[Planimetria] Czworokąty z dwusiecznych zewnętrznych

[adamm]

mam tutaj 3 zadania o podobnej konfiguracji, z czego jedno jest autorskie ;p. Uporządkowałem je jak mi się wydaje od najłatwiejszego do najtrudniejszego.

Dany jest czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\), z jego dwusiecznych zewnętrznych tworzymy nowy czworokąt \(\displaystyle{ PQRS}\).
1. Pokaż, że na \(\displaystyle{ PQRS}\) można opisać okrąg.
2. Pokaż, że suma długości przekatnych \(\displaystyle{ PQRS}\) jest nie mniejsza niż obwód \(\displaystyle{ ABCD}\).
3. Pokaż, ze jeżeli na \(\displaystyle{ ABCD}\) można opisać okrąg to punkt przecięcia przekątnych \(\displaystyle{ ABCD}\) i środki okręgów opisanych na \(\displaystyle{ ABCD}\) oraz \(\displaystyle{ PQRS}\) są współliniowe.

pozderki

[kamil13151]

1:    

Oznaczmy \(\displaystyle{ \angle A, \ \angle B, \ \angle C, \ \angle D}\) jako kąty przy wierzchołkach \(\displaystyle{ A, B, C, D}\) w czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\). Połowa miary dwusiecznej zewnętrznej \(\displaystyle{ \angle A}\) wynosi: \(\displaystyle{ \frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=90^{\circ}-\frac{\angle A}{2}}\). Kolejne analogicznie, także powstaje nam czworokąt o kolejnych kątach: \(\displaystyle{ \frac{\angle A+\angle B}{2}, \ \frac{\angle B+\angle C}{2}, \ \frac{\angle C+\angle D}{2}, \ \frac{\angle D+\angle A}{2}}\). Teraz łatwo widać, że suma dwóch przeciwległych kątów jest równa \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\), także na powstałym czworokącie można opisać okrąg.