinac podana sume", tj obliczyć \(\displaystyle{ S_n}\) w sposób jawny

24. (Rozwiazane przez: Klorel i Sylwek)
Zwardon, Liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\) zwie się wypasioną*, jeżeli dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\), dzielącej \(\displaystyle{ n}\), liczba \(\displaystyle{ p^2}\) również dzieli \(\displaystyle{ n}\). Rozstrzygnąc, czy istnieje nieskończenie wiele liczb \(\displaystyle{ n}\), takich że \(\displaystyle{ n}\) oraz \(\displaystyle{ n+1}\) są wypasione .
* (ang. powerful number)
Zad. 24.
Klorel

Ukryta treść:    

równanie Pella dla D=8 ma nieskończenie wiele rozwiązań.*
\(\displaystyle{ x^2-8y^2=1 \Leftrightarrow x^2=1+8y^2}\)
\(\displaystyle{ 8y^2=2^3y^2}\) jest wypasiona i \(\displaystyle{ 8y^2+1}\) też jest wypasiona gdyż równa się \(\displaystyle{ x^2}\)

Sylwek

Ukryta treść:    

8, 9 spełniają, gdy n, n+1 są wypasione, to: \(\displaystyle{ 4n(n+1), (2n+1)^2}\) też, a to są dwie kolejne liczby naturalne (na dodatek większe, od tych poprzednich wypasionych), w ten sposób tworzymy nieskończony ciąg par liczb wypasionych

Ukryta treść:    

* mol
Jesli \(\displaystyle{ x^2-8y^2=1}\) to \(\displaystyle{ (x^2+8y^2)^2-8(2xy)^2=1}\)
start x=3, y=1

25. Wyznacz wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ m}\) dające się zapisac w postaci
\(\displaystyle{ m=\frac{1}{a_1}+ \frac{2}{a_2}+ \frac{3}{a_3}+...+\frac{1378}{a_{1378}}}\)
gdzie \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3, ...}\) są pewnymi liczbami naturalnymi.

26. Niech \(\displaystyle{ m}\), \(\displaystyle{ n}\) będą liczbami naturalnymi. Udowodnij że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) lezy między liczbami
\(\displaystyle{ \frac{m}{n}}\) a \(\displaystyle{ \frac{m+2n}{m+n}}\).

27. Rozstrzygnij, czy kwadrat liczby naturalnej może w zapisie dziesiętnym kończyć się ciągiem \(\displaystyle{ s>3}\) jednakowych cyfr, różnych od zera.
Uwaga: \(\displaystyle{ s=3}\) jest realizowane dla \(\displaystyle{ 38^2=1444}\)
*Wykaż iż istnieje nieskończenie wiele realizacji \(\displaystyle{ s=2}\)

28. Wykaż, że dla \(\displaystyle{ n \geq 2}\) przedział \(\displaystyle{ (2^n+1, 2^{n+1}-1)}\) zawiera liczbę \(\displaystyle{ k}\), która może być zapisana jako suma \(\displaystyle{ n}\) liczb pierwszych
Dać przykład dla \(\displaystyle{ n=10}\)

29. (Rozwiazane przez Mcbob)
Liczby całkowite \(\displaystyle{ x, y}\) spełniają równanie \(\displaystyle{ 3x+5y=2xy-1}\),
Wyznacz wszystkie mozliwe wartości wyrazenia
\(\displaystyle{ x-y}\)
Zad. 29.

Ukryta treść:    

Zapisujemy \(\displaystyle{ x-y=k;k \in Z}\)
Wyliczamy x \(\displaystyle{ x=k+y}\)
Wstawiamy do wyjściowego równania \(\displaystyle{ 5y+3(k+y)=2(k+y)y-1}\)
Mamy równanie kwadratowe zmiennej y \(\displaystyle{ 2y ^{2}+y(2k-8)-3k-1=0}\)
Liczymy delte \(\displaystyle{ \Delta=4(k ^{2}-2k+18)}\) wiemy że delta musi być kwadratem liczby całkowitej więc \(\displaystyle{ k ^{2}-2k+18=a ^{2};a \in Z}\)
Mamy równanie kwadratowe zmiennej k więc znowu delta
\(\displaystyle{ \Delta' =4(a ^{2}-17)}\)
I tu widać że szukamy dwóch kwadratów liczb całkowitych których różnica wynosi 17
Łatwo zauważyć że tylko \(\displaystyle{ 81}\) i \(\displaystyle{ 64}\) spełniają ten warunek więc \(\displaystyle{ a ^{2}=81}\)
Teraz wstawiamy \(\displaystyle{ k ^{2}-2k+18=81}\)
Wychodzi że \(\displaystyle{ k=-7 \vee k=9}\)

Ukryta treść:    

dla \(\displaystyle{ k=9, (11,2), (2, -7)}\)
dla \(\displaystyle{ k=-7, (-6,1), (3, 10)}\)

30. Wykaż, iż dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n>2}\) można dobrać \(\displaystyle{ n}\) parami różnych liczb \(\displaystyle{ a_j}\) takich że:
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n a_j= NWW(a_1, ...,a_n)=n!}\)
(Np dla \(\displaystyle{ n=4}\) moznaby wziąść liczby \(\displaystyle{ 1, 3, 8, 12}\), itd)

31. Niech \(\displaystyle{ n}\) bedzie liczbą naturalną. Wykaż, że jesli \(\displaystyle{ 2+2\sqrt{28n^2+1}}\) jest całkowita, to jest pełnym kwadratem. Czy możesz podać wszystkie takie \(\displaystyle{ n}\) (lub choćby najmniejsze trzy o takiej własności ?)

32. Znajdź ostatnią cyfrę liczby \(\displaystyle{ \lfloor (6+\sqrt{31})^{2009} \rfloor}\), gdzie. Ile cyfr ma ta liczba (w zapisie dziesiętnym) ?
Uwaga: \(\displaystyle{ \lfloor x \rfloor}\) oznacza część całkowitą liczby \(\displaystyle{ x}\)

33. P Niech \(\displaystyle{ p}\) bedzie liczba pierwsza postaci \(\displaystyle{ 10k \pm 3}\)
Wykaz ze \(\displaystyle{ p |F_{p+1}}\), ale \(\displaystyle{ p^2 \nmid F_{p+1}}\)
gdzie \(\displaystyle{ F_{n}}\) to ciag Fibonacciego

34. Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ S}\) jest zbiorem pewnych liczb całkowitych, i spełnia dwa warunki:
(1) istnieją \(\displaystyle{ x, y \in S}\) takie, że \(\displaystyle{ NWD(x, y)= NWD(x-2, y-2)=1}\)
(2) jesli \(\displaystyle{ x, y \in S}\) to \(\displaystyle{ x^2 - y \in S}\)*
* Dopuszczmy mozliwość \(\displaystyle{ x=y}\)
Wykaż, że \(\displaystyle{ S}\) jest zbiorem wszystkich liczb całkowitych

35. (Rozwiazane przez Qń)
Tak dobierz stałą \(\displaystyle{ a}\) by liczba \(\displaystyle{ (10^n+10^{n-1}+....+10+1)(10^{n+1}+a) +1}\) była kwadratem liczby naturalnej, dla dowolnego \(\displaystyle{ n=1, 2, 3....}\).
Zad. 35.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a=5}\) jest dobre.

Wtedy bowiem nasze wyrażenie jest równe:
\(\displaystyle{ \frac{10^{n+1}-1}{9}\cdot (10^{n+1}+5) + 1 = \frac{100^{n+1} + 4 \cdot 10^{n+1} + 4}{9} = \left( \frac{10^{n+1}+2}{3} \right)^2}\)
a oczywiście \(\displaystyle{ 3 | (10^{n+1}+2)}\) (bo suma cyfr tej liczby jest równa trzy), więc istotnie wyjściowe wyrażenie jest kwadratem liczby całkowitej

36. Dany jest ciąg \(\displaystyle{ A_n}\) zdefiniowany \(\displaystyle{ A_0=1, \ A_1=2}\) i \(\displaystyle{ A_{n+1}=A_n+ \frac{A_{n-1}}{1+A_{n-1}^2}}\).
wykaż ze \(\displaystyle{ 52<A_{1371} <65}\)
Czy mozna poprawić oszacowanie? (* czy mozna obliczyć \(\displaystyle{ \lfloor A_{1371} \rfloor}\) ?)

37. Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ a, b}\) są liczbami naturalnymi takimi, że liczba \(\displaystyle{ ab+2}\) dzieli liczbę \(\displaystyle{ a^2+ b^2}\) to liczba
\(\displaystyle{ \frac{2(a^2+b^2)}{ab+2}}\) jest kwadratem liczby naturalnej.

38. (Rozwiazane przez Qń)
Definiujemy funkcję \(\displaystyle{ f}\):
\(\displaystyle{ f(n)= \left\{\begin{array}{l} \frac{n}{2} \ gdy \ n \equiv 0 \ (mod \ 2) \\ 5n+1 \ gdy \ n \equiv 1 \ (mod \ 2) \end{array}\right.}\)
Podac przykład liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\), iż ciag kolejnych iteracji \(\displaystyle{ n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), ...}\) się "zapętli", tj nie wystapi w nim nigdy liczba \(\displaystyle{ 1}\)
zad 38

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 13 \rightarrow 66 \rightarrow 33\rightarrow 166\rightarrow 83\rightarrow 416 \rightarrow 208\rightarrow 104\rightarrow 52\rightarrow 26\rightarrow 13}\)

39. Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą nieparzystą, i \(\displaystyle{ n>2}\) to kongruencja \(\displaystyle{ x^2 \equiv a \ (mod \ 2^n)}\) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a \equiv 1 \ (mod \ 8)}\). Wykaż, ze wtedy istnieją dokłądnie cztery rozwiązania. Sprawdź dla \(\displaystyle{ n=5 , \ a=1}\)

40. Wyznacz wszystkie pary \(\displaystyle{ (x,y)}\) liczb naturalnych >1, takie, że liczba \(\displaystyle{ 3x+1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ y}\), zaś liczba
\(\displaystyle{ 3y+1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ x}\)
Następnie rozważ ten sam problem, ale w zbiorze liczb całkowitych. Czy będzie więcej rozwiązań?

41 P. Wykaz mozliwie najprosciej-elementarnie ze nie ma trzech takich liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) całkowitych ze
\(\displaystyle{ \frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}=0}\)

42. P Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ m>1}\) istnieje nieskońćzenie wiele liczb nieparzystych \(\displaystyle{ n}\) takich, że \(\displaystyle{ \sigma(n)>nm}\), gdzie
\(\displaystyle{ \sigma(n)}\) oznacza sumę wszystkich dzielników liczby \(\displaystyle{ n}\)

43. Znajdź wszystkie trójki \(\displaystyle{ a, b, c}\) liczb całkowitych takie, że:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a\equiv b \ (mod \ c)\\b\equiv c \ (mod \ a)\\c\equiv a \ (mod \ b) \end{array}\right.}\)

44. Wykaż, iż równanie \(\displaystyle{ x^2+x+1=py}\) ma rozwiązanie całkowitoliczbowe dla nieskończenie wielu liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\). Dać przykład takiego \(\displaystyle{ p}\) dla którego rówiązań nie ma.

45. (Rozwiązane przez mol_ksiazkowy)
P Niech \(\displaystyle{ n}\) bedzie liczba naturalną. Dowieść, ze wszystkie współczynniki rozwiniecia dwumianu Newtona \(\displaystyle{ (a+b)^n}\) są nieparzyste wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ n}\) ma postać
\(\displaystyle{ 2^k -1}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k}\)
zad 45

Ukryta treść:    

Gdy \(\displaystyle{ n}\) czyni zadość warunkom zadania, to obliczając wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{{n+1 \choose k}}{{n \choose k}}= \frac{n-k}{k+1}}\) widać, że ułamki:
\(\displaystyle{ \frac{n}{1}, \ \frac{n-1}{2} ,... ,\frac{n-k}{k+1} , ... \ \frac{2}{n-1}, \ \frac{1}{n}}\)
można zapisać w nieskracalnej formie, tj. o liczniku i mianowniku nieparzystym.
Liczba \(\displaystyle{ n}\) musi być nieparzysta, (bo \(\displaystyle{ {n \choose 1}=n}\)), tj. \(\displaystyle{ n=2^mk - 1}\)
przy czym \(\displaystyle{ k}\) jest nieparzyste, zas \(\displaystyle{ m>0}\)
Rozwiązaniem są liczby \(\displaystyle{ n=2^m-1}\) gdyż \(\displaystyle{ \frac{n-(2^m-1)}{2^m}=k-1}\) jest parzyste (\(\displaystyle{ k>1}\))
i na odwrót: gdy \(\displaystyle{ n=2^m-1}\), to \(\displaystyle{ k+1=2^qr}\) (\(\displaystyle{ r}\) jest nieparzyste) i:
\(\displaystyle{ \frac{n-k}{k+1}= \frac{2^{m-q}-r}{r}}\)
Przykład: gdy \(\displaystyle{ n=7}\) to \(\displaystyle{ {7 \choose 0}, {7 \choose 1}, {7 \choose 2}, {7 \choose 3}, {7 \choose 4}, {7 \choose 5}, {7 \choose 6}, {7 \choose 7}}\)
są równe \(\displaystyle{ 1, \ 7, \ 21, \ 35, \ 35, \ 21, \ 7, \ 1}\)

46. (Rozwiązane przez mol_ksiazkowy)
Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych \(\displaystyle{ (a, b)}\) takie, że
\(\displaystyle{ 4ab-a- b}\)
jest kwadratem liczby naturalnej

47. Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\) o następującej włąściwości:
Jeśli wzglednie pierwsze liczby dodatnie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są dzielnikami \(\displaystyle{ n}\), to również liczba \(\displaystyle{ a+b-1}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ n}\).

48. a Niech liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b}\) będą względnie pierwsze. Wykaż, że istnieje dokładnie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}(ab-a-b+1)}\) liczb naturalnych, których nie da się zapisać w formie \(\displaystyle{ ax+ by}\), przy czym \(\displaystyle{ x, y}\) są to liczby całkowie nieujemne.
b Wyznaczyc je dla dla \(\displaystyle{ a=7, b=3}\)

49. Wykazać, ze istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) takich, że
\(\displaystyle{ { n \choose 1}- { n \choose 3}+ { n \choose 5} -{ n \choose 7}+..... =\sqrt{2}^{n-1}}\)
Scharakteryzować rozmieszczenie wszystkich takich liczb w \(\displaystyle{ N}\)

50. (Rozwiązane przez czekoladowy)
Czy istnieje trójka liczb trójkątnych, \(\displaystyle{ t_n, t_k, t_m}\), która spełnia równanie Pitagorasa, tj \(\displaystyle{ t_n^2 +t_k^2=t_m^2}\) ?
Uwaga: \(\displaystyle{ n}\) ta liczba trójkątna wyraża sie wzorem \(\displaystyle{ t_n= \frac{n(n+1)}{2}}\)

51. Czy istnieje nieskończony ciąg złożony z liczb pierwszych \(\displaystyle{ q_n}\) taki, iz
\(\displaystyle{ q_1+q_2+...+q_n}\)
jest liczbą złożoną dla \(\displaystyle{ n= 2, 3....}\) ?

52. Ciag Fibonacciego- dwie własności, Jeśli \(\displaystyle{ F_n}\) jest ciągiem Fibonacciego to:
a) \(\displaystyle{ arcctg(F_{2n+1}) + arcctg(F_{2n+2}) = arcctg(F_{2n})}\) dla \(\displaystyle{ n=1, 2, 3,...}\)
b) Wykaż, że \(\displaystyle{ F_{2n}}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ F_{3n}+(-1)^n F_n}\) dla \(\displaystyle{ n>0}\)

53. M Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n > 1}\) istnieje liczba pierwsza, która dzieli dokładnie jedną liczbę naturalną nie większą od \(\displaystyle{ n}\).
Wskaż takie \(\displaystyle{ p}\) dla \(\displaystyle{ n=2009}\)

54. Niech \(\displaystyle{ n>1}\) i zbudujmy zbiór \(\displaystyle{ S=\{-n,-(n-1),\dots,-1,0,1,\dots,(n-1),n\} }\). Powiemy że podzbiór \(\displaystyle{ P \subset S}\) jest bazą dla \(\displaystyle{ S}\), jeśli dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in S}\) istnieją \(\displaystyle{ s_j \in P}\) t ze \(\displaystyle{ x =\sum_{j=1}^n s_j}\) oraz \(\displaystyle{ s_ i \neq s_j}\) dla \(\displaystyle{ i \neq j}\). Wyznacz najmniejszą możliwie liczbę \(\displaystyle{ k}\) taka, że każdy \(\displaystyle{ k}\) elementowy podzbiór \(\displaystyle{ S}\) jest bazą.

55. 1001 ntp Niech \(\displaystyle{ k \geq 1}\). Mówimy, że liczba \(\displaystyle{ n}\) jest k- hyper perfect, gdy
\(\displaystyle{ n= 1+ k\sum_{d|n, \ 1<d<n} d}\)
(Liczby \(\displaystyle{ 1}\)- hyper perfect , to po prostu liczby doskonałe).
a) Wykaż, ze \(\displaystyle{ n}\) jest k- hyper perfect wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ \sigma(n)= n+1 +\frac{n-1}{k}}\)
b) Jesli \(\displaystyle{ n}\) jest k- hyper perfect, to najmniejszy dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ n}\) jest > \(\displaystyle{ k}\)
c) Dać przykład liczby 2- hyper perfect i 3- hyper perfect

56. a Wykaż, że liczba Fermata \(\displaystyle{ F_n=2^{2^{n}}+1}\) jest pierwsza lub pseudopierwsza b Wykaż że każdy dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ p}\) liczby Fermata \(\displaystyle{ F_n}\) jest postaci
\(\displaystyle{ p=2^{n+1}k+1}\) gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą naturalną.
Nastepnie użyc tego by wykazac iz \(\displaystyle{ p=274177}\) jest dzielnikiem pierwszym liczby \(\displaystyle{ F_{6}}\)
Uwaga: Liczbę \(\displaystyle{ m}\) zwiemy pseudopierwszą, jeśli jest złożona i \(\displaystyle{ m}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ 2^m -2}\)

57.a Czy istnieje nieskończenie wiele par \(\displaystyle{ a,b}\) liczb naturalnych takich, że liczby
\(\displaystyle{ ab+a, \ ab + b}\)
są kwadratami liczb całkowitych?
b Czy istnieje wśród nich taka para, iż \(\displaystyle{ ab}\) jest także kwadratem?

58. Niech \(\displaystyle{ p>2}\) będzie liczbą pierwszą, i \(\displaystyle{ k=\frac{p-1}{2}}\) oraz ciąg \(\displaystyle{ a_1<a_2<...<a_{k+1}}\) liczb naturalnych. Wykazać, że istnieją indeksy \(\displaystyle{ i, j}\) takie, że
\(\displaystyle{ \frac{a_i}{NWD(a_i.a_j)} \geq k+1}\)

59. Niech \(\displaystyle{ t_k}\) bedzie k ta liczbą trójkątna i określamy \(\displaystyle{ f(n)=\frac{1}{k}}\), gdzie \(\displaystyle{ t_{k-1} <n \leq t_k}\). tj mamy: \(\displaystyle{ \sum_{n \leq t_k} f(n) =k}\)
Wykaż, że \(\displaystyle{ f(n)=||\sqrt{8n-7} ||^{-1}}\)
dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,...}\)

60. Niech \(\displaystyle{ m}\) będzie liczba całkowitą. Wykaz, że wyrażenie:
\(\displaystyle{ \lfloor \frac{3m+4}{13} \rfloor - \lfloor \frac{m-28- \lfloor \frac{m-7}{13} \rfloor }{4} \rfloor}\)
jest stałe, tj niezalezy od \(\displaystyle{ m}\)

61. Niech \(\displaystyle{ S_n}\) oznacza sumę początkowych \(\displaystyle{ n}\) liczb pierwszych. Wykaż, że między \(\displaystyle{ S_n}\) a \(\displaystyle{ S_{n+1}}\) leży kwadrat pewnej liczby całkowitej.
Czy \(\displaystyle{ m=2025}\) leźy między \(\displaystyle{ S_n}\) a \(\displaystyle{ S_{n+1}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) ?!

62. a Rozstrzygnij, czy istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych \(\displaystyle{ a}\) dla których można dobrać liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p}\) i liczbę całkowitą \(\displaystyle{ x}\) aby
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a-x}=p}\)
b Znajdż - o ile istnieją takie \(\displaystyle{ p}\) oraz \(\displaystyle{ x}\) dla \(\displaystyle{ a=740}\)

63. Dane są liczby całkowite \(\displaystyle{ a>0}\) i \(\displaystyle{ b>0}\), takie że \(\displaystyle{ 2a-1}\), \(\displaystyle{ 2b-1}\) i \(\displaystyle{ a+b}\) są to liczby pierwsze. Wykaż, iz \(\displaystyle{ a^b+b^a}\) i \(\displaystyle{ a^a+b^b}\) nie są podzielne przez \(\displaystyle{ a+b}\)
Podać przykłady, że jeśli opuścić dowolne z założen (np. ze \(\displaystyle{ a+b}\) jest pierwsza), teza nie zachodzi

64. a Wyznacz wszystkie pary \(\displaystyle{ (x,y)}\) liczb naturalnych >1, takie, że liczba \(\displaystyle{ 2xy-1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ (x-1)(y-1)}\)
b Rozważ ten sam problem w dziedzinie liczb całkowitych. Czy rozwiązań bedzie wiecej ?

65. Niech \(\displaystyle{ a>1}\) będzie liczbą naturalną. I niech będzie dany zbiór \(\displaystyle{ A \subset N}\), \(\displaystyle{ A \neq \emptyset}\), taki, że jeśli \(\displaystyle{ k \in A}\) to \(\displaystyle{ k+2a \in A}\) i \(\displaystyle{ \lfloor \frac{k}{a} \rfloor \in A}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ A=N}\)
Uwaga: \(\displaystyle{ \lfloor x \rfloor}\) oznacza część całkowitą liczby \(\displaystyle{ x}\).

66. (Rozwiazane przez Swistak)
1001 ntp Wykaza że dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\) liczba
\(\displaystyle{ \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{8}}\)
jest liczbą trójkątna \(\displaystyle{ t_k}\) dla pewnego k
Zad. 66.

Ukryta treść:    

Przyjmijmy oznaczenie \(\displaystyle{ a=\frac{n^{2}+3n}{2}}\). Oczywiście a jest całkowite.Zauważmy, że \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{8}=\frac{(n^{2}+3n)(n^{2}+3n+2)}{8}=\frac{2a(2a+2)}{8}=\frac{a(a+1)}{2}}\). A to wyrażenie jest liczbą trójkątną dla \(\displaystyle{ k=a}\).
c.b.d.u.

67. Niech \(\displaystyle{ M_0 =2^{2^{6}}+15}\)
a) Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ 107}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ M_0}\)
b) Wyznacz najmniejszy dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ p}\) liczby \(\displaystyle{ M_0}\)
c) jeśli \(\displaystyle{ f(n)=n^{16} +n-1}\), to istnieje \(\displaystyle{ n \in N}\) takie ze \(\displaystyle{ M_0=f(n)}\)

68. Znależć wszystkie skończone zbiory liczb całkowitych dodatnich, o co najmniej dwóch elementach,
mające wlasnosc: dla dowolnych dwóch liczb \(\displaystyle{ a, b (a > b)}\) nalezacych do zbioru, liczba \(\displaystyle{ \frac{b^2}{a-b}}\) takze nalezy
do tego zbioru.

69. Mathlinks Niech dana będzie liczba całkowita \(\displaystyle{ a>17}\) i taka, ze \(\displaystyle{ 3a-2}\) jest kwadratem. Wykaż, że istnieją takie \(\displaystyle{ b, c \in N}\) iż liczby \(\displaystyle{ a+b, b+c, c+a, a+b+c}\) są kwadratami.
Wskaż \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\), dla \(\displaystyle{ a=34}\)

70. Liczbę całkowitą \(\displaystyle{ n>0}\) zwiemy obfitą, jeśli \(\displaystyle{ \sigma(n)>2n}\), (np \(\displaystyle{ 45}\) nie jest obfita, bo \(\displaystyle{ \sigma(45)=78 <90}\)). Dać przykład nieparzystej liczby obfitej.
Wykazac, iż liczb obfitych jest nieskończenie wiele.

71. Wyznacz liczbe układów \(\displaystyle{ (x_1,...,x_{17})}\), gdzie \(\displaystyle{ x_i \in \{ -1,0,1 \}}\) takich ze zachodza dwa warunki:
1) \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{17} x_i =11}\)
2) \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k} x_i \geq 0}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2, ...,17}\)

72. Liczba Nivena zwie się taką liczbą naturalna, która jest podzielna przez sumę swoich cyfr np \(\displaystyle{ 81}\) jest liczba Nivena (gdyz dzieli się przez \(\displaystyle{ 8+1}\)), zaś \(\displaystyle{ 71}\) nie jest liczba Nivena (gdyz nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 7+1}\)).
Uzywając komputera znajdz wszystkie liczby Nivena \(\displaystyle{ n \in [12476, \ 12645 ]}\)

73. Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą naturalną. Wykaż, iż każdy nieparzysty dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ p}\) liczby \(\displaystyle{ n^2+1}\) ma postać \(\displaystyle{ 12k+1}\) lub \(\displaystyle{ 12k+5}\), dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \{0,1,2, 3,... \}}\)

74. Mówimy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\), o dziedzinie \(\displaystyle{ N}\) jest multi, gdy \(\displaystyle{ f(1)=1}\) oraz gdy zachodzi implikacja: jeżeli \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) są względnie pierwsze to \(\displaystyle{ f(mn)=f(m)f(n)}\).
Jesli zaś implikacja ta zachodzi dla dowolnych \(\displaystyle{ m, n \in N}\) (a nie tylko dla wzglednie pierwszych) to f zwiemy full multi.
Wykaż, ze funkcja \(\displaystyle{ f(n) = \lfloor \sqrt{n} \rfloor - \lfloor \sqrt{n-1} \rfloor}\) jest multi. A czy jest full multi ?

75. (Rozwiazane przez Qń)
Czy istnieje funkcja multi , taka, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(30)=0\\f(105)=1\\f(70)=1\end{cases}}\)
?
Zad. 75.

Ukryta treść:    

Nie istnieje. Gdyby bowiem istniała, to mielibyśmy równoważnie:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
f(2\cdot 3 \cdot 5 )=0\\
f(3 \cdot 5 \cdot 7)=1\\
f(2 \cdot 5 \cdot 7)=1
\end{cases}}\)

Z uwagi na to, że funkcja jest multi:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
f(2)\cdot f(3) \cdot f(5 )=0\\
f(3) \cdot f(5) \cdot f(7)=1\\
f(2) \cdot f(5) \cdot f(7)=1
\end{cases}}\)

Ale to już sprzeczność, bo z dwóch ostatnich równości wynika, że żaden czynnik po lewej stronie w pierwszej równości nie może być zerem.

76. Mówimy, iż \(\displaystyle{ f}\) jest strong multi, gdy jest multi i gdy dla dowolnej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ m \in N}\) \(\displaystyle{ f(p^m)= f(p)}\)
Które z poniższych czterech funkji \(\displaystyle{ f_j}\) są strong multi:
\(\displaystyle{ f_1(n)= \prod_{p |n} p}\)
\(\displaystyle{ f_2(n)= \sum_{d |n} d^2}\)
\(\displaystyle{ f_3(n)= 2^{\omega(n)}}\)
\(\displaystyle{ f_4(n)= \sum_{d |n} \mu^2(d) d}\)
Uwaga:
\(\displaystyle{ \omega(n)}\) to ilość dzielników pierwszych liczby \(\displaystyle{ n}\),(\(\displaystyle{ \omega(1)=0}\)),
\(\displaystyle{ \mu()}\) funkcja Moebiusa
?

77. (Rozwiazane przez mol_ksiazkowy)
Oblicz wartość wyrazenia:
\(\displaystyle{ \frac{(10^4 + 324)(22^4 + 324)(34^4 + 324)(46^4 + 324)(58^4 + 324)}{(4^4 + 324)(16^4 + 324)(28^4 + 324)(40^4 + 324)(52^4 + 324)}}\)
Zad. 77.

Ukryta treść:    

Mamy ze \(\displaystyle{ N= \prod_{k=0}^4 \frac{(12k+10)^4 + 18^2 }{(12k+4)^4 + 18^2}}\)
(dzieki uzyciu wzoru \(\displaystyle{ a^4+18^2 =(a^2+18+6a)(a^2+18-6a)}\) i redukcji ), tj
\(\displaystyle{ N=\prod_{k=0}^4 \frac{144k^2+312k+178 }{144k^2+24k+10}= \prod_{k=0}^4 \frac{a_k}{b_k}= \frac{a_4}{b_0}=373}\)
jako ze dla \(\displaystyle{ a_k = 144k^2+312k+178}\) i \(\displaystyle{ b_k = 144k^2+24k+10}\) mamy \(\displaystyle{ b_{k+1}=a_k}\)

78. Liczba \(\displaystyle{ 145}\) ma ciekawą własność, tj wyraża się ona przez sumę silni swoich cyfr, tj. \(\displaystyle{ 145=1! + 4!+ 5!}\). Liczbę o tej własności zwiemy silną. Wyznaczyć wszystkie liczby silne \(\displaystyle{ M=(a_n a_{n-1}...a_1 a_0)_{10}=\sum_{j=0}^{n} a_j 10^j}\), przy czym zakładamy \(\displaystyle{ a_{n-1} \neq 0}\).
Czy bez tego załozenia rozwiazań bedzie wiecej?

79. Liczbę naturalną \(\displaystyle{ n>1}\) nazywa sie kwadratową jeśli jest podzielna przez kwadrat pewnej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\). (np \(\displaystyle{ n=70}\) nie jest kwadratową, zaś \(\displaystyle{ n=147}\) jest ). Czy istnieje nieskończony ciąg arytmetyczny liczb kwadratowych \(\displaystyle{ a, a+r, a+2r, ....}\) i taki, że \(\displaystyle{ NWD(a,r)=1}\) ?

80. 1001 ntp. Powiemy, że liczba \(\displaystyle{ n}\) ma rozwinięcie Cantora, jesli można ją zapisać w formie:
\(\displaystyle{ n= \sum_{j=1}^m j! a_j}\),
gdzie \(\displaystyle{ a_j}\) są to liczby całkowite: \(\displaystyle{ 0 \leq a_j \leq j}\), dla \(\displaystyle{ j=1,...,m}\)
a) Znajdz rozwinięcie Cantora liczb \(\displaystyle{ 23}\) i \(\displaystyle{ 57}\)
b) Wykaz iż kazda liczba naturalna posiada rozwinięcie Cantora i jest ono jedyne.

81. 1001 ntp. a Mówimy, iż liczba naturalna \(\displaystyle{ n>1}\) jest automorficzna jeśli wzięte od pewnego miejsca, ostatnie cyfry liczby \(\displaystyle{ n^2}\) (w zapisie dzisiętnym) tworzą liczbę \(\displaystyle{ n}\). I tak np liczby \(\displaystyle{ 5, 25}\) oraz \(\displaystyle{ 625}\) są automorficzne.
Wykazać, iż istnieje nieskończenie wiele liczb automorficznych.
b Przykładem cztero-cyfrowej liczby automorficznej jest \(\displaystyle{ 9376}\). Czy istnieje pięcio-cyfrowa liczba automorficzna ?

82. zoI, P Znależć cztery takie liczby naturalne, aby suma każdych dwóch spośród nich była pełnym kwadratem. (Jest to uogólnienie zadania Diofantosa dla trzech liczb, - wtedy mozna wziasc np. \(\displaystyle{ 41, 80, 320}\)).

83. P Czy istnieją liczby naturalne różne od \(\displaystyle{ n=1}\) i \(\displaystyle{ n=25}\) o tej wlasnosci, iz ułamek \(\displaystyle{ \frac{1}{n(n+7)}}\) wyraza sie jako skończony ułamek dziesiętny ?
b) Czy istnieje liczba pierwsza \(\displaystyle{ p>5}\) o tej wlasnosci, iz ułamek
\(\displaystyle{ \frac{1}{n(n+p)}}\) wyraza sie jako skończony ułamek dziesiętny dla wiecej niż dwóch wartosci \(\displaystyle{ n}\)?

84. Wykaż iż układ kongruencji
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv a \ (mod \ m)\\ x \equiv b \ (mod \ n)\end{cases}}\)
ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ NWD(m,n)|a-b}\)

85. Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ N= ((\sqrt{6}+\sqrt{19})^{1980} - (\sqrt{6}-\sqrt{19})^{1980})\sqrt{114}}\) jest całkowita,
oraz znajdź ostatnią cyfrę tej liczby

86. Mathlinks Wykaż że jeśli \(\displaystyle{ x, y, z}\) są to liczby naturalne, to \(\displaystyle{ (xy+1)(yz+1)(zx+1)}\) jest kwadratem, wtedy i tylko wtedy, gdy każda z liczb \(\displaystyle{ xy+1}\), \(\displaystyle{ yz+1}\), \(\displaystyle{ zx+1}\) jest kwadratem.
(Przykład \(\displaystyle{ x=3, \ y=5, \ z=16}\))

87. Jeśli \(\displaystyle{ S}\) jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych, to \(\displaystyle{ S+1= \{x+1 \ : x\in S \}}\) jest przesunięciem \(\displaystyle{ S}\). Ile podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, 2, ...,n \}}\) ma te własność iż:
\(\displaystyle{ S \cup (S+1) = \{ 1, 2,...,n+1 \}}\) ?

88. Udowodnij, ze jeśli \(\displaystyle{ p>1}\) i \(\displaystyle{ d>0}\) są to liczby całkowite, to wtedy liczby \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ p+d}\) są obie pierwsze, wtedy i tylko wtedy, gdy liczba
\(\displaystyle{ (p-1)! (\frac{1}{p} + \frac{(-1)^d d!}{p+d}) + \frac{1}{p}+\frac{1}{p+d}}\)
jest całkowita

89. (Rozwiazane przez Qń)
Zbiór \(\displaystyle{ \{ 2,...,15 \}}\) rodziel na siedem parami rozłacznych zbiorów dwuelementowych \(\displaystyle{ A =\{ x,y \}}\), tak by w każdym z nich \(\displaystyle{ xy \equiv 1 \ (mod \ 17)}\)
Zad. 89.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 2\cdot 9 \equiv3 \cdot 6 \equiv4 \cdot 13 \equiv 5 \cdot 7 \equiv 8 \cdot 15 \equiv 10 \cdot 12 \equiv 11 \cdot 14 \equiv 1 \mod 17}\)

90. Wykaż, ze funkcja \(\displaystyle{ \lambda(n)=n \prod_{p |n} (1+\frac{1}{p})}\)
a) jest multi
b) \(\displaystyle{ \lambda(n) \leq \sigma(n)}\), a równość zachodzi, gdy \(\displaystyle{ n}\) jest bezkwadratowa
c) \(\displaystyle{ \lambda(n)=2n}\) tylko gdy \(\displaystyle{ n=2^a 3^b}\), dla \(\displaystyle{ a, b=1,2,3,...}\)

91. (Rozwiazane przez Artist)
Powiemy, iż liczba \(\displaystyle{ n}\) jest kompletna, jesli \(\displaystyle{ n^2}\) ma w zapisie dziesiętnym każda cyfrę i to dokładnie każda jeden raz. Najmniejsza taka liczbą jest \(\displaystyle{ 32043}\). Dać inny przykład liczby kompletnej. Czy liczba kompletna może być pierwsza?
Zad. 91.

Ukryta treść:    

Na samym początku zauważmy, że liczba ta jest 5 cyfrowa. Na przykład \(\displaystyle{ 99066=}\)
Teraz \(\displaystyle{ n^{2}}\) ma jako sumę cyfr: \(\displaystyle{ 1+2+3+....+9=45}\), zatem jest podzielne przez 9, przez co n jest podzielne przez 3 i nie może być pierwsze.

92. (Rozwiązane przez XMas11)
Mathlinks, Czy istnieją takie liczby całkowite \(\displaystyle{ a, b, c}\), i liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) iż
\(\displaystyle{ \frac{1}{p}= \frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\)
?

93. P Ciag \(\displaystyle{ a_j}\) dla \(\displaystyle{ j=1, ..400}\) liczb naturalnych spełnia rekurencje Ciag \(\displaystyle{ a_{n+1}= d(a_n)+d(n)}\) dla \(\displaystyle{ n=1, 2,...,399}\); gdzie \(\displaystyle{ d(k)}\) oznacza liczbę dodatnich dzielników liczby \(\displaystyle{ k}\). Udowodnij, ze w tym ciagu wystepuje co najwyzej \(\displaystyle{ 210}\) liczb pierwszych.

94. P (Rozwiązanie podlinkowane przez marek12)
Rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ n+k=( NWD(n,k))^2}\)
\(\displaystyle{ k+m=(NWD(k,m))^2}\)
\(\displaystyle{ n+m=(NWD(m,n))^2}\)
gdy
\(\displaystyle{ n,m, k \in N}\)
Zad. 94

Ukryta treść:    

Zepsuty link

95. (Rozwiazane przez Dumel)
Czy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f}\) różnowartościowa określona na zbiorze \(\displaystyle{ N}\) i o wartosciach w zbiorze \(\displaystyle{ \{0,1,2,3,... \}}\) i taka, że dla dowolnych \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\): \(\displaystyle{ f(mn)=f(m)+f(n)}\)?
Odpowiedz uzasadnij
Zad. 95.

Ukryta treść:    

nie istnieje. łatwo pokazać, że f(1)=0. niech \(\displaystyle{ (p_i)}\) będzie ciągiem liczb pierwszych. oznaczmy \(\displaystyle{ f(p_i)=q_i \neq 0}\). łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ f( \prod_{i=1}^{n} p_{a_i}^{b_i})= \sum_{i=1}^{n}b_iq_{a_i}}\). wobec tego
\(\displaystyle{ f((p_1p_2...p_m)^{q_{n+1}})=q_{n+1}(q_1+q_2+...+q_n)=f(p_{n+1}^{q_1+q_2+...+q_n} )}\). rozkład na cznniki pierwsze jest jednoznaczny, więc funkcja nie jest różnowartościowa.

96. Mathlinks P Niech zbior \(\displaystyle{ S \subset N}\) ma te własnosci
a) \(\displaystyle{ S}\) zawiera wszystkie szesciany liczb naturalnych
b) nie istnieja liczby naturalne \(\displaystyle{ x,y,z}\) takie ze
wśrod liczb \(\displaystyle{ x,x,z, x^3+y^3+z^3}\) dokladnie trzy są w \(\displaystyle{ S}\)
Wykaz ze \(\displaystyle{ S=N}\)

97. Mathlinks, Określamy ciąg \(\displaystyle{ a_j}\) dla \(\displaystyle{ j \in \{0,1,2,...,k-1\}=D}\), tak, że \(\displaystyle{ a_0=1}\) i \(\displaystyle{ a_{n}\equiv a_{n-1}+n (mod\ k)}\). Dla jakich wartości \(\displaystyle{ k}\) ciąg ten przyjmuje każda wartość z \(\displaystyle{ D}\) ?

98. P Dwie liczby naturalne \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) zwiemy podobnymi, jeśli mają te same dzielniki pierwsze (np \(\displaystyle{ 3*5^2*7}\) i \(\displaystyle{ 3*5*7^4}\)). Liczby \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) zwiemy bardzo podobnymi, jeśli podobne są \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) oraz \(\displaystyle{ m+1}\) i \(\displaystyle{ n+1}\). (np bardzo podobne są \(\displaystyle{ 6}\) i \(\displaystyle{ 48}\)). Czy istnieje nieskończenie wiele par liczb bardzo podobnych ?

99. Mathlinks, Czy zbiór \(\displaystyle{ N}\) można rozbić na dwa rozłączne zbiory niekończone \(\displaystyle{ A, B}\) takie, że suma dowolnych trzech elementów z \(\displaystyle{ A}\) nalezy do \(\displaystyle{ A}\) zaś suma dowolnych trzech elementów z \(\displaystyle{ B}\) nalezy do \(\displaystyle{ B}\) ?( poza oczywistym rozbiciem na zbior liczb parzystych i nieparzystych). Odpowiedz uzasadnij

100. Niech \(\displaystyle{ S}\) bedzie zbiorem 43 liczb naturalnych nie większych niż \(\displaystyle{ 100}\). Dla każdego podzbioru \(\displaystyle{ X \subset S}\) niech \(\displaystyle{ t_X}\) to będzie iloczyn wszystkich liczb ze zbioru \(\displaystyle{ X}\). Wykaż, ze istnieją dwa rozłaczne podzbiory \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) zbioru \(\displaystyle{ S}\) takie, że \(\displaystyle{ t_At_B^2}\) jest sześcianem liczby naturalnej

[Artist]

91. Powiemy, iż liczba n jest kompletna, jesli n^{2} ma w zapisie dziesiętnym każda cyfrę i to dokładnie każda jeden raz. Najmniejsza taka liczbą jest 32043. Dać inny przykład liczby kompletnej. Czy liczba kompletna może być pierwsza?

Na samym początku zauważmy, że liczba ta jest 5 cyfrowa. Na przykład \(\displaystyle{ 99066=}\)
Teraz \(\displaystyle{ n^{2}}\) ma jako sumę cyfr: \(\displaystyle{ 1+2+3+....+9=45}\), zatem jest podzielne przez 9, przez co n jest podzielne przez 3 i nie może być pierwsze.

[Swistak]

Zad 4:    

Domyślam się, że w zadaniu 0 nie należy do zbioru liczb naturalnych, ponieważ wtedy dla a=b=c=d większych lub równych 1, teza byłaby niespełniona.
Zakładamy, że teza jest spełniona i dane wyrażenie należy do liczb naturalnych.
Przekształcamy je do postaci \(\displaystyle{ \frac{(ad-bc)^{2}}{abcd} \Rightarrow abcd|(ad-bc)^{2} \wedge ad \neq bc \Rightarrow abcd|a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2} \wedge ad \neq bc}\)
Dla każdej liczby \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) przyjmijmy oznaczenie \(\displaystyle{ i=2^{i_{1}}\cdot 3^{i_{2}} \cdot 5^{i_{3}} \cdot ...}\)
Zauważmy, że wtedy w rozkładzie liczby \(\displaystyle{ abcd}\) przy n-tej liczbie pierwszej występuje wykładnik \(\displaystyle{ a_{n}+b_{n}+c_{n}+d_{n}}\), w rozkładzie liczby \(\displaystyle{ a^{2}d^{2}}\) przy n-tej liczbie pierwszej występuje wykładnik \(\displaystyle{ 2(a_{n}+d_{n})}\), a w liczbie \(\displaystyle{ b^{2}c^{2}}\) przy niej wystepuje wykładnik \(\displaystyle{ 2(b_{n}+c_{n})}\). Zauważmy, że nie może zachodzić zarówno \(\displaystyle{ 2(a_{n}+d_{n})<a_{n}+b_{n}+c_{n}+d_{n}}\) i \(\displaystyle{ 2(b_{n}+c_{n})<a_{n}+b_{n}+c_{n}+d_{n}}\), bo wtedy zachodziłoby także \(\displaystyle{ 2(a_{n}+d_{n}+b_{n}+c_{n})<2(a_{n}+b_{n}+c_{n}+d_{n})}\), co jest oczywistą nieprawdą. Zatem liczba \(\displaystyle{ a_{n}+b_{n}+c_{n}+d_{n}}\) jest mniejsza lub równa od co najmniej jednej z dwóch liczb \(\displaystyle{ 2(a_{n}+d_{n})}\) i \(\displaystyle{ 2(b_{n}+c_{n})}\). Załóżmy bez zmniejszania ogólności, że jest to \(\displaystyle{ 2(b_{n}+c_{n})}\). Jeżeli przez \(\displaystyle{ p_{n}}\) oznaczymy n-ta liczbę pierwszą, to wtedy zachodzi \(\displaystyle{ p_{n}^{a_{n}+b_{n}+c_{n}+d_{n}}|p_{n}^{2(a_{n}+d_{n})}+p_{n}^{2(b_{n}+c_{n})}}\), a zgodnie z przyjętym założeniem dana liczba dzieli drugi składnik danej sumy, a więc musi dzielić także pierwszy składnik sumy. A więc zachodzi \(\displaystyle{ a_{n}+b+c_{n}+d_{n} \le 2(a_{n}+d_{n}) \wedge a_{n}+b_{n}+c_{n}+d_{n} \le 2(b_{n}+c_{n})}\). Dodając stronami otrzymujemy \(\displaystyle{ 2(a_{n}+b+c_{n}+d_{n}) \le 2(a_{n}+d_{n}+b_{n}+c_{n})}\), a równość zachodzi tylko wtedy, jeżeli zachodziły równości w dodanych nierównościach. Z tego wniosek, że \(\displaystyle{ a_{n}+d_{n}=b_{n}+c_{n} \Rightarrow ad=bc}\), a więc otrzymaliśmy sprzeczność
c.b.d.u.

-- 5 września 2009, 13:19 --

Zad 26:    

Rozpatrzmy 2 przypadki.
\(\displaystyle{ 1^{o} tex]\frac{m}{n}<\sqrt{2} \Rightarrow m<n\sqrt{2} \Rightarrow (\sqrt{2}-1)m<(2-\sqrt{2})n \Rightarrow \sqrt{2}(m+n)<m+2n \Rightarrow \sqrt{2}<\frac{m+2n}{m+n}}\)
Drugi przypadek, gdy \(\displaystyle{ \frac{m}{n}>\sqrt{2}}\) rozpatrujemy analogicznie.
c.b.d.u.

-- 5 września 2009, 21:37 --

Zad 66:    

Przyjmijmy oznaczenie \(\displaystyle{ a=\frac{n^{2}+3n}{2}}\). Oczywiście a jest całkowite.Zauważmy, że \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{8}=\frac{(n^{2}+3n)(n^{2}+3n+2)}{8}=\frac{2a(2a+2)}{8}=\frac{a(a+1)}{2}}\). A to wyrażenie jest liczbą trójkątną dla \(\displaystyle{ k=a}\).
c.b.d.u.

[mcbob]

Zad.29

Ukryta treść:    

Zapisujemy \(\displaystyle{ x-y=k;k \in Z}\)
Wyliczamy x \(\displaystyle{ x=k+y}\)
Wstawiamy do wyjściowego równania \(\displaystyle{ 5y+3(k+y)=2(k+y)y-1}\)
Mamy równanie kwadratowe zmiennej y \(\displaystyle{ 2y ^{2}+y(2k-8)-3k-1=0}\)
Liczymy delte \(\displaystyle{ \Delta=4(k ^{2}-2k+18)}\) wiemy że delta musi być kwadratem liczby całkowitej więc \(\displaystyle{ k ^{2}-2k+18=a ^{2};a \in Z}\)
Mamy równanie kwadratowe zmiennej k więc znowu delta
\(\displaystyle{ \Delta' =4(a ^{2}-17)}\)
I tu widać że szukamy dwóch kwadratów liczb całkowitych których różnica wynosi 17
Łatwo zauważyć że tylko \(\displaystyle{ 81}\) i \(\displaystyle{ 64}\) spełniają ten warunek więc \(\displaystyle{ a ^{2}=81}\)
Teraz wstawiamy \(\displaystyle{ k ^{2}-2k+18=81}\)
Wychodzi że \(\displaystyle{ k=-7 \vee k=9}\)

[marek12]

94
... -01feb.pdf

[Qń]

Zadanie 14:    

Mamy:
\(\displaystyle{ x^3+y^3 = 2z^3 \Leftrightarrow (x^3-x ) + (y^3-y) +(z^3- z) - 3z^3 = - (x+y+z)}\)
Każdy składnik po lewej stronie jest podzielny przez trzy (małe twierdzenie Fermata), zatem i prawa strona musi być podzielna przez trzy, a jeśli \(\displaystyle{ x+y+z}\) ma być liczbą pierwszą, to musi się po prostu równać trzy. Jeśli uznamy, że zero nie jest naturalne, to od razu dostajemy jedyne rozwiązanie \(\displaystyle{ x=y=z=1}\), jeśli uznamy, że zero jest naturalne, to łatwo zauważyć, że i tak żadna z liczb nie może być zerem, więc nowych rozwiązań nie będzie.

Q.

[kumnopek1]

do zadania 4 alternatywne rozwiązanie (sprawdzić )

Ukryta treść:    

odnośnie zadania czwartego, znalazłem chyba prostsze rozwiązanie niż to świstakowe

niech \(\displaystyle{ x= \frac{a}{b}}\), \(\displaystyle{ y= \frac{c}{d}}\) oraz niech \(\displaystyle{ z}\) jest dowolną liczbą naturalną

wtenczas (uwielbiam to słowo) :

\(\displaystyle{ z = (x - y)( \frac{1}{y} - \frac{1}{x} )}\)
\(\displaystyle{ z = (x-y)\frac{x-y}{xy}}\)
\(\displaystyle{ z = \frac{(x-y) ^{2}}{xy}}\)
\(\displaystyle{ z = \frac{x^{2} + y^{2}}{xy} - 2}\)
\(\displaystyle{ z = ( \frac{x}{y} + \frac{y}{x}) - 2}\)

teraz wystarczy się zastanowić, czy prawa strona może być liczbą naturalną;

otóż załóżmy, że \(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = k e N > 2}\)
\(\displaystyle{ t + \frac{1}{t} = k, k e N > 2}\)
\(\displaystyle{ t^{2} -kt + 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ delta=k^{2} - 4}\)
\(\displaystyle{ 2^{2}=4}\)
\(\displaystyle{ 3^{2}=9}\)
\(\displaystyle{ 4^{2}=16}\)
jak widać odległości między kolejnymi kwadratami są > od 4, więc delta na pewno nie jest kwadratem liczby całkowitej;

dla przypadku k=2 wychodzi, że x i y są równe jeden a z jest równe zero, więc ten przypadek można od razu odrzucić

dobrze, źle?

[Qń]

Zadanie 38:    

\(\displaystyle{ 13 \rightarrow 66 \rightarrow 33\rightarrow 166\rightarrow 83\rightarrow 416 \rightarrow 208\rightarrow 104\rightarrow 52\rightarrow 26\rightarrow 13}\)

Q.

[Klorel]

24.
Nie ja jestem autorem, tylko xmass na warsztatach zrobił, tak przeglądałem zadania i na nie trafiłem, pomyślałem, ze może komuś się przyda i będzie jedno zadanie odhaczone.
Sylwek zrobił prościej, ale nie mogę sobie przypomnieć jak ;] ( nie słuchałem go wtedy na omówieniu szczerze mówiąc xD;])

Ukryta treść:    

równanie Pella dla D=8 ma nieskończenie wiele rozwiązań.
\(\displaystyle{ x^2-8y^2=1 \Leftrightarrow x^2=1+8y^2}\)
\(\displaystyle{ 8y^2=2^3y^2}\) jest wypasiona i \(\displaystyle{ 8y^2+1}\) też jest wypasiona gdyż równa się \(\displaystyle{ x^2}\)

[Sylwek]

8, 9 spełniają, gdy n, n+1 są wypasione, to: \(\displaystyle{ 4n(n+1), (2n+1)^2}\) też, a to są dwie kolejne liczby naturalne (na dodatek większe, od tych poprzednich wypasionych), w ten sposób tworzymy nieskończony ciąg par liczb wypasionych.

[Qń]

Zadanie 89:    

\(\displaystyle{ 2\cdot 9 \equiv3 \cdot 6 \equiv4 \cdot 13 \equiv 5 \cdot 7 \equiv 8 \cdot 15 \equiv 10 \cdot 12 \equiv 11 \cdot 14 \equiv 1 \mod 17}\)

Q.

[Dumel]

95.:    

nie istnieje. łatwo pokazać, że f(1)=0. niech \(\displaystyle{ (p_i)}\) będzie ciągiem liczb pierwszych. oznaczmy \(\displaystyle{ f(p_i)=q_i \neq 0}\). łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ f( \prod_{i=1}^{n} p_{a_i}^{b_i})= \sum_{i=1}^{n}b_iq_{a_i}}\). wobec tego
\(\displaystyle{ f((p_1p_2...p_m)^{q_{n+1}})=q_{n+1}(q_1+q_2+...+q_n)=f(p_{n+1}^{q_1+q_2+...+q_n} )}\). rozkład na cznniki pierwsze jest jednoznaczny, więc funkcja nie jest różnowartościowa.

[Qń]

Zadanie 30:    

\(\displaystyle{ a=5}\) jest dobre.

Wtedy bowiem nasze wyrażenie jest równe:
\(\displaystyle{ \frac{10^{n+1}-1}{9}\cdot (10^{n+1}+5) + 1 = \frac{100^{n+1} + 4 \cdot 10^{n+1} + 4}{9} = \left( \frac{10^{n+1}+2}{3} \right)^2}\)
a oczywiście \(\displaystyle{ 3 | (10^{n+1}+2)}\) (bo suma cyfr tej liczby jest równa trzy), więc istotnie wyjściowe wyrażenie jest kwadratem liczby całkowitej

Q.

[mol_ksiazkowy]

77

Ukryta treść:    

Mamy ze \(\displaystyle{ N= \prod_{k=0}^4 \frac{(12k+10)^4 + 18^2 }{(12k+4)^4 + 18^2}}\)
(dzieki uzyciu wzoru \(\displaystyle{ a^4+18^2 =(a^2+18+6a)(a^2+18-6a)}\) i redukcji ), tj
\(\displaystyle{ N=\prod_{k=0}^4 \frac{144k^2+312k+178 }{144k^2+24k+10}= \prod_{k=0}^4 \frac{a_k}{b_k}= \frac{a_4}{b_0}=373}\)
jako ze dla \(\displaystyle{ a_k = 144k^2+312k+178}\) i \(\displaystyle{ b_k = 144k^2+24k+10}\) mamy \(\displaystyle{ b_{k+1}=a_k}\)

[Qń]

Zadanie 75:    

Nie istnieje.

Gdyby bowiem istniała, to mielibyśmy równoważnie:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
f(2\cdot 3 \cdot 5 )=0\\
f(3 \cdot 5 \cdot 7)=1\\
f(2 \cdot 5 \cdot 7)=1
\end{cases}}\)

Z uwagi na to, że funkcja jest multi:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
f(2)\cdot f(3) \cdot f(5 )=0\\
f(3) \cdot f(5) \cdot f(7)=1\\
f(2) \cdot f(5) \cdot f(7)=1
\end{cases}}\)

Ale to już sprzeczność, bo z dwóch ostatnich równości wynika, że żaden czynnik po lewej stronie w pierwszej równości nie może być zerem.

Q.