[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 3 seria.

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 3 seria.

Post autor: » 9 sty 2011, o 14:04

Prawie wszystkie zadania z drugiej serii padły błyskawicznie, wrzucam więc serię trzecią (jak się zdaje - odrobinę prostszą). Zachowuję numerację zadań z kartki.

Link do pierwszej serii
Link do drugiej serii
Link do serii przedfinałowej

(zadania, których pełne rozwiązania zostały podane, są zaznaczone na zielono)

Zadanie 25 - rozwiązane przez KPR
Dany jest taki ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) liczb nieujemnych, że \(\displaystyle{ a_{n+m}\le a_n+a_m}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ m,n\in \mathbb{N}}\). Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ a_n\le ma_1+ \left( \frac nm - 1 \right) a_m}\)
dla wszystkich \(\displaystyle{ n \ge m}\).

Zadanie 26
Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x_1,x_2,\ldots , x_{1997}}\) spełniają warunki:
\(\displaystyle{ (1)}\) \(\displaystyle{ -\frac{1}{\sqrt{3}}\le x_i \le \sqrt{3}}\) (\(\displaystyle{ i=1,2,\ldots , 1997}\))
\(\displaystyle{ (2)}\) \(\displaystyle{ x_1+x_2+\ldots x_{1997}=-318\sqrt{3}}\)
Wyznacz maksimum sumy \(\displaystyle{ x_1^{12}+x_2^{12}+ \ldots +x_{1997}^{12}}\).

Zadanie 27 - rozwiązane przez timona92
Cięciwy \(\displaystyle{ AA',BB',CC'}\) pewnej sfery, nie leżące w jednej płaszczyźnie, przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Sfera przechodząca przez punkty \(\displaystyle{ P,A,B,C}\) jest styczna do sfery przechodzącej przez \(\displaystyle{ P,A',B',C'}\). Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ |AA'|=|BB'|=|CC'|}\)

Zadanie 28
Sześcian o krawędzi \(\displaystyle{ a}\) jest wpisany w czworościan foremny o krawędzi \(\displaystyle{ 1}\). Wyznacz wszystkie możliwe wartości \(\displaystyle{ a}\).

Zadanie 29 - rozwiązane przez mzs
Dane są takie wielomiany \(\displaystyle{ f,g\in \mathbb{Z}[x]}\), że \(\displaystyle{ f(\alpha )=f(\alpha +1997)=0}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in\mathbb{Z}}\) oraz \(\displaystyle{ g(1998)=2000}\). Udowodnij, że wielomian \(\displaystyle{ h(x)=g(f(x))-1}\) nie ma pierwiastków całkowitych.

Zadanie 30
Dany jest czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisany w okrąg, którego przekątne \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ Q}\). Udowodnij, że punkt \(\displaystyle{ P}\) oraz punkty przecięcia wysokości trójkątów \(\displaystyle{ QAD}\) i \(\displaystyle{ QBC}\) leżą na jednej prostej.

Zadanie 31
Wszystkie krawędzie sześcianu oraz jego przekątne i przekątne jego ścian pomalowano na biało lub czarno (każdy z wymienionych odcinków na jeden kolor). Udowodnij, że istnieją dwa różne czworokąty o wierzchołkach w wierzchołkach danego sześcianu i bokach jednego koloru.

Zadanie 32 - rozwiązanie podlinkowane przez Dumla i zredagowane przez Qnia
Funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}_+\to \mathbb{R}_+}\) spełnia dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y\in \mathbb{R}_+}\) warunek \(\displaystyle{ f(xy)\le f(x)f(y)}\). Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}_+}\) oraz każdego naturalnego \(\displaystyle{ n\ge 1}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ f(x^n)\le f(x)\cdot \sqrt{f(x^2)}\cdot \sqrt[3]{f(x^3)}\cdot \ldots\cdot\sqrt[n]{f(x^n)}}\)

Zadanie 33 - rozwiązane przez timon92
Dany jest czworościan \(\displaystyle{ ABCD}\), którego wysokości przecinają się w jednym punkcie. Udowodnij, że jeżeli punkt ten jest środkiem sfery wpisanej w ten czworościan, to czworościan ten jest foremny.

Zadanie 34 - rozwiązane przez Vaxa
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ x,y,z>-1}\) oraz \(\displaystyle{ x+y+z=3}\), to:
\(\displaystyle{ \frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\le \frac 32}\)

Zadanie 35 - rozwiązane przez mzs
Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f:[0,1]\to [0,1]}\), ciągła w \(\displaystyle{ [0,1]}\) oraz spełniająca warunki: \(\displaystyle{ f(0)=f(1)=1}\) i \(\displaystyle{ f\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac 23 f(x)+\frac 13 f(y)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ 0\le x\le y\le 1}\). Wyznacz \(\displaystyle{ f\left( \frac 17\right)}\)
Uwaga: jak się okazuje, założenie o ciągłości nie jest potrzebne.

Zadanie 36 - rozwiązane przez Brycha i Qnia
Udowodnij, że dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ p,q}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ (pq)!\ge (p!)^q\cdot (q!)^p}\)

Zadanie 37 - rozwiązane przez Vaxa
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}+\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}+\frac{(c+a-b)^2}{(c+a)^2+b^2} \ge \frac 35}\)

Zadanie 38 - rozwiązane przez Qnia
Wielościan wypukły ma ścianę \(\displaystyle{ 100}\)-kątną. Z każdego wierzchołka tego wielościanu wychodzą co najmniej cztery krawędzie. Wykaż, że wielościan ten ma co najmniej \(\displaystyle{ 104}\) ściany trójkątne.

Zadanie 39 - rozwiązane przez timona92
Dany jest czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\). Okrąg \(\displaystyle{ S_1}\) jest wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), a okrąg \(\displaystyle{ S_2}\) - w trójkąt \(\displaystyle{ ADC}\). Proste równoległe \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) są styczne do tych okręgów w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\). Prosta \(\displaystyle{ k}\) przecina odcinki \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BC}\) w punktach \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\), a prosta \(\displaystyle{ l}\) przecinka odcinki \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ DC}\) w punktach \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ S}\). Wykaż, że punkty przecięcia przekątnych czworokątów \(\displaystyle{ ACQP}\) i \(\displaystyle{ ACSR}\) leżą na prostej \(\displaystyle{ EF}\) wtedy i tylko wtedy, gdy w czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) można wpisać okrąg.

Zadanie 40 - rozwiązane przez Qnia
Liczby dodatnie \(\displaystyle{ a_1,a_2,\ldots a_n}\) oraz \(\displaystyle{ b_1,b_2,\ldots b_n}\) spełniają warunki:
\(\displaystyle{ (1)}\) \(\displaystyle{ a_1b_1\le a_2b_2 \le \ldots \le a_nb_n}\)
\(\displaystyle{ (2)}\) \(\displaystyle{ a_1+a_2+\ldots +a_k \ge b_1+b_2+\ldots +b_k}\) dla każdego \(\displaystyle{ k=1,2,\ldots , n}\)
Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots +\frac{1}{a_n} \le \frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\ldots +\frac{1}{b_n}}\)

Zadanie 41 - rozwiązane przez timona92
Na bokach \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ CD}\) rombu \(\displaystyle{ ABCD}\) zbudowano trójkąty równoboczne \(\displaystyle{ ADK}\) i \(\displaystyle{ CDM}\), przy czym punkt \(\displaystyle{ K}\) leży po tej samej stronie prostej \(\displaystyle{ AD}\), co i \(\displaystyle{ BC}\), zaś \(\displaystyle{ M}\) leży po przeciwnej stronie \(\displaystyle{ DC}\) niż \(\displaystyle{ AB}\). Udowodnij, że punkty \(\displaystyle{ B,K,M}\) leżą na jednej prostej.
Uwaga - w treści była literówka, na co zwrócił uwagę tometomek91 (dzięki!)

Zadanie 42 - rozwiązane przez smigola
Wyznacz największą wartość \(\displaystyle{ k}\) dla której nierówność
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\ge k(xy+yz+zx)}\)
zachodzi dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y,z}\) rzeczywistych.

Zadanie 43 - rozwiązane przez ordyha
Rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x_1+x_2+\ldots +x_{n-1}=\frac{1}{x_n}\\
x_2+x_3+\ldots +x_{n}=\frac{1}{x_1}\\
\dots \\
x_n+x_1+\ldots +x_{n-2}=\frac{1}{x_{n-1}}\end{cases}}\)
(\(\displaystyle{ n\ge 2}\))

Zadanie 44 - rozwiązane przez tometomka91
Dane są takie różne liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x,y,z}\), że \(\displaystyle{ x^2-y=y^2-z=z^2-x}\). Wyznacz wartość iloczynu
\(\displaystyle{ (x+y+1)(y+z+1)(z+x+1)}\)

Zadanie 45 - rozwiązane przez Qnia
Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}\) spełniające dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y\in\mathbb{R}}\) równanie:
\(\displaystyle{ f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4f(x)\cdot y}\)

Zadanie 46 - rozwiązane przez KPR
Liczby dodatnie \(\displaystyle{ a_1,a_2,\ldots ,a_n}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ a_1a_2\ldots a_n=1}\). Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ \sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\ldots +\sqrt{a_n}\le a_1+a_2+\ldots +a_n}\)

Zadanie 47 - rozwiązane przez Vaxa i micharego91
Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x,y}\) spełniają równania
\(\displaystyle{ x^3-3x^2+5x-17=0,y^3-3y^2+5y+11=0}\)
Wyznacz \(\displaystyle{ x+y}\)

Zadanie 48 - rozwiązane przez ordyha
Wyznacz wszystkie funkcje rzeczywiste \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\) spełniające dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y,u,v\in\mathbb{R}}\) warunki:
(i) \(\displaystyle{ f(x+y,0)=f(x,y)+2xy}\)
(ii) \(\displaystyle{ f(xu+yv, xv-yu)=f(x,y)\cdot f(u,v)}\)

Powodzenia!

Q.

Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 611 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 3 seria.

Post autor: Vax » 9 sty 2011, o 14:11

34:    

KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 31 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 3 seria.

Post autor: KPR » 9 sty 2011, o 14:21

46:    

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 3 seria.

Post autor: » 9 sty 2011, o 14:22

Vax rozprawił się z zadaniem 34. gołymi rękami. Alternatywnie:
Zadanie 34 - proca:    
Zadanie 34 - armata:    
Q.

Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 611 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 3 seria.

Post autor: Vax » 9 sty 2011, o 14:27

37:    

KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 31 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 3 seria.

Post autor: KPR » 9 sty 2011, o 14:35

W 41. chodzi oczywiście o trójkąty równoboczne?

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 3 seria.

Post autor: » 9 sty 2011, o 14:39

Oczywiście, już mi na privie zwrócono uwagę (i na privie właśnie proponuję wyjaśniać kwestię literówek).

Q.

tometomek91
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2956
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 495 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 3 seria.

Post autor: tometomek91 » 9 sty 2011, o 14:49

Zad 41.
Ukryta treść:    
Zad 44.
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
smigol
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 3 seria.

Post autor: smigol » 9 sty 2011, o 14:58

42.
Ukryta treść:    

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 3 seria.

Post autor: » 9 sty 2011, o 15:05

tometomek91 - w zadaniu 41 równie dobrze może być \(\displaystyle{ \angle KMB = 0^o}\). Jeśli idziemy tą drogą, to trzeba rozpatrzyć dwa (a nawet trzy) przypadki. A może da się znaleźć rozwiązanie, które nie będzie wymagało rozpatrywania różnych przypadków?

Q.

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1544
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 437 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 3 seria.

Post autor: timon92 » 9 sty 2011, o 15:34

41.
Ukryta treść:    

KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 31 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 3 seria.

Post autor: KPR » 9 sty 2011, o 15:35

25:    

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1544
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 437 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 3 seria.

Post autor: timon92 » 9 sty 2011, o 15:56

39.
Ukryta treść:    

ordyh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 6 paź 2009, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 66 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 3 seria.

Post autor: ordyh » 9 sty 2011, o 16:01

43.
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1544
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 437 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 3 seria.

Post autor: timon92 » 9 sty 2011, o 16:06

27.
Ukryta treść:    

ODPOWIEDZ