[Kombinatoryka] wybór punktów

[mol_ksiazkowy]

Dowieść lub obalić tezę: Jeśli dane jest na płaszczyznie pięć punktów, z których zadne trzy nie są współliniowe, to wtedy cztery spośród nich są wierzchołkami pewnego czworokąta wypujkłego

[limes123]

Wezmy najpierw zbior z 4 pkt. Zgodnie z zalozeniem 3 z nich tworza trojkat i teraz mamy 2 przypadki
(i) czwarty pkt lezy w srodku tego trojkata, wtedy przedluzamy boki trojkata i widzimy, ze po dodaniu 5 pkt bedzie on lezal w srodku tego trojkata (wtedy oczywiscie teza zachodzi o czym mozna sie latwo przekonac, ale byloby troche pisania wiec pomijam). Jesli ten piaty pkt dolozymy w jednej z 6 pozostalych czesci na jakie zostala podzielona plaszczyzna, to jesli lezy w czesci plaszczyzny ograniczonej 2 polprostymi i odcinkiem, to teza zachodzi (konce tego odcinka + pkt wewnatrz trojkata + 5 pkt), a jesli jest w jednej z czesci ograniczonych 2 polprostymi, to przez ich wspolny pkt prowadzimy prosta przechodzaca przez pkt wewnatrz srodka trojkata, to oczywiscie nie moze ona przechodzic przez ten 5 pkt, czyli jesli ten pkt bedzie lezal po jednej stronie tej prostej, to bierzemy pkt wewnatrz + 5 pkt + pkt z ktorego wychodza proste ograniczajace czesc plaszczyzny, w ktorej znajduje sie 5 pkt + pkt trojkata lezacy po tej samej stronie prostej co 5 pkt i mamy znowu teze
(ii)Jesli ten 4 pkt dolozymy nie w srodku trojkata, tylko w jednej z tych czesci plaszczyzn na ktore dziela plaszczyzne te przedluzenia bokow, to rozumowanie przebiega podobnie, tylko wykonuje sie poszczegolne kroki w innej kolejnosci. Mam nadzieje, ze nic nie namieszalem.