[Analiza][Nierówności][Wielomiany] Pochodna wielomanu
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
rochaj
- Użytkownik
- Posty: 407
- Rejestracja: 3 lip 2012, o 23:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: komp
- Podziękował: 128 razy
- Pomógł: 2 razy
[Analiza][Nierówności][Wielomiany] Pochodna wielomanu
Niech \(\displaystyle{ f(x)}\) będzie wielomianem stopnia \(\displaystyle{ n}\). Pokaż że \(\displaystyle{ \max_{x\in [-1,1]}|f'(x)| \le n^2\max_{x\in [-1,1]}|f(x)|}\).
-
Ponewor
- Moderator
- Posty: 2209
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
[Analiza][Nierówności][Wielomiany] Pochodna wielomanu
Z nierozwiązanych. Treść zadania jest tezą twierdzenia Markova, które to było jednym z zadań podczas tegorocznej ligi zadaniowej MIM UW.
Spójrzmy na wzór de Moivre'a - \(\displaystyle{ \cos n \alpha+i \sin n \alpha=\left(\cos \alpha+i\sin \alpha\right)^{n}}\). Poprzez porównanie części rzeczywistych możemy uzyskać wzór na \(\displaystyle{ \cos n\alpha}\) w którym wszystkie sinusy będą w parzystych potęgach, a zatem będzie można się ich wszystkich pozbyć poprzez podstawienie \(\displaystyle{ \sin^{2} \alpha=1-\cos^{2}\alpha}\). Tak otrzymany wielomian zmiennej \(\displaystyle{ \cos \alpha}\) nazwijmy \(\displaystyle{ n}\)-tym wielomianem Czebyszewa i oznaczmy symbolem \(\displaystyle{ T_{n}}\). Wielomian nasz spełnia więc \(\displaystyle{ T_{n}\left(\cos \alpha\right)=\cos n\alpha}\), czyli dla \(\displaystyle{ x\in \left[-1, \ 1\right]}\) zachodzi \(\displaystyle{ T_{n}\left(x\right)=\cos\left(n \arccos x\right)}\).
\(\displaystyle{ \subsection*{Lemat 1.}}\)
Wielomian \(\displaystyle{ T_{n}}\) na przedziale \(\displaystyle{ \left[-1, \ 1\right]}\) przyjmuje na zmianę łącznie \(\displaystyle{ n+1}\) razy wartości \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\).
Jak bowiem widzimy z ostatniego wzoru: \(\displaystyle{ T_{n}=\pm 1 \Leftrightarrow n \arccos x=k\pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\). A ponieważ \(\displaystyle{ \arccos x \in \left[0, \ \pi\right]}\), to stąd uzyskujemy łatwo wszystkie rozwiązania \(\displaystyle{ x \in \left\{\cos\frac{0 \cdot \pi}{n}, \ \cos \frac{1 \cdot \pi}{n}, \ \ldots, \ \cos \frac{n\cdot \pi}{n}\right\}}\), czyli \(\displaystyle{ n+1}\) rozwiązań i widzimy, że istotnie wartości \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 1}\) następują po sobie na zmianę.
\(\displaystyle{ \subsection*{Lemat 2.}}\)
Jeśli dwa wielomiany stopnia nie większego niż \(\displaystyle{ n}\) przyjmują te same wartości w choć \(\displaystyle{ n+1}\) punktach, to są sobie równe.
Istotnie, ich różnica bowiem jest stopnia nie większego niż \(\displaystyle{ n}\) i ma co najmniej \(\displaystyle{ n+1}\) pierwiastków, a więc jest wielomianem zerowym.
Wprowadźmy pojęcie sumy trygonometrycznej \(\displaystyle{ S\left(\alpha\right)}\) stopnia \(\displaystyle{ n}\): \(\displaystyle{ S\left(\alpha\right)=\sum_{k=0}^{n}\left(a_{k}\cos k\alpha+b_{k}\sin k \alpha\right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ a_{k}}\) i \(\displaystyle{ b_{k}}\) dla \(\displaystyle{ k=0, \ 1, \ \ldots , \ n}\) są pewnymi rzeczywistymi współczynnikami. Będzimy z uwagi na liczne podobieństwa stosować analogiczną terminologię co w przypadku wielomianów. Zauważmy też, że możemy zawsze przyjmować \(\displaystyle{ b_{0}=0}\), bo nie zmienia to nic z uwagi na \(\displaystyle{ \sin 0 =0}\).
\(\displaystyle{ \subsection*{Lemat 3.}}\)
Jeśli dwie sumy trygonometryczne stopnia \(\displaystyle{ n}\) przyjmują te same wartości w \(\displaystyle{ 2n+2}\) punktach \(\displaystyle{ \alpha}\) z przedziału \(\displaystyle{ \left[0, \ 2\pi\right]}\), to są sobie równe.
Dla sumy \(\displaystyle{ S}\) postaci \(\displaystyle{ S\left(\alpha\right)=\sum_{k=0}^{n}\left(a_{k}\cos k\alpha+b_{k}\sin k \alpha\right)}\) wprowadźmy oznaczenia \(\displaystyle{ c_{k}=\frac{a_{k}-ib_{k}}{2}}\) i \(\displaystyle{ c_{-k}=\frac{a_{k}+ib_{k}}{2}}\) dla \(\displaystyle{ k=0, \ 1, \ \ldots , \ n}\). Zauważmy, też, że z uwagi na \(\displaystyle{ b_{0}=0}\) równość \(\displaystyle{ c_{0}=c_{-0}}\) zachodzi. To nam daje \(\displaystyle{ a_{k}=c_{k}+c_{-k}}\) i \(\displaystyle{ b_{k}=i\left(c_{k}-c_{-k}\right)}\). To korzystając z parzystości i nieparzystości funkcji odpowiednio cosinus i sinus, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ S\left(\alpha\right)=\sum_{k=-n}^{n}c_{k}\left(\cos k\alpha+i\sin k\alpha\right)=\sum_{k=-n}^{n}c_{k}e^{ik\alpha}=e^{-in\alpha}\sum_{k=0}^{2n}c_{k-n}e^{ik\alpha}}\).
To druga suma jest postaci \(\displaystyle{ e^{-in\alpha}\sum_{k=0}^{2n}d_{k-n}e^{ik\alpha}}\), a więc ich różnica jest postaci \(\displaystyle{ e^{-in\alpha}\sum_{k=0}^{2n}\left(c_{k-n}-d_{k-n}\right)e^{ik\alpha}}\), czyli jest pewną niezerową liczbą pomnożoną razy wielomian zmiennej \(\displaystyle{ e^{i\alpha}}\) stopnia \(\displaystyle{ 2n}\), więc mamy sytuację z Lematu 2 i stwierdzamy równość tych wielomianów, a tym samym sum trygonometrycznych.
\(\displaystyle{ \subsection*{Lemat 4.}}\)
Niech funkcja \(\displaystyle{ g}\) o wartościach rzeczywistych ciągła na przedziale \(\displaystyle{ \left[-1, \ 1\right]}\) przyjmuje na tym przedziale \(\displaystyle{ k+1}\) razy na zmianę wartości \(\displaystyle{ \pm 1}\) w punktach kolejno \(\displaystyle{ x_{j}}\). Wówczas jeśli ciągła funkcja spełnia \(\displaystyle{ \left|f\left(x_{j}\right)\right|<1}\) dla \(\displaystyle{ j=1, \ 2, \ \ldots , \ k+1}\), to równanie \(\displaystyle{ f\left(x\right)=g\left(x\right)}\) ma przynajmniej \(\displaystyle{ k}\) rozwiązań.
Niech dla pewnego \(\displaystyle{ x_{j}}\) będzie \(\displaystyle{ g\left(x_{j}\right)=-1}\) i \(\displaystyle{ g\left(x_{j+1}\right)=1}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ g\left(x_{j}\right)-f\left(x_{j}\right <0}\), oraz \(\displaystyle{ g\left(x_{j+1}\right)-f\left(x_{j+1}\right)>0}\) skąd z własności Darboux funkcja \(\displaystyle{ g\left(x\right)-f\left(x\right)}\) ma miejsce zerowe w przedziale \(\displaystyle{ \left(x_{j}, \ x_{j+1}\right)}\) Przypadek odwrotny przebiega identycznie i stąd powtarzając rozumowanie dla \(\displaystyle{ j=1, \ 2, \ \ldots, \ k}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ k}\) pierwiastków.
\(\displaystyle{ \subsection*{Lemat 5.}}\)
Przy założeniach z poprzedniego lematu jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ x_{j}}\) takiego, że \(\displaystyle{ g\left(x_{j}\right)=-1}\) i \(\displaystyle{ g\left(x_{j+1}\right)=1}\) wykres funkcji \(\displaystyle{ f}\) przebija od dołu wykres funkcji \(\displaystyle{ g}\) w punkcie \(\displaystyle{ c}\) takim, że \(\displaystyle{ x_{j}<c<x_{j+1}}\), to ich wykresy mają \(\displaystyle{ k+2}\) punktów wspólnych.
Punkt \(\displaystyle{ c}\) jest punktem w którym z dodatniego na ujemny zmienia się znak funkcji \(\displaystyle{ g\left(x\right)-f\left(x\right)}\), a więc korzystając z dowodu Lematu 4 możemy z własności Darboux wywnioskować dodatkowe dwa miejsca zerowe po jednym w przedziałach \(\displaystyle{ \left(x_{j}, \ c\right)}\) i \(\displaystyle{ \left(c, \ x_{j+1}\right)}\).
\(\displaystyle{ \subsection*{Lemat 6. (Twierdzenie Bernsteina)}}\)
Jeśli suma trygonometryczna stopnia \(\displaystyle{ n}\) spełnia \(\displaystyle{ \left|S\left(\alpha\right)\right|\le 1}\), to \(\displaystyle{ \left|S'\left(\alpha\right)\right|\le n}\)
Załóżmy nie wprost, że dla pewnego \(\displaystyle{ \alpha_{0}}\) mamy np. \(\displaystyle{ S'\left(\alpha_{0}\right)>n}\). Współczynniki naszej sumy możemy bardzo delikatnie przeskalować tak aby nie zepsuć ostatniej nierówności, ale móc założyć, że \(\displaystyle{ \left|S\left(\alpha\right)\right|< 1}\). Weźmy wykres funkcji \(\displaystyle{ \sin n \alpha}\) i przesuwajmy go poziomo aż fragment na którym ta funkcja jest rosnąca przetnie się w punkcie \(\displaystyle{ \alpha_{0}}\) z wykresem naszej sumy (można tak zrobić choćby z ostatniego założenia). Mamy tam \(\displaystyle{ S'\left(\alpha_{0}\right)>n\ge n\cos n \alpha=\left(\sin n \alpha\right)'}\). A więc w punkcie \(\displaystyle{ \alpha_{0}}\) wykres funkcji \(\displaystyle{ S\left(\alpha\right)}\) przebija od dołu wykres funkcji \(\displaystyle{ \sin n \alpha}\) - to oczywiste, bo znak różnicy pochodnych, to znak pochodnej różnicy. A zatem z Lematu 5 te wykresy mają \(\displaystyle{ 2n+2}\) punktów wspólnych. Skoro tak, to z Lematu 3 suma trygonometryczna \(\displaystyle{ S\left(\alpha\right)=\sin n \alpha}\) co jest sprzeczne z założeniem \(\displaystyle{ \left|S\left(\alpha\right)\right|< 1}\) i kończy dowód lematu.
\(\displaystyle{ \subsection*{Lemat 7. (Twierdzenie Czebyszewa)}}\)
Wielomian spełniający warunki zadania ma wiodący współczynnik nie większy niż \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\).
Załóżmy nie wprost, że ma większy. Oczywiście możemy przeskalować współczynniki wielomianu tak by wciąż miał większy, ale dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in \left[-1, \ 1\right]}\) zachodziło \(\displaystyle{ \left|P\left(x\right)\right|<1}\). Wielomian \(\displaystyle{ T_{n}}\) przyjmuje wartości \(\displaystyle{ \pm 1}\) na zmianę \(\displaystyle{ n+1}\) razy, więc z Lematu 4 mamy \(\displaystyle{ n}\) punktów wspólnych tych wielomianów w naszym przedziale. Ponadto \(\displaystyle{ P\left(1\right)<1 =T_{n}\left(1\right)}\). Z uwagi na to, że wiodący współczynnik \(\displaystyle{ T_{n}}\) jest równy \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\), to dla bardzo dużego \(\displaystyle{ M}\) mamy \(\displaystyle{ P\left(M\right)>T_{n}\left(M\right)}\), a więc na przedziale \(\displaystyle{ \left(1, \ M\right)}\) mamy \(\displaystyle{ n+1}\)-szy punkty wspólny, a więc z Lematu 2 stwierdzamy równość wielomianów, ale to daje sprzeczność, bo są różne współczynniki wiodące.
\(\displaystyle{ \subsection*{Lemat 8.}}\)
Współczynnik wiodący \(\displaystyle{ n}\)-tego wielomianu Czebyszewa wynosi \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\).
Interesuje nas współczynnik przy \(\displaystyle{ \cos^{n}\alpha}\) w opisywanym na samym początku rozwinięciu części rzeczywistej \(\displaystyle{ \left(\cos\alpha+i\sin\alpha\right)^{n}}\) Po rozwinięciu z dwumianu Newtona otrzymujemy składniki postaci \(\displaystyle{ \binom{n}{k}i^{k}\cos^{n-k}\alpha\sin^{k}\alpha}\). Do części rzeczywistej wchodzą jedynie składniki z parzystym \(\displaystyle{ k}\).
A więc interesujące nas składniki to: \(\displaystyle{ \binom{n}{2l}\left(-1\right)^{l}\cos^{n-2l}\alpha\left(\sin^{2}\alpha\right)^{l}=\binom{n}{2l}\left(-1\right)^{l}\cos^{n-2l}\alpha\left(1-\cos^{2}\alpha\right)^{l}}\)
Zatem współczynnik przy \(\displaystyle{ \cos^{n}}\), to po prostu współczynnik przy sumie po \(\displaystyle{ l}\) następujących wyrażeń:
\(\displaystyle{ \binom{n}{2l}\left(-1\right)^{l}\cos^{n-2l}\alpha\cdot\left(-1\right)^{l}\cos^{2l}\alpha=\binom{n}{2l}\cos^{n}\alpha}\).
Zatem interesuje nas suma \(\displaystyle{ \sum_{2\mid k}^{n}\binom{n}{k}}\), która to już jest znana i wynosi upragnione \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\).
\(\displaystyle{ \subsection*{Lemat 9.}}\)
Dla dowolnego rzeczywistego \(\displaystyle{ \alpha}\) i dowolnego całkowitego dodatniego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left|\sin n\alpha\right| \le n \left|\sin\alpha\right|}\)
Dowód przebiega indukcyjnie. Dla \(\displaystyle{ n=1}\) teza niewątpliwie zachodzi. Załóżmy, że teza zachodzi dla pewnego \(\displaystyle{ n}\), wówczas:
\(\displaystyle{ \left|\sin \left(n+1\right)\alpha\right|=\left|\sin\left(n\alpha+\alpha\right)\right|=\left|\sin n \alpha \cos \alpha+\sin\alpha\cos n\alpha\right|\le \left|\sin n \alpha \cos\alpha\right|++\left|\sin\alpha\cos n\alpha\right|\le \left|\sin n\alpha\right|+\left|\sin \alpha\right|\le n\left|\sin \alpha\right|+\left|\sin\alpha\right|=\left(n+1\right)\left|\sin \alpha\right|}\)
co kończy ten uroczy dowód.
Przejdźmy do dowodu naszego twierdzenia.
\(\displaystyle{ \subsection*{Twierdzenie A. Markova}}\)
Czyli teza zadania.
Zauważmy, że funkcje stałe i liniowe spełniają tezę trywialnie - jeśli bowiem mamy funkcję postaci \(\displaystyle{ f\left(x\right)=ax+b}\), to mamy \(\displaystyle{ f\left(1\right)=ax+b\le1}\) i \(\displaystyle{ f\left(-1\right)=-a+b\ge -1 \Leftrightarrow a-b \le 1}\) skąd po dodaniu \(\displaystyle{ a\le 1}\) i analogicznie poprzez rozważenie funkcji \(\displaystyle{ -f\left(x\right)}\) która również założenia spełnia mamy \(\displaystyle{ -a\le 1}\) czyli \(\displaystyle{ a\ge -1}\). Zaś \(\displaystyle{ f'\left(x\right)=a}\). Od tej pory zakładamy, że \(\displaystyle{ n>1}\).
Pokażemy, że teza zachodzi, gdy \(\displaystyle{ P}\) jest \(\displaystyle{ n}\)-tym wielomianem Czebyszewa. Skoro \(\displaystyle{ x}\) jest z przedziału \(\displaystyle{ \left[-1, \ 1\right]}\), to możemy położyć \(\displaystyle{ x=\cos \alpha}\). Mamy:
\(\displaystyle{ \left|T'_{n}\left(x\right)\right|=\left|\frac{n\sin \left(n\arccos x\right)}{\sqrt{1-x^{2}}}\right|=\left|\frac{n\sin n \alpha}{\sin \alpha}\right|\le n^{2}}\)
gdzie szacowaliśmy z Lematu 9.
Przejdźmy teraz do ogólnego przypadku. Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ \left|x\right|\le \cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)}\). Skoro \(\displaystyle{ x}\) jest z przedziału \(\displaystyle{ \left[-1, \ 1\right]}\), to możemy położyć \(\displaystyle{ x=\cos \alpha}\). Wówczas \(\displaystyle{ P\left(x\right)=P\left(\cos \alpha\right)}\), a więc mamy do czynienia z sumą trygonometryczną i spełnione są założenia Twierdzenia Bernsteina. Otrzymujemy z niego, że \(\displaystyle{ \left|\left(P\left(\cos \alpha\right)\right)'\right|\le n}\) czyli \(\displaystyle{ \left|P'\left(\cos \alpha\right)\sin \alpha\right|\le n}\) i w ostateczności
\(\displaystyle{ \left|P'\left(x\right)\right|\le \frac{n}{\left|\sin \alpha\right|}=\frac{n}{\sqrt{1-x^{2}}}\le \frac{n}{\sqrt{1-\cos^{2}\left(\frac{\pi}{2n}\right)}}=\frac{n}{\sin \frac{\pi}{2n}}\le n^{2}}\)
gdzie ostatnie szacowanie jest z Lematu 9 dla \(\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi}{2n}}\).
Załóżmy, że \(\displaystyle{ 1\ge x> \cos \left(\frac{\pi}{2n}\right)}\) (symetryczny przypadek robi się tak samo). Załóżmy też, że dla pewnego \(\displaystyle{ x_{0}}\) takiego, że \(\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)<x_{0}}\) zachodzi \(\displaystyle{ P'\left(x_{0}\right)>T'_{n}\left(x_{0}\right)}\). Jak już wielokrotnie wcześniej, możemy przeskalować współczynniki wielomianu \(\displaystyle{ P}\) tak, by nie zepsuć ostatniej nierówności ale by na przedziale \(\displaystyle{ \left[-1, \ 1\right]}\) zachodziło \(\displaystyle{ \left|P\left(x\right)\right| <1}\) (bo przeskalowanie współczynników wielomianu, to przeskalowanie współczynników pochodnej).
Na lewo od \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{2n}}\) są punkty \(\displaystyle{ \cos \frac{1\ \cdot\pi}{n}, \ \cos \frac{2\ \cdot\pi}{n}, \ \ldots, \cos \frac{n\ \cdot\pi}{n}}\) (bo cosinus jest malejący na tym przedziale), czyli \(\displaystyle{ n}\) spośród punktów w których \(\displaystyle{ T_{n}}\) przyjmuje na zmianę wartości \(\displaystyle{ \pm 1}\). Czyli z Lematu 4 jest to \(\displaystyle{ n-1}\) punktów w których \(\displaystyle{ P\left(x\right)=T_{n}\left(x\right)}\). A z twierdzenia Rolle'a daje nam to \(\displaystyle{ n-2}\) punktów w których \(\displaystyle{ P'\left(x\right)=T'_{n}\left(x\right)}\).
Policzmy \(\displaystyle{ T'_{n}\left(x\right)=\left(\cos \left(n \arccos x \right)\right)'=\frac{n\sin \left(n \arccos x\right)}{\sqrt{1-x^{2}}}}\)
Zauważmy, że jak poprzednio:
\(\displaystyle{ P'\left(\cos \frac{\pi}{2n}\right)\le\frac{n}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{n}{\sqrt{1-\cos^{2}\left(\frac{\pi}{2n}\right)}}=\frac{n\sin \left(n \arccos \cos \frac{\pi}{2n}\right)}{\sqrt{1-\cos^{2} \frac{\pi}{2n}}}=T'_{n}\left(\cos\frac{\pi}{2n}\right)}\)
Założyliśmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ x_{0} >\cos \frac{\pi}{2n}}\) zachodzi \(\displaystyle{ P'\left(x_{0}\right)>T_{n}\left(x_{0}\right)}\), a więc na przedziale \(\displaystyle{ \left[\cos \frac{\pi}{2n}, \ x_{0}\right)}\) mamy kolejny - \(\displaystyle{ n-1}\)-szy punkt przecięcia funkcji \(\displaystyle{ P'}\) i \(\displaystyle{ T'_{n}}\). Ponadto z twierdzenia Czebyszewa wiemy, że wielomian \(\displaystyle{ T_{n}-P}\) ma nieujemny współczynnik wiodący, a więc i wielomian \(\displaystyle{ T'_{n}-P'}\) taki ma. Jeśli ów współczynnik jest zerowy, to znaczy, że wielomiany \(\displaystyle{ T'_{n}\left(x\right)-n\cdot 2^{n-1}\cdot x^{n-1}}\) i \(\displaystyle{ P'\left(x\right)-n\cdot 2^{n-1}\cdot x^{n-1}}\) mają \(\displaystyle{ n-1}\) punktów wspólnych, a są stopnia nie większego niż \(\displaystyle{ n-2}\), więc wielomiany \(\displaystyle{ P'}\) i \(\displaystyle{ T'_{n}}\) są sobie równe. Jeśli zaś ów współczynnik jest dodatni, to gdzieś dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ T'\left(x\right)-P'\left(x\right)>0}\), skąd na przedziale \(\displaystyle{ \left(x_{0}, \ \infty\right)}\) mamy kolejny - \(\displaystyle{ n}\)-ty punkt przecięcia funkcji \(\displaystyle{ P'}\) i \(\displaystyle{ T'_{n}}\), które są stopnia nie większego niż \(\displaystyle{ n-1}\), a więc ponownie otrzymujemy równość wielomianów \(\displaystyle{ P'}\) i \(\displaystyle{ T'_{n}}\). Zatem wielomiany \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ T_{n}}\) różnią się jedynie o stałą, czyli wykres \(\displaystyle{ P\left(x\right)}\) jest wykresem \(\displaystyle{ T_{n}\left(x\right)}\) przesuniętym w pionie. Ale to daje nam sprzeczność, bo założyliśmy, że \(\displaystyle{ \left|P\left(x\right)\right|<1}\), zaś \(\displaystyle{ T_{n}}\) wartości \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 1}\) przyjmuje.
Zatem na przedziale \(\displaystyle{ \left(\cos \frac{\pi}{2n}, \ 1\right]}\) zachodzi \(\displaystyle{ T'_{n}\left(x\right)>P'\left(x\right)}\) co pociąga za sobą tezę, bo dla wielomianów Czebyszewa dowód już przeprowadziliśmy.
Spójrzmy na wzór de Moivre'a - \(\displaystyle{ \cos n \alpha+i \sin n \alpha=\left(\cos \alpha+i\sin \alpha\right)^{n}}\). Poprzez porównanie części rzeczywistych możemy uzyskać wzór na \(\displaystyle{ \cos n\alpha}\) w którym wszystkie sinusy będą w parzystych potęgach, a zatem będzie można się ich wszystkich pozbyć poprzez podstawienie \(\displaystyle{ \sin^{2} \alpha=1-\cos^{2}\alpha}\). Tak otrzymany wielomian zmiennej \(\displaystyle{ \cos \alpha}\) nazwijmy \(\displaystyle{ n}\)-tym wielomianem Czebyszewa i oznaczmy symbolem \(\displaystyle{ T_{n}}\). Wielomian nasz spełnia więc \(\displaystyle{ T_{n}\left(\cos \alpha\right)=\cos n\alpha}\), czyli dla \(\displaystyle{ x\in \left[-1, \ 1\right]}\) zachodzi \(\displaystyle{ T_{n}\left(x\right)=\cos\left(n \arccos x\right)}\).
\(\displaystyle{ \subsection*{Lemat 1.}}\)
Wielomian \(\displaystyle{ T_{n}}\) na przedziale \(\displaystyle{ \left[-1, \ 1\right]}\) przyjmuje na zmianę łącznie \(\displaystyle{ n+1}\) razy wartości \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\).
Jak bowiem widzimy z ostatniego wzoru: \(\displaystyle{ T_{n}=\pm 1 \Leftrightarrow n \arccos x=k\pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\). A ponieważ \(\displaystyle{ \arccos x \in \left[0, \ \pi\right]}\), to stąd uzyskujemy łatwo wszystkie rozwiązania \(\displaystyle{ x \in \left\{\cos\frac{0 \cdot \pi}{n}, \ \cos \frac{1 \cdot \pi}{n}, \ \ldots, \ \cos \frac{n\cdot \pi}{n}\right\}}\), czyli \(\displaystyle{ n+1}\) rozwiązań i widzimy, że istotnie wartości \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 1}\) następują po sobie na zmianę.
\(\displaystyle{ \subsection*{Lemat 2.}}\)
Jeśli dwa wielomiany stopnia nie większego niż \(\displaystyle{ n}\) przyjmują te same wartości w choć \(\displaystyle{ n+1}\) punktach, to są sobie równe.
Istotnie, ich różnica bowiem jest stopnia nie większego niż \(\displaystyle{ n}\) i ma co najmniej \(\displaystyle{ n+1}\) pierwiastków, a więc jest wielomianem zerowym.
Wprowadźmy pojęcie sumy trygonometrycznej \(\displaystyle{ S\left(\alpha\right)}\) stopnia \(\displaystyle{ n}\): \(\displaystyle{ S\left(\alpha\right)=\sum_{k=0}^{n}\left(a_{k}\cos k\alpha+b_{k}\sin k \alpha\right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ a_{k}}\) i \(\displaystyle{ b_{k}}\) dla \(\displaystyle{ k=0, \ 1, \ \ldots , \ n}\) są pewnymi rzeczywistymi współczynnikami. Będzimy z uwagi na liczne podobieństwa stosować analogiczną terminologię co w przypadku wielomianów. Zauważmy też, że możemy zawsze przyjmować \(\displaystyle{ b_{0}=0}\), bo nie zmienia to nic z uwagi na \(\displaystyle{ \sin 0 =0}\).
\(\displaystyle{ \subsection*{Lemat 3.}}\)
Jeśli dwie sumy trygonometryczne stopnia \(\displaystyle{ n}\) przyjmują te same wartości w \(\displaystyle{ 2n+2}\) punktach \(\displaystyle{ \alpha}\) z przedziału \(\displaystyle{ \left[0, \ 2\pi\right]}\), to są sobie równe.
Dla sumy \(\displaystyle{ S}\) postaci \(\displaystyle{ S\left(\alpha\right)=\sum_{k=0}^{n}\left(a_{k}\cos k\alpha+b_{k}\sin k \alpha\right)}\) wprowadźmy oznaczenia \(\displaystyle{ c_{k}=\frac{a_{k}-ib_{k}}{2}}\) i \(\displaystyle{ c_{-k}=\frac{a_{k}+ib_{k}}{2}}\) dla \(\displaystyle{ k=0, \ 1, \ \ldots , \ n}\). Zauważmy, też, że z uwagi na \(\displaystyle{ b_{0}=0}\) równość \(\displaystyle{ c_{0}=c_{-0}}\) zachodzi. To nam daje \(\displaystyle{ a_{k}=c_{k}+c_{-k}}\) i \(\displaystyle{ b_{k}=i\left(c_{k}-c_{-k}\right)}\). To korzystając z parzystości i nieparzystości funkcji odpowiednio cosinus i sinus, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ S\left(\alpha\right)=\sum_{k=-n}^{n}c_{k}\left(\cos k\alpha+i\sin k\alpha\right)=\sum_{k=-n}^{n}c_{k}e^{ik\alpha}=e^{-in\alpha}\sum_{k=0}^{2n}c_{k-n}e^{ik\alpha}}\).
To druga suma jest postaci \(\displaystyle{ e^{-in\alpha}\sum_{k=0}^{2n}d_{k-n}e^{ik\alpha}}\), a więc ich różnica jest postaci \(\displaystyle{ e^{-in\alpha}\sum_{k=0}^{2n}\left(c_{k-n}-d_{k-n}\right)e^{ik\alpha}}\), czyli jest pewną niezerową liczbą pomnożoną razy wielomian zmiennej \(\displaystyle{ e^{i\alpha}}\) stopnia \(\displaystyle{ 2n}\), więc mamy sytuację z Lematu 2 i stwierdzamy równość tych wielomianów, a tym samym sum trygonometrycznych.
\(\displaystyle{ \subsection*{Lemat 4.}}\)
Niech funkcja \(\displaystyle{ g}\) o wartościach rzeczywistych ciągła na przedziale \(\displaystyle{ \left[-1, \ 1\right]}\) przyjmuje na tym przedziale \(\displaystyle{ k+1}\) razy na zmianę wartości \(\displaystyle{ \pm 1}\) w punktach kolejno \(\displaystyle{ x_{j}}\). Wówczas jeśli ciągła funkcja spełnia \(\displaystyle{ \left|f\left(x_{j}\right)\right|<1}\) dla \(\displaystyle{ j=1, \ 2, \ \ldots , \ k+1}\), to równanie \(\displaystyle{ f\left(x\right)=g\left(x\right)}\) ma przynajmniej \(\displaystyle{ k}\) rozwiązań.
Niech dla pewnego \(\displaystyle{ x_{j}}\) będzie \(\displaystyle{ g\left(x_{j}\right)=-1}\) i \(\displaystyle{ g\left(x_{j+1}\right)=1}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ g\left(x_{j}\right)-f\left(x_{j}\right <0}\), oraz \(\displaystyle{ g\left(x_{j+1}\right)-f\left(x_{j+1}\right)>0}\) skąd z własności Darboux funkcja \(\displaystyle{ g\left(x\right)-f\left(x\right)}\) ma miejsce zerowe w przedziale \(\displaystyle{ \left(x_{j}, \ x_{j+1}\right)}\) Przypadek odwrotny przebiega identycznie i stąd powtarzając rozumowanie dla \(\displaystyle{ j=1, \ 2, \ \ldots, \ k}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ k}\) pierwiastków.
\(\displaystyle{ \subsection*{Lemat 5.}}\)
Przy założeniach z poprzedniego lematu jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ x_{j}}\) takiego, że \(\displaystyle{ g\left(x_{j}\right)=-1}\) i \(\displaystyle{ g\left(x_{j+1}\right)=1}\) wykres funkcji \(\displaystyle{ f}\) przebija od dołu wykres funkcji \(\displaystyle{ g}\) w punkcie \(\displaystyle{ c}\) takim, że \(\displaystyle{ x_{j}<c<x_{j+1}}\), to ich wykresy mają \(\displaystyle{ k+2}\) punktów wspólnych.
Punkt \(\displaystyle{ c}\) jest punktem w którym z dodatniego na ujemny zmienia się znak funkcji \(\displaystyle{ g\left(x\right)-f\left(x\right)}\), a więc korzystając z dowodu Lematu 4 możemy z własności Darboux wywnioskować dodatkowe dwa miejsca zerowe po jednym w przedziałach \(\displaystyle{ \left(x_{j}, \ c\right)}\) i \(\displaystyle{ \left(c, \ x_{j+1}\right)}\).
\(\displaystyle{ \subsection*{Lemat 6. (Twierdzenie Bernsteina)}}\)
Jeśli suma trygonometryczna stopnia \(\displaystyle{ n}\) spełnia \(\displaystyle{ \left|S\left(\alpha\right)\right|\le 1}\), to \(\displaystyle{ \left|S'\left(\alpha\right)\right|\le n}\)
Załóżmy nie wprost, że dla pewnego \(\displaystyle{ \alpha_{0}}\) mamy np. \(\displaystyle{ S'\left(\alpha_{0}\right)>n}\). Współczynniki naszej sumy możemy bardzo delikatnie przeskalować tak aby nie zepsuć ostatniej nierówności, ale móc założyć, że \(\displaystyle{ \left|S\left(\alpha\right)\right|< 1}\). Weźmy wykres funkcji \(\displaystyle{ \sin n \alpha}\) i przesuwajmy go poziomo aż fragment na którym ta funkcja jest rosnąca przetnie się w punkcie \(\displaystyle{ \alpha_{0}}\) z wykresem naszej sumy (można tak zrobić choćby z ostatniego założenia). Mamy tam \(\displaystyle{ S'\left(\alpha_{0}\right)>n\ge n\cos n \alpha=\left(\sin n \alpha\right)'}\). A więc w punkcie \(\displaystyle{ \alpha_{0}}\) wykres funkcji \(\displaystyle{ S\left(\alpha\right)}\) przebija od dołu wykres funkcji \(\displaystyle{ \sin n \alpha}\) - to oczywiste, bo znak różnicy pochodnych, to znak pochodnej różnicy. A zatem z Lematu 5 te wykresy mają \(\displaystyle{ 2n+2}\) punktów wspólnych. Skoro tak, to z Lematu 3 suma trygonometryczna \(\displaystyle{ S\left(\alpha\right)=\sin n \alpha}\) co jest sprzeczne z założeniem \(\displaystyle{ \left|S\left(\alpha\right)\right|< 1}\) i kończy dowód lematu.
\(\displaystyle{ \subsection*{Lemat 7. (Twierdzenie Czebyszewa)}}\)
Wielomian spełniający warunki zadania ma wiodący współczynnik nie większy niż \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\).
Załóżmy nie wprost, że ma większy. Oczywiście możemy przeskalować współczynniki wielomianu tak by wciąż miał większy, ale dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in \left[-1, \ 1\right]}\) zachodziło \(\displaystyle{ \left|P\left(x\right)\right|<1}\). Wielomian \(\displaystyle{ T_{n}}\) przyjmuje wartości \(\displaystyle{ \pm 1}\) na zmianę \(\displaystyle{ n+1}\) razy, więc z Lematu 4 mamy \(\displaystyle{ n}\) punktów wspólnych tych wielomianów w naszym przedziale. Ponadto \(\displaystyle{ P\left(1\right)<1 =T_{n}\left(1\right)}\). Z uwagi na to, że wiodący współczynnik \(\displaystyle{ T_{n}}\) jest równy \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\), to dla bardzo dużego \(\displaystyle{ M}\) mamy \(\displaystyle{ P\left(M\right)>T_{n}\left(M\right)}\), a więc na przedziale \(\displaystyle{ \left(1, \ M\right)}\) mamy \(\displaystyle{ n+1}\)-szy punkty wspólny, a więc z Lematu 2 stwierdzamy równość wielomianów, ale to daje sprzeczność, bo są różne współczynniki wiodące.
\(\displaystyle{ \subsection*{Lemat 8.}}\)
Współczynnik wiodący \(\displaystyle{ n}\)-tego wielomianu Czebyszewa wynosi \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\).
Interesuje nas współczynnik przy \(\displaystyle{ \cos^{n}\alpha}\) w opisywanym na samym początku rozwinięciu części rzeczywistej \(\displaystyle{ \left(\cos\alpha+i\sin\alpha\right)^{n}}\) Po rozwinięciu z dwumianu Newtona otrzymujemy składniki postaci \(\displaystyle{ \binom{n}{k}i^{k}\cos^{n-k}\alpha\sin^{k}\alpha}\). Do części rzeczywistej wchodzą jedynie składniki z parzystym \(\displaystyle{ k}\).
A więc interesujące nas składniki to: \(\displaystyle{ \binom{n}{2l}\left(-1\right)^{l}\cos^{n-2l}\alpha\left(\sin^{2}\alpha\right)^{l}=\binom{n}{2l}\left(-1\right)^{l}\cos^{n-2l}\alpha\left(1-\cos^{2}\alpha\right)^{l}}\)
Zatem współczynnik przy \(\displaystyle{ \cos^{n}}\), to po prostu współczynnik przy sumie po \(\displaystyle{ l}\) następujących wyrażeń:
\(\displaystyle{ \binom{n}{2l}\left(-1\right)^{l}\cos^{n-2l}\alpha\cdot\left(-1\right)^{l}\cos^{2l}\alpha=\binom{n}{2l}\cos^{n}\alpha}\).
Zatem interesuje nas suma \(\displaystyle{ \sum_{2\mid k}^{n}\binom{n}{k}}\), która to już jest znana i wynosi upragnione \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\).
\(\displaystyle{ \subsection*{Lemat 9.}}\)
Dla dowolnego rzeczywistego \(\displaystyle{ \alpha}\) i dowolnego całkowitego dodatniego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left|\sin n\alpha\right| \le n \left|\sin\alpha\right|}\)
Dowód przebiega indukcyjnie. Dla \(\displaystyle{ n=1}\) teza niewątpliwie zachodzi. Załóżmy, że teza zachodzi dla pewnego \(\displaystyle{ n}\), wówczas:
\(\displaystyle{ \left|\sin \left(n+1\right)\alpha\right|=\left|\sin\left(n\alpha+\alpha\right)\right|=\left|\sin n \alpha \cos \alpha+\sin\alpha\cos n\alpha\right|\le \left|\sin n \alpha \cos\alpha\right|++\left|\sin\alpha\cos n\alpha\right|\le \left|\sin n\alpha\right|+\left|\sin \alpha\right|\le n\left|\sin \alpha\right|+\left|\sin\alpha\right|=\left(n+1\right)\left|\sin \alpha\right|}\)
co kończy ten uroczy dowód.
Przejdźmy do dowodu naszego twierdzenia.
\(\displaystyle{ \subsection*{Twierdzenie A. Markova}}\)
Czyli teza zadania.
Zauważmy, że funkcje stałe i liniowe spełniają tezę trywialnie - jeśli bowiem mamy funkcję postaci \(\displaystyle{ f\left(x\right)=ax+b}\), to mamy \(\displaystyle{ f\left(1\right)=ax+b\le1}\) i \(\displaystyle{ f\left(-1\right)=-a+b\ge -1 \Leftrightarrow a-b \le 1}\) skąd po dodaniu \(\displaystyle{ a\le 1}\) i analogicznie poprzez rozważenie funkcji \(\displaystyle{ -f\left(x\right)}\) która również założenia spełnia mamy \(\displaystyle{ -a\le 1}\) czyli \(\displaystyle{ a\ge -1}\). Zaś \(\displaystyle{ f'\left(x\right)=a}\). Od tej pory zakładamy, że \(\displaystyle{ n>1}\).
Pokażemy, że teza zachodzi, gdy \(\displaystyle{ P}\) jest \(\displaystyle{ n}\)-tym wielomianem Czebyszewa. Skoro \(\displaystyle{ x}\) jest z przedziału \(\displaystyle{ \left[-1, \ 1\right]}\), to możemy położyć \(\displaystyle{ x=\cos \alpha}\). Mamy:
\(\displaystyle{ \left|T'_{n}\left(x\right)\right|=\left|\frac{n\sin \left(n\arccos x\right)}{\sqrt{1-x^{2}}}\right|=\left|\frac{n\sin n \alpha}{\sin \alpha}\right|\le n^{2}}\)
gdzie szacowaliśmy z Lematu 9.
Przejdźmy teraz do ogólnego przypadku. Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ \left|x\right|\le \cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)}\). Skoro \(\displaystyle{ x}\) jest z przedziału \(\displaystyle{ \left[-1, \ 1\right]}\), to możemy położyć \(\displaystyle{ x=\cos \alpha}\). Wówczas \(\displaystyle{ P\left(x\right)=P\left(\cos \alpha\right)}\), a więc mamy do czynienia z sumą trygonometryczną i spełnione są założenia Twierdzenia Bernsteina. Otrzymujemy z niego, że \(\displaystyle{ \left|\left(P\left(\cos \alpha\right)\right)'\right|\le n}\) czyli \(\displaystyle{ \left|P'\left(\cos \alpha\right)\sin \alpha\right|\le n}\) i w ostateczności
\(\displaystyle{ \left|P'\left(x\right)\right|\le \frac{n}{\left|\sin \alpha\right|}=\frac{n}{\sqrt{1-x^{2}}}\le \frac{n}{\sqrt{1-\cos^{2}\left(\frac{\pi}{2n}\right)}}=\frac{n}{\sin \frac{\pi}{2n}}\le n^{2}}\)
gdzie ostatnie szacowanie jest z Lematu 9 dla \(\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi}{2n}}\).
Załóżmy, że \(\displaystyle{ 1\ge x> \cos \left(\frac{\pi}{2n}\right)}\) (symetryczny przypadek robi się tak samo). Załóżmy też, że dla pewnego \(\displaystyle{ x_{0}}\) takiego, że \(\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)<x_{0}}\) zachodzi \(\displaystyle{ P'\left(x_{0}\right)>T'_{n}\left(x_{0}\right)}\). Jak już wielokrotnie wcześniej, możemy przeskalować współczynniki wielomianu \(\displaystyle{ P}\) tak, by nie zepsuć ostatniej nierówności ale by na przedziale \(\displaystyle{ \left[-1, \ 1\right]}\) zachodziło \(\displaystyle{ \left|P\left(x\right)\right| <1}\) (bo przeskalowanie współczynników wielomianu, to przeskalowanie współczynników pochodnej).
Na lewo od \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{2n}}\) są punkty \(\displaystyle{ \cos \frac{1\ \cdot\pi}{n}, \ \cos \frac{2\ \cdot\pi}{n}, \ \ldots, \cos \frac{n\ \cdot\pi}{n}}\) (bo cosinus jest malejący na tym przedziale), czyli \(\displaystyle{ n}\) spośród punktów w których \(\displaystyle{ T_{n}}\) przyjmuje na zmianę wartości \(\displaystyle{ \pm 1}\). Czyli z Lematu 4 jest to \(\displaystyle{ n-1}\) punktów w których \(\displaystyle{ P\left(x\right)=T_{n}\left(x\right)}\). A z twierdzenia Rolle'a daje nam to \(\displaystyle{ n-2}\) punktów w których \(\displaystyle{ P'\left(x\right)=T'_{n}\left(x\right)}\).
Policzmy \(\displaystyle{ T'_{n}\left(x\right)=\left(\cos \left(n \arccos x \right)\right)'=\frac{n\sin \left(n \arccos x\right)}{\sqrt{1-x^{2}}}}\)
Zauważmy, że jak poprzednio:
\(\displaystyle{ P'\left(\cos \frac{\pi}{2n}\right)\le\frac{n}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{n}{\sqrt{1-\cos^{2}\left(\frac{\pi}{2n}\right)}}=\frac{n\sin \left(n \arccos \cos \frac{\pi}{2n}\right)}{\sqrt{1-\cos^{2} \frac{\pi}{2n}}}=T'_{n}\left(\cos\frac{\pi}{2n}\right)}\)
Założyliśmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ x_{0} >\cos \frac{\pi}{2n}}\) zachodzi \(\displaystyle{ P'\left(x_{0}\right)>T_{n}\left(x_{0}\right)}\), a więc na przedziale \(\displaystyle{ \left[\cos \frac{\pi}{2n}, \ x_{0}\right)}\) mamy kolejny - \(\displaystyle{ n-1}\)-szy punkt przecięcia funkcji \(\displaystyle{ P'}\) i \(\displaystyle{ T'_{n}}\). Ponadto z twierdzenia Czebyszewa wiemy, że wielomian \(\displaystyle{ T_{n}-P}\) ma nieujemny współczynnik wiodący, a więc i wielomian \(\displaystyle{ T'_{n}-P'}\) taki ma. Jeśli ów współczynnik jest zerowy, to znaczy, że wielomiany \(\displaystyle{ T'_{n}\left(x\right)-n\cdot 2^{n-1}\cdot x^{n-1}}\) i \(\displaystyle{ P'\left(x\right)-n\cdot 2^{n-1}\cdot x^{n-1}}\) mają \(\displaystyle{ n-1}\) punktów wspólnych, a są stopnia nie większego niż \(\displaystyle{ n-2}\), więc wielomiany \(\displaystyle{ P'}\) i \(\displaystyle{ T'_{n}}\) są sobie równe. Jeśli zaś ów współczynnik jest dodatni, to gdzieś dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ T'\left(x\right)-P'\left(x\right)>0}\), skąd na przedziale \(\displaystyle{ \left(x_{0}, \ \infty\right)}\) mamy kolejny - \(\displaystyle{ n}\)-ty punkt przecięcia funkcji \(\displaystyle{ P'}\) i \(\displaystyle{ T'_{n}}\), które są stopnia nie większego niż \(\displaystyle{ n-1}\), a więc ponownie otrzymujemy równość wielomianów \(\displaystyle{ P'}\) i \(\displaystyle{ T'_{n}}\). Zatem wielomiany \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ T_{n}}\) różnią się jedynie o stałą, czyli wykres \(\displaystyle{ P\left(x\right)}\) jest wykresem \(\displaystyle{ T_{n}\left(x\right)}\) przesuniętym w pionie. Ale to daje nam sprzeczność, bo założyliśmy, że \(\displaystyle{ \left|P\left(x\right)\right|<1}\), zaś \(\displaystyle{ T_{n}}\) wartości \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 1}\) przyjmuje.
Zatem na przedziale \(\displaystyle{ \left(\cos \frac{\pi}{2n}, \ 1\right]}\) zachodzi \(\displaystyle{ T'_{n}\left(x\right)>P'\left(x\right)}\) co pociąga za sobą tezę, bo dla wielomianów Czebyszewa dowód już przeprowadziliśmy.