[Nierówności] Nierówność w przestrzeni

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 19 gru 2007, o 21:46

Wykaż, że jeśli A,B,C,D są dowolnymi punktami w przestrzeni, to wówczas zachodzi poniższa nierówność, przy czym przechodzi ona w tożsamość o ile spełniony jest warunek (**).
Szczególnie mile widziane metody nie używające geometrii analitycznej i tym podobnych trików.
\(\displaystyle{ AB^2+BC^2+CD^2+DA^2 q AC^2 + BD^2}\)

(**): \(\displaystyle{ \vec AB =-\vec CD}\)

[ Dodano: 16 Listopada 2008, 13:10 ]
rozw
\(\displaystyle{ AB^2+BC^2+ CD^2+AD^2 = \\ (\vec AB + \vec BC)^2 + (\vec BC + \vec CD)^2 + (\vec AB + \vec CD)^2= AB^2+BC^2+CD^2+ (\vec AB + \vec BC + \vec CD)^2 = \\ AC^2+ BD^2 + (\vec AB + \vec CD)^2 q AC^2 + BD^2}\)

Rownosc wtw, gdy \(\displaystyle{ \vec AB = \vec DC}\)