Suma z cechą

[mol_ksiazkowy]

Ile to jest \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \lfloor (\frac{k}{3})^3 \rfloor}\) ?

[liu]

Tak z błędem rzędu \(\displaystyle{ O(n)}\) (pewnie gdzieś zgubiłem jakiś ostatni wyraz czy coś) i brute forcem:

Oznaczmy naszą sumę przez \(\displaystyle{ S_n}\). ponadto niech
\(\displaystyle{ C_n = \sum_{k=1}^{n} k^3}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ S_n = \sum_{3j \leq n} \left\lfloor \left(\frac{3j}{3}\right)^3 \right\rfloor +
\sum_{3j + 1 \leq n} \left\lfloor \left(\frac{3j + 1}{3}\right)^3 \right\rfloor +
\sum_{0 \leq 3j - 1 \leq n} \left\lfloor \left(\frac{3j-1}{3}\right)^3 \right\rfloor}\).
Pierwsza suma to po prostu \(\displaystyle{ C_{\lfloor n/3 \rfloor}}\).

Zauważmy teraz, że
\(\displaystyle{ (j + \frac{1}{3})^3 = j^3 + 3\cdot\frac{1}{3} + 3\cdot\frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} =
(j^3 + 1) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{27}),}\)
pierwszy nawias to liczba całkowita, a drugi liczba z przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\), zatem w wyrażeniu pod drugą sumą występuje po prostu \(\displaystyle{ (j^3 + 1)}\).

Podobnie postępując z ostatnim wyrażeniem:
\(\displaystyle{ (j - \frac{1}{3})^3 = j^3 - 3\cdot\frac{1}{3} + 3\cdot\frac{1}{3^2} - \frac{1}{3^3} =
(j^3 - 1) + \frac{1}{3} - \frac{1}{27},}\)
zatem składając to wszystko razem do kupy:
\(\displaystyle{ S_n = C_{\lfloor n/3 \rfloor} +\sum_{j \leq (n-1)/3} (j^3 + 1) + \sum_{ 1 \leq j \leq (n+1)/3} (j^3 - 1)}\).

\(\displaystyle{ S_n = C_{\lfloor n/3 \rfloor} + C_{\lfloor (n-1)/3 \rfloor} + \left\lfloor \frac{n-1}{3} \right\rfloor + C_{\lfloor (n+1)/3 \rfloor} - \left\lfloor \frac{n+1}{3} \right\rfloor}\).

To na upartego można uznać za policzoną sumę, jak sobie człowiek przypomni wzór sumę trzecich potęg kolejnych liczb naturalnych.

Prawdodobnie nie widzę czegoś oczywistego i da się to rozwiązać w dwóch linijkach;)

[Medea 2]

Dla \(\displaystyle{ n=5}\) rozbieżność między wynikiem, czyli \(\displaystyle{ 7}\), a Twoim rozwiązaniem, \(\displaystyle{ 10}\), to \(\displaystyle{ 3}\). Wszak \(\displaystyle{ \textstyle (j +\frac13)^3 = j^3+j^2+\frac j3+\frac1{27}}\).

[liu]

Wydało się, taki stary chłop, a nie zna wzorów skróconego mnożenia. Post do usunięcia

[mol_ksiazkowy]

uzupełnienie zadania:

Ukryta treść:    

uzupełnienie zadania: Udowodnić także: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \lfloor (\frac{k}{2})^2 \rfloor =\lfloor \frac{1}{24}n(n+2)(2n-1) \rfloor}\) i uogólnić