Hej.
Potrzebuję waszej pomocy w rozwiązaniu zadania:
Niech \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}\) będzie funkcją rosnącą. Wykaż, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b\in \mathbb{R_+}}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{1}{f(a)+a} + \frac{1}{f(b)+b} \geqslant \frac{1}{f(a)+b} + \frac{1}{f(b)+a}}\)
[Nierówności][Funkcje] Nierówność z funkcją
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
misiaaa
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 4 gru 2006, o 17:16
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: stalowa wola
[Nierówności][Funkcje] Nierówność z funkcją
Ostatnio zmieniony 15 wrz 2008, o 17:06 przez misiaaa, łącznie zmieniany 2 razy.
-
Dumel
- Użytkownik
- Posty: 1969
- Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 202 razy
[Nierówności][Funkcje] Nierówność z funkcją
załóżmy bez straty ogólności że \(\displaystyle{ a \geqslant b}\)
mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{f(b)+b}- \frac{1}{f(b)+a} \geqslant \frac{1}{f(a)+b} - \frac{1}{f(a)+a}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac{a-b}{(f(b)+b)(f(b)+a)} \geqslant \frac{a-b}{(f(a)+b)(f(a)+a)}}\)
i
\(\displaystyle{ (f(a)+b)(f(a)+a) \geqslant (f(b)+b)(f(b)+a)}\)
co oczywiście jest prawdą
c.n.d.
mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{f(b)+b}- \frac{1}{f(b)+a} \geqslant \frac{1}{f(a)+b} - \frac{1}{f(a)+a}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac{a-b}{(f(b)+b)(f(b)+a)} \geqslant \frac{a-b}{(f(a)+b)(f(a)+a)}}\)
i
\(\displaystyle{ (f(a)+b)(f(a)+a) \geqslant (f(b)+b)(f(b)+a)}\)
co oczywiście jest prawdą
c.n.d.