[Nierówności] Paskudne maksimum

[mol_ksiazkowy]

Wyznacz największą i najmniejszą wartość, jaką może przyjąc poniższe wyrażenie, gdy liczby w, x, y, z są dodatnie i ich suma wynosi 2.
\(\displaystyle{ \frac{w^2}{(w^2 +1)^2}+\frac{x^2}{(x^2 +1)^2}+\frac{y^2}{(y^2 +1)^2} + \frac{z^2}{(z^2 +1)^2}}\)

ps. znam wprawdzie wynik, ale jest on rachunkowo meczacy ...byc moze ktoś znajdzie prosty (szy)....i elegancki

[palazi]

Jeszcze nie próbowałem robić, ale na pierwszy rzut oka to wrzuciłbm podstawienie trygonometryczne. Jak coś lepszego wymyślę to dam znać.

[Arek]

Mnożnikami Wtedy istotnie przyjemność z rozwiązywania zadania jest mała :]

[mol_ksiazkowy]

mnoznikami Lagrangea...? A wyjdzie co z tego....?!

[Sylwek]

Zadanko ciekawe, gdyby to nie była nierówność, na pewno bym nie próbował do skutku rozwiązać , gdyż w jedną stronę rzeczywiście paskudne...

----

Niech: \(\displaystyle{ f(a)=\frac{a^2}{(a^2+1)^2}}\), zauważmy, że dla \(\displaystyle{ a>0}\) zachodzi: \(\displaystyle{ f(a)=\frac{1}{(a+\frac{1}{a})^2}}\), zatem \(\displaystyle{ f(a)=f(\frac{1}{a})}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ f(a)}\) jest rosnąca na przedziale \(\displaystyle{ (0,1 \rangle}\) i malejąca na przedziale \(\displaystyle{ \langle 1,+\infty)}\).

----
MINIMUM
----

To już wystarczy do znalezienia minimum (a raczej kresu dolnego) powyższego wyrażenia, gdyż jeśli dla nieujemnych \(\displaystyle{ w,x,y,z}\) zachodzi \(\displaystyle{ w+x+y+z=2}\), to co najmniej jedna z tych liczb należy do przedziału \(\displaystyle{ \langle \frac{1}{2}, 2 \rangle}\) (niech to będzie \(\displaystyle{ w}\)). A że dla dowolnego \(\displaystyle{ t \in \langle \frac{1}{2}, 2 \rangle}\) zachodzi: \(\displaystyle{ f(t) \ge f(\frac{1}{2})=f(2)}\), to \(\displaystyle{ f(w)+f(x)+f(y)+f(z) > f(w) \ge f(\frac{1}{2})=\frac{4}{25}}\). Oczywiście np. dla ciągu \(\displaystyle{ (w_n,x_n,y_n,z_n)=(2-\frac{3}{n},\frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{1}{n})}\) mamy z ciągłości f: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} f(w_n)+f(x_n)+f(y_n)+f(z_n) =f(2)+3 \cdot f(0) = \frac{4}{25}}\), czyli rzeczywiście \(\displaystyle{ \frac{4}{25}}\) jest kresem dolnym powyższego wyrażenia.

----
MAKSIMUM
----

Przy szukaniu maksimum musimy użyć mocniejszych środków. Zacznijmy od obserwacji, że jeśli \(\displaystyle{ w \le x \le y \le z}\) oraz \(\displaystyle{ z \ge 1}\), to: \(\displaystyle{ f(w)+f(x)+f(y)+f(z) \le f(w+z-1)+f(x)+f(y)+f(1)}\), co wynika wprost z monotoniczności funkcji na odpowiednich przedziałach, bo \(\displaystyle{ 1=w+x+y+z-1 \ge w+z-1 \ge w}\) oraz \(\displaystyle{ z \ge 1}\). Zatem w celu poszukiwania maksimum możemy się ograniczyć do przypadku: \(\displaystyle{ w \le x \le y \le z \le 1}\)

Funkcja \(\displaystyle{ f}\) rozpatrywana na przedziale \(\displaystyle{ \langle 0, 1 \rangle}\) jest:
- wypukła na przedziale \(\displaystyle{ \langle 0, \sqrt{\frac{4-\sqrt{13}}{3}} \rangle}\)
- wklęsła na przedziale \(\displaystyle{ \langle \sqrt{\frac{4-\sqrt{13}}{3}}, 1 \rangle}\)

Odnotujmy jeszcze, że \(\displaystyle{ A=\sqrt{\frac{4-\sqrt{13}}{3}} \approx 0,3626}\).

No i tu zaczyna się rozpatrywanie kilku przypadków i otrzymywanie kolejnych nierówności z wklęsłości/wypukłości. Badania brzydkich funkcji jednej zmiennej zostały przeprowadzone za pomocą obliczeń komputerowych. Oczywiście z racji tego, że \(\displaystyle{ w+x+y+z=2}\), to wszystkie zmienne na raz nie mogą być mniejsze niż \(\displaystyle{ A}\), czyli rozważymy 4 przypadki:

*(1)* w,x,y są mniejsze od A - więc: \(\displaystyle{ f(w)+f(x)+f(y)+f(z)<3 \cdot f(A) + f(1)<0,56}\) - to mniej niż \(\displaystyle{ \frac{16}{25}}\) (okaże się, że tyle będzie wynosiło maksimum)

*(2)* w,x są mniejsze od A, z odpowiednich wypukłości i wklęsłości szybko pokazujemy, że wystarczy znaleźć maksimum wyrażeń: \(\displaystyle{ f(x)+f(A)+2 \cdot f(\frac{2-x-A}{2})}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)+f(0)+2 \cdot f(\frac{2-x-0}{2})}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0,A)}\). Maksimum w tych przypadkach jest mniejsze od 0,62, czyli tym bardziej mniejsze od \(\displaystyle{ \frac{16}{25}}\)

*(3)* tylko \(\displaystyle{ w<A}\), tutaj z nierówności Jensena wiemy, że wystarczy zbadać maksimum wyrażenia: \(\displaystyle{ f(w)+3 \cdot f(\frac{2-w}{3})}\) dla \(\displaystyle{ w \in (0,A)}\). Również stwierdzamy nieistnienie wartości większej niż 0,64 (chociaż gdy \(\displaystyle{ w=0, \ x=y=z=\frac{2}{3}}\), to wartość naszego wyrażenia jest o niecałe 0,001 mniejsza od \(\displaystyle{ \frac{16}{25}}\))

*(4)* gdy wszystkie: w,x,y,z są większe bądź równe A i nie większe niż 1, to z nierówności Jensena:
\(\displaystyle{ f(w)+f(x)+f(y)+f(z) \leqslant 4f(\frac{w+x+y+z}{4})=4f(\frac{1}{2})=\frac{16}{25}}\)

Odnotujmy jeszcze, że z powyższych rozważań, maksimum to jest osiągane tylko dla \(\displaystyle{ w=x=y=z=\frac{1}{2}}\).

I to już koniec