[Nierówności][Planimetria] czworokąt- wykazanie nierówności

[robin5hood]

W czworokącie wypukłym ABCD przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O. Punkty P i Q są środkami okręgów opisanych na trójkątach AOB i COD.
Udowodnić, że \(\displaystyle{ |AB| + |CD| \leq 4 |PQ|}\)

[ Dodano: 16 Września 2008, 20:42 ]

1.Narysujmy prostą \(\displaystyle{ k}\) zawierającą dwusieczną \(\displaystyle{ \angle AOB}\) a więc i \(\displaystyle{ \angle DOC}\). Prosta ta przecina okręgi opisane na trójkątach \(\displaystyle{ AOB}\) i \(\displaystyle{ DOC}\) (jak na rysunku powyżej) w punktach \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\)
2.Powstały nam dwa czworokąty wpisane w okrąg , czyli korzystając z któregoś tam twierdzenia geometrii koła mamy:
\(\displaystyle{ \angle MAO + \angle MBO = {180^{\circ}}}\)
3.Załóżmy, że \(\displaystyle{ \angle MAO}\) nie jest kątem ostrym, więc \(\displaystyle{ MO \geq MA}\) z trójkąta MAO.
4.Skoro prosta k jest dwusieczną to \(\displaystyle{ MA=MB}\)- kąty wpisane są równe, a więc cięciwy, na których są oparte są równe.
5.Z trójkąta \(\displaystyle{ AMB}\) mamy:
\(\displaystyle{ MA+MB \geq AB}\)
6. Wracamy do punktu 3. z czego: \(\displaystyle{ 2MO\geq 2MA=MA+MB \geq AB}\)
7.Przenosimy się na drugą stronę, analogicznie wykonujemy punkty 2-6: \(\displaystyle{ 2NO \geq CD}\)
8. Dodajemy stronami 6. i 7. :\(\displaystyle{ 2MO+2NO\geq AB+CD}\) \(\displaystyle{ 2(MO+NO)\geq AB+CD}\) \(\displaystyle{ 2MN\geq AB+CD}\)
9.Tu myślałem parę dni, przepraszam że nie napisałem wcześniej tego, co jest powyżej
Wykonujemy rzuty prostokątne punktów \(\displaystyle{ P}\) i [/latex]Q[/latex] na prostą \(\displaystyle{ k}\). Powstają punkty \(\displaystyle{ P'}\) i \(\displaystyle{ Q'}\) Jako, że punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są środkami okegów i \(\displaystyle{ PP' \bot MQ}\) więc \(\displaystyle{ MP'=P'O}\) oraz z drugiej strony \(\displaystyle{ OQ'=Q'N}\) więc \(\displaystyle{ MN=2P'Q'}\)
10.Wracamy do 8. stąd: \(\displaystyle{ 4P'Q'\geq AB+CD}\)
11. Z trapezu prostokątnego \(\displaystyle{ PP'Q'Q}\) mamy \(\displaystyle{ PQ \geq P'Q'}\)
12. Ostatecznie \(\displaystyle{ 4PQ\geq AB+CD}\)

Autorem rozwiązania jest mp2