[MIX] Zadania różne VI

[mol_ksiazkowy]

1. rozwiązane przez kicaja
Lemat o grupie; Niech \(\displaystyle{ (G,*)}\) będzie grupą
zaś zbiór \(\displaystyle{ K \subset G}\) jest taki, że \(\displaystyle{ 2|K| > |G|}\)
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ g \in G}\) to istnieją \(\displaystyle{ k, h \in K}\) takie że \(\displaystyle{ g= hk}\) zakładając że \(\displaystyle{ |X|< +\infty}\)
2. rozwiązane przez Ponewora
Ile to jest \(\displaystyle{ \frac{6}{(3^2-2^2)(3-2)}+ \frac{6^2}{(3^3-2^3)(3^2-2^2)}+ \frac{6^3}{(3^3-2^3)(3^2-2^2)}+...}\)
?
3. Lemat o grupie jednorodnej; Udowodnić iż w ośmioosobowej grupie osób istnieją rozłączne grupy jednorodne trzyosobowe
Grupa jednorodna to taka, w której każdy zna każdego lub nikt nie zna nikogo
(tez twierdzenia Turána)
4. rozwiązane przez Qnia
Ile jest podzbiorów \(\displaystyle{ B \subset X}\) zbioru \(\displaystyle{ X = \{1, ..., 30\}}\) o sumie wszystkich swoich elementów większej niż \(\displaystyle{ 232}\) ?

5. rozwiązane przez Premislava
Wskazać przykład piątki liczb naturalnych \(\displaystyle{ (a, b, c, d, e)}\) takich. że \(\displaystyle{ a+b+c+d+e = \sqrt{abcde}}\)
6. rozwiązane przez bosa_Nike
Min-max; Wyznaczyć najmniejsza i największą wartość funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)= y-2x}\) jeśli
\(\displaystyle{ \begin{cases} x , y > 0 \\ x \neq y \\ \frac{x^2+y^2}{x+y} \leq 4 \end{cases}}\)
7. rozwiązane przez Ponewora
Majac dane
\(\displaystyle{ \begin{cases}x_1+4x_2+ 9x_3 +16x_4+ 25x_5+36x_6+ 49x_7 =1\\ 4x_1+ 9x_2+ 16x_3 + 25x_4 + 36x_5 +49x_6 + 64x_7= 12\\9x_1 + 16x_2 +25x_3+ 36x_4 + 49x_5 + 64 x_6 + 81x_7=123\end{cases}}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ 16x_1+ 25x_2 + 36x_3 + 49x_4 + 64x_5 + 81x_6 + 100x_7}\)

8. Niech \(\displaystyle{ p>2}\) będzie liczbą pierwszą; Wykazać że istnieje liczba pierwsza \(\displaystyle{ q<p}\) że \(\displaystyle{ q^{p-1} - 1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ p^2}\)
Kömal
9. Na koło o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) całkowicie nałożono siedem jednakowych kół o promieniu \(\displaystyle{ r}\).
Wykazać, że jest to możliwe tylko gdy \(\displaystyle{ r \geq \frac{1}{2}}\)
Musztari
10. rozwiązane przez kicaja
Niech \(\displaystyle{ p_1 , p_2, p_3, ....}\) będzie ciągiem wszystkich liczb pierwszych. Czy \(\displaystyle{ p_1....p_n + 1}\) może być kwadratem liczby całkowitej ? A \(\displaystyle{ p_1....p_n - 1}\) ?

11. rozwiązane przez Ponewora
Ciąg określony rekurencyjnie: \(\displaystyle{ a_1 = 1 \ a_2=2}\) oraz \(\displaystyle{ a_{n+1}}\) jest najmniejszą z liczb spoza zbioru \(\displaystyle{ \{ a_1, ..., a_n \}}\) nie względnie pierwszą z \(\displaystyle{ a_n}\). Jest to więc ciąg \(\displaystyle{ 1, 2, 4 , 6, 3, 9, 12, 8, 10, 5, 15...}\) . Udowodnić ze wszystkie liczby naturalne są wyrazami tego ciągu

12. rozwiązane przez bosa_Nike
Rozwiązać w zbiorze \(\displaystyle{ N}\) równanie:
\(\displaystyle{ 5xy - 1 = (x+y)^2}\)
13. rozwiązane przez bosa_Nike
Rozwiązać układ w \(\displaystyle{ Z}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x(y+z)+2=y^2+z^2\\ y(x+z)+2=x^2+z^2\\ z(x+y)+2=x^2+y^2 \end{cases}}\)

14. rozwiązane przez Ponewora
Wykaż lub obal: Dla dowolnego układu \(\displaystyle{ n}\) punktów na płaszczyźnie istnieje koło takie ze \(\displaystyle{ n-1}\) z tych punktów będzie wewnątrz koła a tylko jeden punkt poza kołem.
15. rozwiązane przez Premislava
Rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ (x+1995)(x+1997)(x+1999)(x+2001)+16 = 0}\)
16. Na ile różnych sposobów można pokolorować trzema kolorami \(\displaystyle{ n}\) punktów na okręgu tak by każde sąsiednie były różnokolorowe ?
17. rozwiązane przez bosa_Nike
Niech \(\displaystyle{ n>1}\). Rozwiązać układ:
\(\displaystyle{ \max \{ 1, x_1 \} = x_2}\)
\(\displaystyle{ \max \{ 2, x_2 \} = 2x_3}\)
…………………………………..
\(\displaystyle{ \max \{ n, x_n \} = nx_1}\)
18. Czy na wykresie funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sin (x)}\) są trzy takie punkty \(\displaystyle{ A, B, C}\) iż trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest prostokątnym ?
19. rozwiązane przez Premislava i Qnia
Udowodnić, ze \(\displaystyle{ \tg (\frac{\pi}{24})= \sqrt{6}+ \sqrt{2} - \sqrt{3}-2}\)
20. Gra: Trzej gracze grają w “orła i reszkę”. Każdy wpłaca do puli po 2 zł. Pierwszy z nich zawsze obstawia orła, drugi reszkę. Pula 6 zł jest dzielona równo miedzy osoby, które trafnie wytypowały wynik. Czy trzeci gracz będzie stratny w tej grze czy też nie ?

21. rozwiązane przez Qnia i yorgina
Wykazać, że nie istnieje \(\displaystyle{ f: N \mapsto N}\) taka, że \(\displaystyle{ f(f(n))=n+1}\) dla \(\displaystyle{ n \in N}\)
22. rozwiązane przez kicaja
Niech \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) będzie taka że:
\(\displaystyle{ f(x)+f(y)= f(x+y)- xy -1}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in R}\) oraz \(\displaystyle{ f(1)= 1}\).
Czy zbiór \(\displaystyle{ A = \{ n \in N : f(n)= n \}}\) może być nieskończony ?
23. Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ m}\) istnieje taki niepusty skończony zbiór \(\displaystyle{ S}\) punktów płaszczyzny, że dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ A}\) zbioru \(\displaystyle{ S}\) istnieje dokładnie \(\displaystyle{ m}\) punktów zbioru \(\displaystyle{ S}\), z których każdy jest odległy od \(\displaystyle{ A}\) o 1
24. rozwiązane przez Premislava
Czy wśród liczb \(\displaystyle{ a_1, ..., a_{500}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_j = 1331j+1}\) jest jakaś podzielna przez \(\displaystyle{ 1001}\) ?
25. rozwiązane przez Dasio11
Znaleźć największą liczbę naturalną \(\displaystyle{ k}\) o następującej własności:
Istnieje \(\displaystyle{ k}\) tak ich różnych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ n}\) elementowego, że każde dwa mają niepustą część wspólną.

26. Wykazać że iloczyn wszystkich \(\displaystyle{ 2^{100}}\) liczb \(\displaystyle{ \pm \sqrt{1} \pm \sqrt{2} \pm ... \pm \sqrt{99} \pm \sqrt{100}}\)
jest kwadratem liczby całkowitej
27. rozwiązane przez Premislava i Qnia
Wykazać cechę podzielności przez 7: \(\displaystyle{ 10a+b}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\) wtedy; i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ a -2b}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 7}\) (np. \(\displaystyle{ 2331}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 7}\) gdyż \(\displaystyle{ 233 - 2 \cdot 1= 7 \cdot 33}\))
28. rozwiązane przez yorgina
Czy istnieje 5-cio wyrazowy podciąg ciągu \(\displaystyle{ \frac{1}{1}, \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , ....}\) który jest postępem arytmetycznym ? Jaki jest możliwie najdłuższy taki podciąg ?
29. rozwiązane przez Premislava
Udowodnić że nie istnieją funkcje okresowe \(\displaystyle{ f, g}\) że \(\displaystyle{ f(x)+g(x)=x^2}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\).
30. rozwiązane przez fon_nojmana
Niech \(\displaystyle{ P_n(z)=1^3z + 2^3z^2+ ....+ n^3z^n}\). Czy istnieje \(\displaystyle{ z \in C}\) iż \(\displaystyle{ P(z)=0}\) i \(\displaystyle{ 0< |z|< 1}\) ?

31. rozwiązane przez Ponewora
Czy każda liczbę parzystą \(\displaystyle{ 2n}\) można przedstawić jako różnicę dwóch liczb względnie pierwszych ?
32. rozwiązane przez Premislava
Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases}(x+y)3^{y-x}= \frac{5}{27}\\3\log _5 (x+y)=y -x \end{cases}}\)
33. rozwiązane przez Ponewora (fałszywe)
Zadanie J. Hajdemajcha; Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ (x_n, y_n, z_n)}\) jest trójką pitagorejska oraz \(\displaystyle{ z_n - x_n=1}\) to \(\displaystyle{ (x_{n+1}, y_{n+1}, z_{n+1})}\) także nią jest:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x_{n+1}= (2x_n+1)(2(x_n+z_n)+1)\\y_{n+1}=x_{n+1}+1\\z_{n+1}=2z_n^2+ x_{n+1}\end{cases}}\)

[Qń]

27:    

Teza zadania natychmiast wynika z tożsamości:
\(\displaystyle{ 2(10a+b) =21a- (a-2b)}\)

Q.

[Premislav]

Spóźniłem się z 27.

15.:    

to się zwija ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów do \(\displaystyle{ ((x+1998)^{2}-9)((x+1998)^{2}-1)=-16}\). A dalej do \(\displaystyle{ ((x+1998)^{2}-5)^{2}-16=-16}\) i stąd już łatwo dostać rozwiązanie.

[Qń]

21:    

Jeśli przyłożymy \(\displaystyle{ f}\) do obu stron równania, to otrzymamy:
\(\displaystyle{ f(n+1)=f(f(f(n))) = f(n)+1}\)
skąd przez banalną indukcję \(\displaystyle{ f(n)=f(0)+n}\). Ale w takim razie:
\(\displaystyle{ n+1=f(f(n))=f(0)+f(n)= 2f(0)+n}\)
skąd wynika, że musiałoby być \(\displaystyle{ f(0)=\frac 12}\), a to oznacza sprzeczność.

Q.

[Premislav]

5.:    

Warunki spełnia np. \(\displaystyle{ a=b=c=4,d=e=2}\)

[kicaj]

1.:    

Oznaczmy \(\displaystyle{ K^{-1} =\{k^{-1} : k\in K\} .}\) Wówczas \(\displaystyle{ \overline{\overline{gK^{-1}\cap K}} =\overline{\overline{gK^{-1}}}+\overline{\overline{ K}}-\overline{\overline{gK^{-1}\cup K}}\geq 2^{-1} \overline{\overline{G}} +2^{-1} \overline{\overline{G}}- \overline{\overline{G}}>0 .}\)

[Premislav]

29.:    

Załóżmy nie wprost, że istnieją takie \(\displaystyle{ f,g}\) okresowe, że \(\displaystyle{ f(x)+g(x)=x ^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ p \in \RR}\) - okres \(\displaystyle{ f}\), \(\displaystyle{ q \in \RR}\) - okres \(\displaystyle{ g}\). Wówczas oczywiście \(\displaystyle{ f(p)+g(p)=p ^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ f(q)+g(q)=q ^{2}}\). Ponadto dzięki okresowości \(\displaystyle{ (p+q)^{2}=f(p+q)+g(p+q)=f(q)+g(p)}\). Ale wówczas \(\displaystyle{ f(q)+g(p)-p ^{2}-q ^{2}=f(q)+g(p)-f(p)-g(p)-f(q)-g(q)=-(f(p)+g(q))=-(f(0)+g(0))=0}\),
a więc \(\displaystyle{ 2pq=0}\), czyli \(\displaystyle{ p=0 \vee q=0}\), ale wówczas albo dokładnie jedna z funkcji \(\displaystyle{ f,g}\) jest stała, a wtedy druga nie jest okresowa, co prowadzi do sprzeczności, albo obie są stałe, co również prowadzi do sprzeczności, bo suma funkcji stałych jest funkcją stałą, czego nie można powiedzieć o \(\displaystyle{ x ^{2}}\).

[Ponewor]

2.:    

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \frac{6^{k}}{\left(3^{k+1}-2^{k+1}\right)\left(3^{k}-2^{k}\right)}=\frac{2^{k}}{3^{k}-2^{k}}-\frac{2^{k+1}}{3^{k+1}-2^{k+1}}}\)
Zatem nasza suma to:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{6^{k}}{\left(3^{k+1}-2^{k+1}\right)\left(3^{k}-2^{k}\right)}=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2^{k}}{3^{k}-2^{k}}-\frac{2^{k+1}}{3^{k+1}-2^{k+1}}\right)=\frac{2^{1}}{3^{1}-2^{1}}=2}\)

Ad.3:    

Czy wszystko w porządku z tym zadaniem? Co to znaczy, że grupy są rozłączne? Czy wyrażenie "istnieją grupy" nie oznacza, że należy pokazać istnienia więcej niż jednej takiej (bo jedna taka już istnieje przy sześciu osobach - to mogę łatwo pokazać - \(\displaystyle{ R\left(3, \ 3\right)=6}\)). Jeśli rozłączność grup oznacza, że nie zawierają tych samych ludzi, to przecież takie twierdzenie jest nieprawdziwe - bierzemy jedną klikę trzyelementową i ją wyrzucamy (bo mają być rozłączne) i zostaje pięć osób wśród których ma być ponoć zawsze klika, a to przeczy faktowi, że \(\displaystyle{ R\left(3, \ 3\right)=6}\). Na koniec co ma do rzeczy twierdzenie Turana?

[Premislav]

24.:    

\(\displaystyle{ 1331=11 ^{3}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 11}\), więc wszystkie \(\displaystyle{ a _{j}}\) dają resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 11}\), ale \(\displaystyle{ 1001=7\cdot 13\cdot 11,}\) więc nie ma takiego \(\displaystyle{ a _{j}}\), które byłoby podzielne przez \(\displaystyle{ 1001}\).

[Ponewor]

7.:    

Z tożsamości \(\displaystyle{ 3\left(n+1\right)^{2}-3n^{2}+\left(n-1\right)^{2}=\left(n+2\right)^{2}}\) wnosimy, że trzeba do pierwszego równania dodać trzecie przemnożone razy trzy i odjąć drugie przemnożone razy trzy. Rezultat to \(\displaystyle{ 334}\).

11.:    

Oczywistym jest, że pojawi się każda liczba która nie jest względnie pierwsza z tymi już wypisanymi. Np. pojawi się też \(\displaystyle{ 2n}\), a skoro tak, to znów na mocy pierwszej obserwacji pojawi się \(\displaystyle{ n}\).

14.:    

To jest bardzo łatwa indukcja. Dla \(\displaystyle{ n=1, \ 2}\) działa. Jak działa dla \(\displaystyle{ n}\), to weźmy \(\displaystyle{ n+1}\) punktów, wydzielmy z nich \(\displaystyle{ n}\) i zastosujmy założenie indukcyjne - mamy okrąg i wewnątrz \(\displaystyle{ n-1}\) punktów, za zewnątrz \(\displaystyle{ n}\)-ty i nie wiadomo gdzie \(\displaystyle{ n+}\)-szy. Załóżmy, że \(\displaystyle{ n+1}\)-szy punkt nie leży wewnątrz okręgu. Jeśli leży leży na okręgu to możemy zwiększyć promień okręgu bardzo delikatnie (dokładniej to np. o odległość \(\displaystyle{ n}\)-tego punktu od środka okręgu minus promień okręgu dzielone przez \(\displaystyle{ 2}\)). Jeśli leży poza okręgiem. Mamy więc dwa punkty poza okręgiem. Zwiększmy jego promień tak żeby ci najwyżej jeden pozostał poza okręgiem (np. o najmniejszą z ich odległości od środka okręgu odjąć stary promień okręgu). Załóżmy, że pechowo oba się znalazły na okręgu. Teraz możemy wybrać dowolny z nich i bardzo delikatnie obrócić cały okrąg wokół niego, by ten drugi wyleciał poza okrąg. Na koniec delikatnie zwiększamy promień okręgu i gotowe.

[Premislav]

19.:    

Próbowałem czegoś sprytnego, ale nie wyszło. Spałuj i śpij spokojnie: \(\displaystyle{ \tg \frac{\pi}{12}= \frac{\sin( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} )}{\cos( \frac{\pi}{3}- \frac{\pi}{4} )}= \frac{ \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4}}{ \frac{ \sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} }= \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{ \sqrt{6}+ \sqrt{2} }}\). Natomiast ze wzoru na tangens podwojonego kąta mamy \(\displaystyle{ \tg \frac{\pi}{12}= \frac{2\tg \frac{\pi}{24} }{1-\tg ^{2} \frac{\pi}{24} }}\). Aby trochę mniej brzydko było, doprowadzimy ten tangens \(\displaystyle{ \frac{\pi}{12}}\) do porządku, mnożąc przez sprzężenie: dostajemy \(\displaystyle{ \frac{8-4 \sqrt{3} }{4}=2-\sqrt{3}}\). Rozważam równanie kwadratowe dla \(\displaystyle{ t=\tg \frac{\pi}{24}>0}\):
\(\displaystyle{ (2-\sqrt{3})(1-t ^{2})=2t}\). Równoważnie \(\displaystyle{ (2- \sqrt{3})t ^{2}+2t+\sqrt{3}-2=0}\). A dalej: \(\displaystyle{ (2-\sqrt{3})\left(t ^{2}+ \frac{2}{2-\sqrt{3}}t-1\right)=0}\). To się jeszcze zwija do \(\displaystyle{ (2-\sqrt{3})\left(\left(t+ \frac{1}{2-\sqrt{3}}\right) ^{2}-1- \frac{1}{7-4 \sqrt{3} }\right)\right)=0}\) Wybieramy pierwiastek dodatni (ze wzorów Viete'a od razu mamy, że pierwiastki są różnych znaków), czyli \(\displaystyle{ - \frac{1}{2-\sqrt{3}}+ \sqrt{1+ \frac{1}{7-4 \sqrt{3} } }}\). Sprowadzając do wspólnego mianownika pod pierwiastkiem, pierwiastkując ten mianownik i wykonując dodawanie, dostaję \(\displaystyle{ \frac{-1+ \sqrt{8-4 \sqrt{3} } }{2-\sqrt{3}}}\). Wreszcie mnożąc to przez sprzężenie, uzyskuję \(\displaystyle{ -\sqrt{3}-2+2 \sqrt{2+ \sqrt{3} }}\), a łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ 2\sqrt{2+ \sqrt{3} }= \sqrt{6}+ \sqrt{2}}\), co kończy dowód.

[Qń]

19 inaczej:    

Ze wzoru na sumę podwojonego kąta mamy:
\(\displaystyle{ 1= \tg \frac{\pi}{4} = \frac{2\tg\frac{\pi}{8}}{1-\tg^2\frac{\pi}{8}}}\)
a stąd łatwo dostać \(\displaystyle{ \tg\frac{\pi}{8}= \sqrt{2}-1}\). W takim razie:
\(\displaystyle{ \tg\frac{\pi}{24} = \tg \left( \frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\tg\frac{\pi}{6} - \tg\frac{\pi}{8} }{1+ \tg\frac{\pi}{6} \tg \frac{\pi}{8} } = \frac{ \frac{1}{\sqrt{3} } +1 - \sqrt{2}}{1+ \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot (\sqrt{2} -1)} = \\ =
\frac{1+ \sqrt{3} -\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}= \frac{(1+ \sqrt{3} -\sqrt{6})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1)(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{(1+ \sqrt{3} -\sqrt{6})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{1+\sqrt{2} - \sqrt{3}} =\\ = \frac{(1+ \sqrt{3} -\sqrt{6})(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}{(1+\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2}-1)} = \frac{(1+ \sqrt{3} -\sqrt{6})(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}{1+ \sqrt{3} -\sqrt{6}} =\\ =(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)=\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-2}\)

Q.

[kicaj]

22.:    

Podstawmy \(\displaystyle{ f(x) =g(x) +\frac{x^2}{2} -1 .}\) Wówczas mamy \(\displaystyle{ g(1) =\frac{3}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ g(x+y) -g(x) -g(y) =f(x+y)-\frac{(x+y)^2}{2}+1-f(x)+\frac{x^2}{2} -1-f(y)+\frac{x^2}{2} -1 =0.}\) Więc \(\displaystyle{ g(n) =ng(1) =\frac{3}{2} n,}\) dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}.}\) W konsekwencji \(\displaystyle{ f(n) =\frac{n^2}{2} +\frac{3}{2} n -1}\) dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}.}\) Czyli zbiór \(\displaystyle{ A=\{1\}.}\)

[Ponewor]

31.:    

Oczywiście, że tak. Weźmy liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p}\) niedzielącą \(\displaystyle{ 2n}\). Wtedy Liczby \(\displaystyle{ 2n+p}\) i \(\displaystyle{ p}\) są względnie pierwsze.

[bosa_Nike]

17:    

Podzielmy na dwa przypadki.

Gdy \(\displaystyle{ x_1\le 1}\), mamy \(\displaystyle{ \max\{1,x_1\}=1=x_2}\) oraz \(\displaystyle{ \max\{2,x_2\}=2=2x_3}\) itd., stąd \(\displaystyle{ x_2=x_3=...=x_n=1}\) i ostatecznie również \(\displaystyle{ x_1=1}\).

Gdy \(\displaystyle{ x_1>1}\), to \(\displaystyle{ \max\{n,x_n\}=nx_1>n\cdot 1\ \implies\ \max\{n,x_n\}=x_n=nx_1}\) i dalej
\(\displaystyle{ \max\{n-1,x_{n-1}\}=(n-1)x_n=(n-1)nx_1>n-1\ \implies\\ \max\{n-1,x_{n-1}\}=x_{n-1}=(n-1)nx_1}\)
Itd., więc wychodzi, że \(\displaystyle{ x_i=\frac{n!}{(i-1)!}x_1}\), co daje sprzeczność, bo \(\displaystyle{ x_1=n!x_1\ \iff\ x_1=0<1}\)

13:    

Dodając wszystko mamy \(\displaystyle{ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=6}\), więc wlog \(\displaystyle{ |x-y|=2,\ |y-z|=1,\ |z-x|=1}\), co po rozpatrzeniu przypadków daje \(\displaystyle{ (x,y,z)=(t+2,t,t+1)}\), a po podstawieniu \(\displaystyle{ (x,y,z)=(1,-1,0)}\). Ta trójka oraz jej permutacje tworzą zbiór rozwiązań układu.

6:    

Cauchy-Schwarz: \(\displaystyle{ 40=5\cdot 8\ge (4+1)\left((2-x)^2+(y-2)^2\right)\ge (y-2x+2)^2}\)

Tzn. \(\displaystyle{ -2+2\sqrt{10}\ge y-2x\ge -2-2\sqrt{10}}\)

Sprawdzenie warunków równości daje jednak pozytywny rezultat tylko dla prawej nierówności, tzn. \(\displaystyle{ (x,y)=\left(2+\frac{4\sqrt{10}}{5},2-\frac{2\sqrt{10}}{5}\right)}\), a negatywny dla lewej, bo tu musiałoby być \(\displaystyle{ x=2-\frac{4\sqrt10}{5}<0}\).
Potrzebujemy znaleźć maksymalne \(\displaystyle{ b}\) takie, aby prosta \(\displaystyle{ y=2x+b}\) miała dokładnie jeden punkt wspólny z częścią okręgu \(\displaystyle{ (x-2)^2+(y-2)^2=8}\) leżącą w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. To daje punkt leżący na osi \(\displaystyle{ OY}\) o współrzędnych \(\displaystyle{ (0,4)}\).
Ostatecznie dla danych warunków \(\displaystyle{ 4\ge y-2x\ge -2-2\sqrt{10}}\).