[MIX] Zadania różne VII

[mol_ksiazkowy]

1. rozwiązane przez Premislava
Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4\sqrt{\frac{3x}{x+y}}+ \sqrt{\frac{x+y}{3x}}=5\\ 3xy=2 \left( x+y \right) \end{cases}}\)
2. rozwiązane przez marcin7Cd
Wyznaczyć wszystkie takie \(\displaystyle{ f: R \backslash \left\{ 0 \right\} \mapsto R}\) iż
\(\displaystyle{ \frac{f \left( -x \right) }{x}+ f \left( \frac{1}{x} \right) =x}\) gdy \(\displaystyle{ x \neq 0}\)
Korea 95
3. Niech \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \frac{2x^2}{x-\sqrt{8-2x-x^2}}}\). Przedstawić \(\displaystyle{ f=f \left( t \right)}\) gdzie \(\displaystyle{ t=\sqrt{\frac{x+4}{2-x}}}\).
4. rozwiązane przez Ponewora (fałszywe)
Zbiór \(\displaystyle{ A \subset Z}\) nazywa się ciekawym jeśli \(\displaystyle{ 2y - x \in A}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y \in A}\) i \(\displaystyle{ x<y}\). Niech \(\displaystyle{ 0<a_1 < … < a_k}\) i \(\displaystyle{ k> 1}\) oraz \(\displaystyle{ NWD \left( a_1,…, a_k \right) = 1}\). Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest ciekawy i \(\displaystyle{ \left\{ 0, a_1, ...., a_k \right\} \subset A}\) to \(\displaystyle{ a_1+a_k -3 \in A}\)
5. rozwiązane przez a4karo
Czy istnieje trójkąt prostokątny, którego boki spełniają „odwrócone” równanie Pitagorasa tj. \(\displaystyle{ 2^a + 2^b =2^c}\) oraz \(\displaystyle{ a\neq b}\) ?
6. rozwiązane przez a4karo
Podać przykład takiego właściwego podzbioru \(\displaystyle{ X}\) płaszczyzny (o ile to możliwe), że część wspólna \(\displaystyle{ X}\) i dowolnej prostej tej płaszczyzny jest zbiorem niepustym i
a) skończonym
b) ograniczonym
c) wypukłym
d) nieskończonym
Uwagi: każdy podpunkt to osobne zadanie
7. Dany jest ciąg: \(\displaystyle{ a_1=1}\) oraz \(\displaystyle{ a_n =1 + \frac{1}{a_1}+ ... + \frac{1}{a_{n-1}}}\) dla \(\displaystyle{ n>1}\). Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to + \infty} a_n - \sqrt{2n}}\)
8. rozwiązane przez a4karo i Qnia
W prostokącie \(\displaystyle{ 3 \times 4}\) jest 6 punktów. Udowodnić, ze istnieją wśród nich takie których odległość jest nie większa niż \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\)
Musztari
9. rozwiązane przez Premislava
Udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \sin \left( 47^{o} \right) + \sin \left( 61^{o} \right) = \sin \left( 11^{o} \right) + \sin \left( 25^{o} \right) + \cos \left( 7^{o} \right)}\)
10. rozwiązane przez a4karo
Dany jest punkt \(\displaystyle{ P}\), oraz prosta \(\displaystyle{ l}\) i \(\displaystyle{ P \notin l}\). Wyznaczyć zbiór (miejsce geometryczne) środków okręgów \(\displaystyle{ o}\) stycznych do \(\displaystyle{ l}\) i takich, że \(\displaystyle{ P \in o}\)

11. rozwiązane przez Qnia
Wykazać że w wyrażeniu \(\displaystyle{ \left( 1-x+x^2-x^3 + ... - x^{99}+x^{100} \right) \left( 1+x+x^2+....+x^{99}+ x^{100} \right)}\) po wymnożeniu i redukcji zostaną tylko jednomiany stopnia parzystego
12. rozwiązane przez Qnia
Wyznaczyć wszystkie wartości \(\displaystyle{ a_0}\), dla których ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) określony rekurencją \(\displaystyle{ a_n = 2^{n-1} - 3a_{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ n>0}\) jest ściśle rosnący.
13. rozwiązane przez Qnia
Dane są liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x, y, z}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z= 3\\x^3+y^3+z^3=15\\x^4+y^4+ z^4=35\\x^2+y^2+z^2<10 \end{cases}}\).
Obliczyć \(\displaystyle{ x^5+ y^5+ z^5}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{x^5}+ \frac{1}{y^5} + \frac{1}{z^5}}\)

14. Wykazać że suma wszystkich liczb \(\displaystyle{ n}\) cyfrowych (\(\displaystyle{ n \geq 3}\)) to \(\displaystyle{ 494 \overbrace{9....9}^{n-3}55 \overbrace{0...0}^{n-2}}\)
15. rozwiązane przez Qnia
Zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są rozłącznymi i równolicznymi podzbiorami zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1, …, 100 \right\}}\), oraz mającymi tę własność że jeśli \(\displaystyle{ x \in A}\) to \(\displaystyle{ 2 \left( x+1 \right) \in B}\). Ile co najwyżej elementów może mieć zbiór \(\displaystyle{ A \cup B}\) ?
16. Wykazać, że \(\displaystyle{ 39 336, \ 60 984, \ 98 802 , \ 99 066}\) są jedynymi liczbami naturalnymi podzielnymi przez \(\displaystyle{ 66}\) których kwadraty mają każdą z cyfr 0, ... , 9 po jednym razie
17. rozwiązane przez yorgina
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a_n}\) jest postępem arytmetycznym i \(\displaystyle{ \frac{S_m}{S_n} = \frac{m^2}{n^2}}\) to \(\displaystyle{ \frac{a_m}{a_n} = \frac{2m-1}{2n-1}}\)
(o ile \(\displaystyle{ a_n \neq 0}\) i \(\displaystyle{ S_n \neq 0}\)).
18. rozwiązane przez yorgina
Niech \(\displaystyle{ m \in \left\{ 1, …, n \right\}}\) będzie ustalone. Ile jest permutacji \(\displaystyle{ \pi}\) zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1, …, n \right\}}\) takich, że \(\displaystyle{ \pi \left( k \right) \geq k-m}\) dla \(\displaystyle{ k = 1, ..., n}\) ?
W szczególności rozwiązać prostszą wersję zadania z \(\displaystyle{ m=2}\)
19. Dana jest liczba całkowita \(\displaystyle{ n \geq 2}\). Zbiór \(\displaystyle{ X}\) ma \(\displaystyle{ n}\) elementów, a \(\displaystyle{ A_1, …A_{101}}\) są takimi podzbiorami \(\displaystyle{ X}\) że suma dowolnych 50-ciu z nich ma więcej niż \(\displaystyle{ \frac{50}{51} n}\) elementów. Udowodnić, że wśród tych podzbiorów istnieją trzy, z których każde dwa mają niepustą część wspólną.
Serwy 2010
20. rozwiązane przez Qnia
Dane są ciągi rosnące liczb naturalnych: arytmetyczny o różnicy \(\displaystyle{ r}\) oraz geometryczny o ilorazie \(\displaystyle{ q}\). Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ r}\) są względnie pierwsze, oraz ciągi te mają chociaż jeden wyraz wspólny, to mają nieskończenie wiele wyrazów wspólnych. Wskazać na przykładzie, iż założenie o względnej pierwszości \(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ r}\) jest istotne.

21. rozwiązane przez a4karo
Czy istnieje pięć kolejnych liczb naturalnych semipierwszych ?
(Liczba \(\displaystyle{ n}\) jest semipierwsza jeśli \(\displaystyle{ n=pq}\) gdzie \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są to różne liczby pierwsze)
22. rozwiązane przez Zahiona
Znaleźć liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y, z}\) takie, że \(\displaystyle{ x+y+z = xyz= \sqrt{x^3+y^3+z^3}}\)
23. rozwiązane przez a4karo i i Chewbacca97
Rozwiązać równanie: \(\displaystyle{ x^{x^4}=4}\)
24. rozwiązane przez Zahiona
Rozwiązać w zbiorze liczb całkowitych \(\displaystyle{ Z}\):
\(\displaystyle{ 17 \left( x^2+y^2 \right) - 32xy= 41}\)
Kömal
25. rozwiązane przez a4karo
Wskazać (o ile istnieje) przykład takiej \(\displaystyle{ f : R \mapsto R}\), która jest ciągła tylko w punktach: \(\displaystyle{ -1, 0, 1}\).
26. rozwiązane przez Qnia
Wsród \(\displaystyle{ n}\) losów na loterii jest tylko jeden wygrywający oraz \(\displaystyle{ k}\) losów \(\displaystyle{ \left( 0<k<n \right)}\) uprawniających do jeszcze jednego losowania. Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania, przy losowaniu jednego losu i maksymalnym wykorzystaniu uprawnień ?

27. rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Wyznaczyć takie cztery punkty na płaszczyźnie że odległości każdych dwóch z nich są kwadratami liczb naturalnych
M
28. Dla jakich \(\displaystyle{ n \in N}\) istnieje:
a) \(\displaystyle{ n}\) kąt , którego boki maja długości \(\displaystyle{ 1, ...., n}\) ?
b) wielościan, którego krawędzie mają długości \(\displaystyle{ 1, ...., n}\) ?
29. rozwiązane przez a4karo
Czy istnieje funkcja okresowa \(\displaystyle{ f : R \mapsto R}\), która nie ma okresu zasadniczego (tzn. najmniejszego okresu dodatniego), ale ma nieskończony zbiór wartości ?
M
30. Dowieść, że w dowolnym czworokącie, którego przeciwległe boki nie są równoległe, środek odcinka łączącego punkty przecięcia przedłużeń tych boków, leży na prostej łączącej środki przekątnych.

31. Czy istnieją \(\displaystyle{ a, b >1}\) takie, że
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^4 \ \equiv 1 \ \left( mod \ b^2 \right) \\ b^4 \ \equiv 1 \ \left( mod \ a^2 \right) \end{cases}}\)
?
32. rozwiązane przez Qnia
Który z ułamków \(\displaystyle{ \frac{m}{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ m , n \in \left\{ 1, ... , 49 \right\}}\) najdokładniej przybliża \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) ?
33. rozwiązane przez Qnia
Niech \(\displaystyle{ a_{-9}, ...., a_9}\) będą liczbami rzeczywistymi. Udowodnić, że: \(\displaystyle{ \sum_{m=-9}^{9} \sum_{n=-9}^{9} |m+n| a_ma_n \geq \sum_{m=-9}^{9} \sum_{n=-9}^{9} |m-n| a_ma_n}\)

[Qń]

11:    

Ze wzoru na różnicę kwadratów mamy:
\(\displaystyle{ \left( 1-x+x^2-x^3 + ... - x^{99}+x^{100} \right) \left( 1+x+x^2+....+x^{99}+ x^{100} \right)= \\ =
(1+x^2+x^4 + \ldots + x^{100})^2- x^2(1+x^2+x^4 + \ldots + x^{98})^2}\)
a stąd oczywiście łatwo wynika teza.

Q.

[Zahion]

22:    

Rozpatrzmy równanie \(\displaystyle{ x+y+z=xyz}\) BSO. \(\displaystyle{ x \le y \le z}\). Otrzymujemy stąd, że \(\displaystyle{ x^{2} \le 3}\) tj. \(\displaystyle{ x =1}\) i dalej, że \(\displaystyle{ (y-1)(z-1)=2}\) co daje nam \(\displaystyle{ y=2,z=3}\)
Otrzymujemy więc trójki liczb będących permutacjami \(\displaystyle{ (1,2,3)}\), co jest zarówno rozwiązaniem naszego równania ( wszystkie permutacje danej trójki ).

[a4karo]

11 prościej:

Ukryta treść:    

f(x)=f(-x)

[Premislav]

1.:    

Podstawiamy \(\displaystyle{ t= \frac{3x}{x+y}}\), dzięki czemu ten układ możemy zapisać jako:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4 \sqrt{t}+ \frac{1}{ \sqrt{t} }=5 \\ \frac{1}{2} \cdot ty=1\end{cases}}\)
Z pierwszego łatwo dostajemy \(\displaystyle{ t=1 \vee t= \frac{1}{16}}\), podstawiając do drugiego uzyskujemy odpowiednio \(\displaystyle{ y=2 \vee y=32}\). Wracamy z podstawieniem, dostając w pierwszym przypadku \(\displaystyle{ x=1}\), a w drugim \(\displaystyle{ x= \frac{32}{47}}\), czyli rozwiązania to pary \(\displaystyle{ (1,2)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( \frac{32}{47},32\right)}\).

EDIT: zasrany głąb ze mnie (i możecie mi za to wstawić warna, co mi tam), dziękuję Lbubsazob za zauważenie mojego błędu rachunkowego, nastąpiła poprawa tegoż.

[a4karo]

25:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ h(x)=x(x^2-1)\chi_{\QQ}(x)}\)

-- 26 lis 2014, o 21:57 --

21:

Ukryta treść:    

Nie. Co najmniej jedna jest podzielna przez 4.

-- 26 lis 2014, o 22:02 --

23.

Ukryta treść:    

Widać, że musi być \(\displaystyle{ x>1}\). W tym przedziale funkcja po lewej jest ściśle rosnąca i widać, że równośc zachodzi dla \(\displaystyle{ x=\sqrt{2}}\).

-- 26 lis 2014, o 22:07 --

10:

Ukryta treść:    

Parabola o kierownicy \(\displaystyle{ l}\) i ognisku \(\displaystyle{ P}\)

-- 26 lis 2014, o 22:18 --29:

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ p_n}\) oznacza \(\displaystyle{ n}\)-tą liczbę pierwszą i \(\displaystyle{ A_n=\{p+q\sqrt{p_n}: p,q\in\QQ, q\neq 0]}\). Te zbiory są parami rozłączne i niezmiennicze za względu na przesunięcia o liczbę wymierną. Stąd wynika, że funkcja
\(\displaystyle{ F(x)=\begin{cases}n& x\in A_n\\ 0 & \text{poza tym}\end{cases}}\)
spełnia warunki zadania: okresem jest każda liczba wymierna.

[Premislav]

9.:    

Zauważmy (czyli spałujmy, bo ja nic nie umiem zauważyć), że \(\displaystyle{ \sin47+\sin61-\sin11-\sin25=2\cos7\sin18-2\cos7\sin54=\cos 7 \frac{2\sin 18\cos18-2\sin 54\cos18}{\cos 18}=\cos 7 \frac{\sin 36-\sin 36+\sin 72}{\cos 18}=\cos 7 \frac{\cos 18}{\cos 18}=\cos 7}\). Suma sinusów, zauważenie (haha) różnicy sinusa sumy i sinusa różnicy czy jakoś tak, sinus podwojonego kąta+najłatwiejszy wzór redukcyjny.

[a4karo]

9.:    

Zauważmy (czyli spałujmy, bo ja nic nie umiem zauważyć), że \(\displaystyle{ \sin47+\sin61-\sin11-\sin25=2\cos7\sin18-2\cos7\sin54=\cos 7 \frac{2\sin 18\cos18-2\sin 54\cos18}{\cos 18}=\cos 7 \frac{\sin 36-\sin 36+\sin 72}{\cos 18}=\cos 7 \frac{\cos 18}{\cos 18}=\cos 7}\). Suma sinusów, zauważenie (haha) różnicy sinusa sumy i sinusa różnicy czy jakoś tak, sinus podwojonego kąta+najłatwiejszy wzór redukcyjny.

Jestem pod wrażeniem

[Chewbacca97]

23.

Ukryta treść:    

Widać, że musi być \(\displaystyle{ x>1}\). W tym przedziale funkcja po lewej jest ściśle rosnąca i widać, że równośc zachodzi dla \(\displaystyle{ x=\sqrt{2}}\).

Ukryta treść:    

A co będzie, gdy \(\displaystyle{ x=-\sqrt{2}}\) ?

[Premislav]

a4karo, wiem, że moje rozwiązania są brzydkie i polegają często na żmudnych wyliczeniach lub wyskakiwaniu znikąd z jakimiś brzydkimi wzorami, których prawdziwi matematycy nie pamiętają (a jak potrzebują, to sobie wyprowadzą), bo zamiast nich używają mózgu (którego ja nie mam, chyba że w sensie czysto anatomicznym), ale już bez takiej zjadliwej ironii proszę.

5.:    

Z tej równości dla dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c}\) (a takie przecież mają być boki) musiałoby oczywiście być \(\displaystyle{ c >a \wedge c>b}\). Bez straty ogólności niech \(\displaystyle{ a>b}\). Wtedy \(\displaystyle{ 2 ^{a}|2 ^{c}}\), ale \(\displaystyle{ 2 ^{a}}\) nie dzieli lewej strony, bo pomiędzy \(\displaystyle{ 2 ^{a}}\) a \(\displaystyle{ 2\cdot 2 ^{a}}\) nie ma liczby podzielnej przez \(\displaystyle{ 2 ^{a}}\), zaś \(\displaystyle{ 2 ^{a}<2 ^{a}+2 ^{b}<2 ^{a}+2 ^{a}=2\cdot 2 ^{a}}\). Zbyt trywialne wyszło i nie wykorzystałem istotnie prostokątności, proszę o krytykę i naukę.

[a4karo]

23.

Ukryta treść:    

Widać, że musi być \(\displaystyle{ x>1}\). W tym przedziale funkcja po lewej jest ściśle rosnąca i widać, że równośc zachodzi dla \(\displaystyle{ x=\sqrt{2}}\).

Ukryta treść:    

A co będzie, gdy \(\displaystyle{ x=-\sqrt{2}}\) ?

Dziedziną funkcji \(\displaystyle{ x^{x^4}}\) są liczby rzeczywiste dodatnie. Chociaż faktem jest , że dla tej liczby akurat wyrażenie ma sens.-- 26 lis 2014, o 23:01 --

a4karo, wiem, że moje rozwiązania są brzydkie i polegają często na żmudnych wyliczeniach lub wyskakiwaniu znikąd z jakimiś brzydkimi wzorami, których prawdziwi matematycy nie pamiętają (a jak potrzebują, to sobie wyprowadzą), bo zamiast nich używają mózgu (którego ja nie mam, chyba że w sensie czysto anatomicznym), ale już bez takiej zjadliwej ironii proszę.

5.:    

Z tej równości dla dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c}\) (a takie przecież mają być boki) jest \(\displaystyle{ c >a \wedge c>b}\). Bez straty ogólności niech \(\displaystyle{ a>b}\). Wtedy \(\displaystyle{ 2 ^{a}|2 ^{c}}\), ale \(\displaystyle{ 2 ^{a}}\) nie dzieli lewej strony, bo pomiędzy \(\displaystyle{ 2 ^{a}}\) a \(\displaystyle{ 2\cdot 2 ^{a}}\) nie ma liczby podzielnej przez \(\displaystyle{ 2 ^{a}}\), zaś \(\displaystyle{ 2 ^{a}<2 ^{a}+2 ^{b}<2 ^{a}+2 ^{a}=2\cdot 2 ^{a}}\). Zbyt trywialne wyszło i nie wykorzystałem istotnie prostokątności, proszę o krytykę i naukę.

Ależ żadna to ironia. Zauważenie faktu, że te liczby się tak ślicznie rozkładają, świadczy o dużej wyobraźni. Szczerze podziwiam pomysł.

[Ponewor]

11 prościej:

Ukryta treść:    

f(x)=f(-x)

To jeszcze nie jest poprawne rozwiązanie.

[Premislav]

Moje rozwiązanie piątego jest nieprawidłowe, proszę nie patrzeć i nie natrząsać się z mojej bezbrzeżnej głupoty. Przecież nikt nie powiedział, że \(\displaystyle{ 2 ^{a}}\), \(\displaystyle{ 2 ^{b}}\) i \(\displaystyle{ 2 ^{c}}\) mają być naturalne.

[yorgin]

14:    

Ta suma to

\(\displaystyle{ S=\sum\limits_{k=10^{n-1}}^{10^n-1}k=\frac{10^{n-1}+10^n-1}{2}(10^{n}-10^{n-1})}\)

Jak rozpiszemy licznik, to dostaniemy

\(\displaystyle{ 10^{2n}-10^{2n-2}+10^n-10^{n-1}=98\overbrace{9\ldots 9}^{n-2}1\overbrace{0\ldots 0}^{n-1}}\)

Jak się to podzieli przez \(\displaystyle{ 2}\), to wyjdzie to, co powinno.

Więcej rano, teraz słaaabo mi się myśli.

[a4karo]

11 prościej:

Ukryta treść:    

f(x)=f(-x)

To jeszcze nie jest poprawne rozwiązanie.

Pewnie nie, ale gdyby któryś z moich studentów dał mi takie rozwiązanie, to piałbym z zachwytu.
Myślę, że dla większości wypowiadających sie w tym temacie taka wskazówka najzupełniej wystarczy, zeby dokończyc rozwiązanie.