[Nierówności] Interesujaca nierownosc

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 3 mar 2006, o 22:35

Niedawno trafilem na 'ciekawa' wg mnie nierownosc:) Widzialem bardzo zgrabny dowodzik:)

\(\displaystyle{ a,b,c>0}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a}{a+b}} + \sqrt{\frac{b}{b+c}} + \sqrt{\frac{c}{c+a}} \leq \frac{3\sqrt{2}}{2}}\)

Rogal · Post autor: **Rogal** » 3 mar 2006, o 22:57

Czy w tym dowodzie pojawiła się nierówność między średnią arytmetyczną a kwadratową?

g · Post autor: g » 3 mar 2006, o 23:14

bardzo prosta. a idzie ladnie geometrycznie. nie bede nikomu psul zabawy.

jedrek · Post autor: **jedrek** » 4 mar 2006, o 13:32

g, bardzo bym chciał zobaczyć ten dowód geometryczny, jak możesz (może ukryty).

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 4 mar 2006, o 14:50

Rogal: 'na oko' po skorzystaniu z QM-AM dostaniesz do wykazania 'odwróconego' Nesbitta, czyli wszystko się psuje

g: Chodzi Ci o podstawienie \(\displaystyle{ (a,b,c)\equiv (x^2,y^2,z^2)}\)?

g · Post autor: g » 4 mar 2006, o 16:17

hmm, przeliczylem sie jednak :J ale postaram sie wymyslic cos geometrycznego.

Rogal · Post autor: **Rogal** » 4 mar 2006, o 17:51

Przypuszczam, że gdzieś założyłem tezę, ale wyszło z tego, nieco na chamca, ale jest. Jak coś, to będę mógł wklepać .

TomciO · Post autor: **TomciO** » 4 mar 2006, o 18:38

Po zastosowaniu AM-QM nie dostaje sie "odwroconego" Nesbitta (chyba ze odwrocony mialo co innego oznaczac) ale nie wiele to zmienia bo i tak dostaje sie cos co nie jest zawsze prawda (no ewentualnie ja sie pomylilem albo Ty uzywasz tego AM-QM inaczej niz mozna pomyslec...).

Rogal · Post autor: **Rogal** » 4 mar 2006, o 18:46

Ponieważ nie znam się na dowodzeniu nierówności, szczególnie olimpijskich, to powiem, jak zacząłem. Otóż wyjściową nierówność podzieliłem stronami przez 3 i po lewej stronie pojawiła się średnia arytmetyczna, która jak wiemy, jest mniejsza bądź równa od średniej kwadratowej, czyli od: \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}}{3}}}\) i jeśli się pokaże, że to jest mniejsze bądź równe od sqrt(2)/2 to po robocie

TomciO · Post autor: **TomciO** » 4 mar 2006, o 23:00

No tak, ale to wlasnie nie jest prawda : P.

Rogal · Post autor: **Rogal** » 4 mar 2006, o 23:32

Aaaa, kapuję. Mówiłem, że nie umiem dowodzić nierówności

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 30 maja 2006, o 13:54

g: wymysliles cos geometrycznego?:)

_el_doopa · Post autor: **_el_doopa** » 30 maja 2006, o 16:29

eee schwarz?

\(\displaystyle{ L<\sqrt{ \left( a+b+c \right) \left( {1 \over a+b} + {1 \over b+c} + {1 \over c+a}\right)}}\)

potem z czebyszewa
\(\displaystyle{ <\sqrt{3 \left( {a \over b+c}+... \right) }}\)

i z nesbita

\(\displaystyle{ <\sqrt{3 \cdot 3/2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}}\)

jestem [kogo to interesuje] wybaczcie jak to jest źle

sory nesbit w druga strone ale to idzie z radona

g · Post autor: g » 30 maja 2006, o 18:10

a nie chce mi sie, pierwsza mysl to pobaw sie jakimis cosinusami kierunkowymi, ja juz jestem za duzy na to.

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 31 maja 2006, o 17:05

_el_doopa, mozesz pokazac, jak korzystasz tu z Radona?