[Teoria liczb] Nieskończenie wiele równań Bacheta bez rozwiązań

[max]

Równanie diofantyczne:
\(\displaystyle{ x^{3} = y^{2} + k}\)
zależne od parametru całkowitego \(\displaystyle{ k}\) nazywa się równaniem Bacheta (albo równaniem Mordella).
Pokaż, że istnieje nieskończenie wiele parametrów \(\displaystyle{ k}\) takich, że równanie to nie ma rozwiązania w liczbach całkowitych.

Miłej zabawy:)

[Ponewor]

Zadanie trafiło do \(\displaystyle{ 101}\) nierozwiązanych.

Rozwiązanie nr 1.:    

Otóż twierdzę, że dla każdego \(\displaystyle{ k}\) wyrażalnego jako \(\displaystyle{ 36l+25}\), gdzie \(\displaystyle{ l}\) jest całkowite, równanie nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych.
Reszty kwadratowe według modułu \(\displaystyle{ 36}\) to \(\displaystyle{ 0, \ 1, \ 4, \ 9, \ 13, \16, \ 25, \ 28}\)
Wyrażenie \(\displaystyle{ y^{2}+36l+25}\) może dawać zatem następujące reszty w dzieleniu przez \(\displaystyle{ 36}\): \(\displaystyle{ 2, \ 5, \ 18, \ 21, \ 25, \ 26, \ 29, \ 34}\).
Tymczasem \(\displaystyle{ x^{3}}\) daje reszty: \(\displaystyle{ 0, \ 1, \ 8, \ 9, \ 17, \ 19, \ 27, \ 28, \ 35}\), skąd natychmiastowy brak rozwiązań.

Rozwiązanie nr 2.:    

Teraz twierdzę, że dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) wyrażalnego jako \(\displaystyle{ N^{2}-M^{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ M}\) jest dowolną liczbą taką, że \(\displaystyle{ M \equiv -1 \pmod{4}}\), a \(\displaystyle{ \frac{N}{2}}\) liczbą całkowitą podzielną jedynie przez liczby pierwsze postaci \(\displaystyle{ 4s+1}\), równanie nie ma rozwiązań.
Sprawdzamy, że \(\displaystyle{ k \equiv 1 \pmod{4}}\). Mamy \(\displaystyle{ y^{2} \equiv x^{3}-k \equiv x^{3}-1}\) skąd wyciągamy \(\displaystyle{ x \equiv 1 \pmod{4}}\). Podstawmy do równanie za \(\displaystyle{ k}\) \(\displaystyle{ N^{2}-M^{3}}\):
\(\displaystyle{ y^{2}+N^{2}=x^{3}+M^{3}=\left(x+M\right)\left(x^{2}-xM+M^{2}\right)}\)
Zachodzi:
\(\displaystyle{ x^{2}-xM+M^{2}\equiv 1^{2}-1 \cdot \left(-1\right) + \left(-1\right)^{2}\equiv 3 \pmod{4}}\)
więc nawias po prawej stronie ma dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ p}\) postaci \(\displaystyle{ 4t+3}\). Zatem \(\displaystyle{ p}\) dzieli i lewą stronę równania. Ma miejsce przystawanie \(\displaystyle{ y^{2} \equiv -N^{2} \pmod{p}}\). Z założenia \(\displaystyle{ p \nmid N}\), więc \(\displaystyle{ p \nmid y}\). Prosty rachunek:
\(\displaystyle{ \genfrac(){}{0}{-1}{p}=\genfrac(){}{0}{-1}{p} \cdot 1= \genfrac(){}{0}{-1}{p} \cdot \genfrac(){}{0}{N^{2}}{p}=\genfrac(){}{0}{-N^{2}}{p}=\genfrac(){}{0}{y^{2}}{p}=1}\)
Z drugiej jednak strony \(\displaystyle{ \genfrac(){}{0}{-1}{p}=\left(-1\right)^{\frac{p-1}{2}}=\left(-1\right)^{\frac{4t+3-1}{2}}=-1}\)
a więc sprzeczność.

[timon92]

uwaga do rozwiązania 2:    

coś chyba nie trybi bo jeśli \(\displaystyle{ k=M^3-N^2}\) to \(\displaystyle{ (x,y) = (M,N)}\) jest rozwiązaniem równania

[Ponewor]

Dzięki. Pomyliłem się w oznaczeniach. Teraz już dobrze?

[timon92]

wygląda ok