[Planimetria] stała suma

[mol_ksiazkowy]

Wykaż, ze jesli punkt P przebiega okrąg wpisany w trójkat ABC, to wartosc w, jest stała; gdzie a, b, c- to są odpowiednio długosci boków leżacych naprzeciw A, B i C., Czy mozna jawnie wyrazic te wyrazenie ..?
\(\displaystyle{ w = aPA^2+ bPB^2+ cPC^2}\)

[ Dodano: 2 Sierpnia 2008, 23:43 ]
ad b) niech S bedzie srodkiem ciezkosci trójkata ABC, Wykaz ze wtedy
\(\displaystyle{ 3(MA^2+MB^2+MC^2) =AB^2+BC^2+CA^2}\)

[ Dodano: 6 Sierpnia 2008, 13:41 ]
wsk "wektory" i "srodek masy"

[ Dodano: 15 Sierpnia 2008, 14:06 ]
za ad a sie wezme....

ad a \(\displaystyle{ a PA^2+b PB^2+cPC^2= a(\vec PW + \vec WA) +b(\vec PW + \vec WB)+c (\vec PW + \vec WC) = (a+b+c)\vec PW ^2 - 2a\vec WA \circ WP -2b \vec WB \circ \vec WP
-2c \vec WC \circ \vec WP +aWA^2+ bWB^2+cWC^2= r^2(a+b+c)+aWA^2+bWB^2+cWC^2}\) a wiec jest to wielkosc stała w danym trojkacie, tj niezalezy ona od punktu P
cbdo
* korzystalismy z znanego wzoru
\(\displaystyle{ a \vec WA +b \vec WB +c \vec WC= \vec 0}\)
jesli W to srodek okregu wpisanego w trojkat ABC
ps jak dowiesc ten wzor? i ad b został

[ Dodano: 26 Sierpnia 2008, 12:00 ]
ad b wynika z
\(\displaystyle{ AC^2+AB^2=\frac{1}{2}BC^2 +2AA_1^2 =\frac{1}{2}BC^2 +\frac{9}{2}MA^2}\)
\(\displaystyle{ AC^2+BC^2=\frac{1}{2}AB^2 +2CC_1^2 =\frac{1}{2}AB^2 +\frac{9}{2}MC^2}\)
\(\displaystyle{ BC^2+AB^2=\frac{1}{2}AC^2 +2BB_1^2 =\frac{1}{2}AC^2 +\frac{9}{2}MB^2}\)
gdize \(\displaystyle{ A_1, B_1, C_1}\) to srodki bokow trojkata
i dodac to stronami .

[Sylwek]

\(\displaystyle{ a \vec{WA} +b \vec{WB} +c \vec{WC}= \vec 0}\)
jesli W to srodek okregu wpisanego w trojkat ABC
ps jak dowiesc ten wzor?

To jest równoważne (tu powstają dwa przypadki - jeden prowadzi do tezy, drugi prosto odrzucić) prawdziwości (w międzyczasie skorzystam z iloczynu skalarnego wektorów \(\displaystyle{ \vec{WA}, \ \vec{WB}}\)):
\(\displaystyle{ L=(a \vec{WA}+b \vec{WB})^2=c^2 \vec{WC}^2=P \\ \ldots \\ L-P=a^2|WA|^2+b^2|WB|^2-c^2|WC|^2-2ab|WA||WB| \ \sin \frac{\gamma}{2}}\)

No i tu można się pozbyć |WA|, |WB|, |WC| mając (widać z prostego rysunku): \(\displaystyle{ |WA|=\frac{r}{\sin \frac{\alpha}{2}}}\) i podobnie z WB i WC.

Zatem:
\(\displaystyle{ L-P=r^2(\frac{a^2}{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}+ \frac{b^2}{\sin^2 \frac{\beta}{2}}-\frac{c^2}{\sin^2 \frac{\gamma}{2}} - \frac{2ab \sin \frac{\gamma}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}})}\)

Mamy (jako, że są to kąty trójkąta): \(\displaystyle{ \sin \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos }{2}}}\), w ten sposób pozbywamy się sinusów połówek kątów, a cosinusy wyznaczamy z twierdzenia cosinusów, wówczas z pewnością wyjdzie, że \(\displaystyle{ L-P=0}\), choć mogą być troszkę długie przekształcenia