Wykazać, że jeżeli mamy dwie dowolnie wybrane liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b}\) takie że \(\displaystyle{ a<b}\),to spośród wszystkich przedziałów postaci \(\displaystyle{ (a+2p \pi ,b+2p \pi )}\) gdzie \(\displaystyle{ p \in \mathbb{Z}}\), co najmniej jeden z tych przedziałów zawiera pewną liczbę naturalną.
Przez \(\displaystyle{ \{a\}}\) oznaczmy część ułamkową(mantysę) liczby \(\displaystyle{ a}\). Różnica \(\displaystyle{ r=a-b}\) pomiędzy końcami przedziału jest stała. Załóżmy, że jest mniejsza od \(\displaystyle{ 1}\). Zadanie będzie rozwiązane jeśli istnieje takie \(\displaystyle{ p \in Z}\),że \(\displaystyle{ \{a+2 \pi p\}>1-r}\). Podzielmy przedział \(\displaystyle{ \langle 0,1)}\) na \(\displaystyle{ \left\lceil \frac{1}{r} \right\rceil}\) równych przedziałów. Jeśli będziemy mieli \(\displaystyle{ \left\lceil \frac{1}{r} \right\rceil +1}\) różnych liczb należących do przedziału \(\displaystyle{ \langle 0,1)}\) to wtedy dwie liczby rzeczywiste będą należeć do tego samego podzielonrgo przedziału. Co oznacza że ich różnica będzie mniejsza od \(\displaystyle{ r}\).
Zauważmy że liczby \(\displaystyle{ \{2 \pi q\},gdzie \ q \in Z^{+}}\) należą one do przedziału \(\displaystyle{ \langle 0,1)}\). Wszystkie liczby tego typy są rożne, bo gdyby istniały jakieś \(\displaystyle{ p,q,d \in Z \ oraz \ p \neq q}\), że \(\displaystyle{ 2 \pi p=2 \pi q+d \Rightarrow \pi (2p-2q)=d \Rightarrow \pi =\frac{d}{2(p-q)}}\) sprzeczność \(\displaystyle{ \pi}\) jest liczbą niewymierną, a po prawej stronie mamy liczbę wymierną.Oznacza to, że różnica między liczbami typu \(\displaystyle{ \{2 \pi q\}}\) nie może być równa \(\displaystyle{ 0}\).Z uwagi na to, że liczb tego typu jest nieskończenie wiele i z tego co otrzymaliśmy wcześniej wynika, że istnieją jakieś dwie liczby \(\displaystyle{ p,q \in Z}\) ,że \(\displaystyle{ r>\{2 \pi p\}-\{2 \pi q\}=\{2 \pi (p-q)\}}\). Teraz któraś z liczb \(\displaystyle{ \{a+ 2 \pi n(p-q)\}=\{\{a\}+n\{2 \pi (p-q)\}\},gdzie \ n \in Z}\) musi spełniać nasz warunek, bo zwiększając \(\displaystyle{ n}\) o jeden, wartość albo zwiększa się o niezerową wartość \(\displaystyle{ \{2 \pi (p-q)\}}\) mniejszą od \(\displaystyle{ r}\) albo zmniejsza się o \(\displaystyle{ 1}\) po dodaniu \(\displaystyle{ \{2 \pi (p-q)\}}\).
