[Teoria liczb] Liczba szczesliwa

[mol_ksiazkowy]

Liczbe rzeczywista wieksza od zera zwiemy szczesliwa, (happy), gdy w jej zapisie dziesietnym - po przecinku wystepuja tylko cyfry 1 lub 7 . Wykazac ze kazda l. x wieksza od 1, tj x>1 mozna zapisac jako sume dziewieciu l. takichze liczb . A czy mozna mniej> ? odp uzasadnij

[Piotr Rutkowski]

Liczbe rzeczywista wieksza od zera zwiemy szczesliwa, (happy), gdy w jej zapisie dziesietnym - po przecinku wystepuja tylko cyfry 1 lub 7 . Wykazac ze kazda l. x wieksza od 1, tj x>1 mozna zapisac jako sume dziewieciu l. takichze liczb . A czy mozna mniej> ? odp uzasadnij

Mhm, nie do końca chyba rozumiem ideę zadania. Dla liczb wymiernych teza jest oczywista. Problem zaczyna się przy liczbach niewymiernych. Mi się zdaje, że nie można rozbić zbioru liczb niewymiernych na dwa rozłączne podzbiory liczb szczęśliwych i nieszczęśliwych. Jak właściwie można w ogóle sprawdzić czy liczba niewymierna jest szczęśliwa czy też nie (oczywiście metoda sprawdzenia "na piechotę" nie ma tu żadnej wartości)? Czy czegoś nie dostrzegam?

[mol_ksiazkowy]

firmowka: Niech a>1 , wtedy \(\displaystyle{ b=\frac{1}{6}(a-1) >0}\). Liczba b da sie zapisac jako suma dziewieciu liczb >0 , \(\displaystyle{ b_j}\) (j=1,...,9) majacych w zapisie dziesietnym tylko cyfry 0 i 1. A wiec nasz rozklad jest taki:
\(\displaystyle{ a=6b+1 = (6b_1 +0,1111....)+(6b_2 +0,1111....)+.....+(6b_9 +0,1111....)}\)
cbdo