Nierówność Newberga Pedoe'a

[mol_ksiazkowy]

Gdy dane są dwa trójkąty \(\displaystyle{ t1}\) oraz \(\displaystyle{ t2}\) o bokach
\(\displaystyle{ a_1, b_ 1, c_ 1}\) oraz \(\displaystyle{ a_2, b_ 2, c_ 2}\)
i o polach \(\displaystyle{ \Delta_1 \ \Delta_2}\) to :
\(\displaystyle{ a_1^2(b_2^2 +c_2^2-a_2^2) + b_1^2(c_2^2 +a_2^2-b_2^2)+ c_1^2(a_2^2 +b_2^2-c_2^2) \geq 16 \Delta_1 \Delta_2}\)
i kiedy zachodzi równość ?

[mol_ksiazkowy]

Zadanie jest ze \(\displaystyle{ 101}\) nierozwiązanych.

Ukryta treść:    

Jeśli \(\displaystyle{ 0 \leq \alpha < \pi}\) to:
(*) \(\displaystyle{ x^2 + y^2 - 2xycos(\alpha)= (x - ycos(\alpha))^2 + y^2sin^2(\alpha) \geq 0}\)
i równość w (*) gdy \(\displaystyle{ x=y=0}\) lub \(\displaystyle{ \alpha = 0}\)

Niech \(\displaystyle{ x= b_1c_2}\), \(\displaystyle{ y=b_2c_1}\), \(\displaystyle{ \alpha =A_1 – A_2}\)
I:
\(\displaystyle{ 2b_ic_i cos(A_i)= b_i ^2 + c_i^2 - a_i^2}\)
\(\displaystyle{ b_ic_i sin(A_i)= 2\Delta_i}\)
i \(\displaystyle{ cos(A_1 – A_2) = cos(A_1)cos(A_2) + sin(A_1)sin(A_2)}\)

tj. z (*): \(\displaystyle{ 2 (b_1^2c_2^2 + b_2^2c_1^2) - (b_1^2 +c_1^2 – a_1^2)( b_2^2 +c_2^2 – a_2^2) - \ 16\Delta_1 \Delta_2 \geq 0}\)
stad teza. Równośc gdy\(\displaystyle{ \frac{b_1}{b_2} =\frac{c_1}{c_2}}\) i
\(\displaystyle{ A_1 = A_2}\)

[mol_ksiazkowy]

Cytuj:

Zadanie jest ze 101 nierozwiązanych.

Uwagi: Nierówność Newberga-Pedoe’a można udowodnić też z tzw. Nierówności Aczéla:
Jeśli \(\displaystyle{ a_, …, a_n, b_1, …, b_n >0}\) oraz
\(\displaystyle{ a_1^2 \geq a_2^2 + ... + a_n^2}\) i
\(\displaystyle{ b_1^2 \geq b_2^2 + ... + b_n^2}\) to:
\(\displaystyle{ a_1b_1 - (a_2b_2 + ... + a_nb_n) \geq \sqrt{(a_1^2 - (a_2^2 + ... + a_n^2) )(b_1^2 - (b_2^2 + ... + b_n^2))}}\)
Nierówność Newberga-Pedoe’a jest uogólnieniem tzw.
Weitzenbock:
\(\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3}S}\), której zaś uogólnieniem jest:
Tsintsifas:
gdy \(\displaystyle{ p, q, r >0}\) to \(\displaystyle{ \frac{p}{q+r}a^2 + \frac{q}{r+p} b^2 + \frac{r}{p+q}c^2 \geq 2\sqrt{3}S}\)