granica ciagu rekurencyjnego

[robin5hood]

Niech \(\displaystyle{ \{a_n\}_{n = 0}^{\infty}}\) : \(\displaystyle{ a_0 = a_1 = 1, a_{n + 2} = \frac {1}{a_{n + 1}} + \frac {1}{a_n}}\) .Oblicz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}a_n}\)

[Crizz]

Przecież jeżeli ta granica istnieje, to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}a_{n} =\lim_{n \to \infty}a_{n+1}= \lim_{n \to \infty}a_{n+2}=g}\), czyli dochodzimy natychmiast do równania \(\displaystyle{ g=\frac{1}{g}+\frac{1}{g}}\). Stąd \(\displaystyle{ g= \pm \sqrt{2}}\) i po uwzględnieniu faktu, że ciąg ma wyrazy nieujemne, \(\displaystyle{ g=\sqrt{2}}\)

[robin5hood]

Przecież jeżeli ta granica istnieje

najwazniesze to pokazać ze ta granica istnieje