[Teoria liczb] Zadanie nie-"podobne" do innych

[mol_ksiazkowy]

Dwie liczby naturalne m,n nazwiemy podobnymi, jeśli każda liczba pierwsza dzieląca m dzieli też n - i na odwrót. Zaś powiemy że m i n są bardzo podobne, gdy podobne są m i n jak także m+1 i n+1. Czy istnieje nieskończenie wiele par liczb bardzo podobnych.....?!

[gryzzly92]

Dwie liczby naturalne m,n nazwiemy podobnymi, jeśli każda liczba pierwsza dzieląca m dzieli też n - i na odwrót. Zaś powiemy że m i n są bardzo podobne, gdy podobne są m i n jak także m+1 i n+1. Czy istnieje nieskończenie wiele par liczb bardzo podobnych.....?!

Najpierw dowiedziemy tego, że mogą to być pary n=m, gdy są podobne.
Popatrzmy na rozkłady bez powtórzeń jak na zbiory liczb pierwszych.
Wszystkie liczby pierwsze, które dzielą n muszą dzielić m. Z tego wynika, że wszystkie liczby z rozkładu n należą także do rozkładu m.
Zatem:
\(\displaystyle{ R_{n} \subseteq R_{m}}\)
R - są to rozkłady bez powtórzeń

Teraz skoro wiemy, że działa to także w drugą stronę to każda liczba z rozkładu m musi być także w rozkładzie n.
\(\displaystyle{ R_{m} \subseteq R_{n}}\)
Z tego wynika, że rozkłady m i n muszą być tym samym zbiorem liczb pierwszych.
\(\displaystyle{ R_{m} = R_{n}}\)

Zauważmy także, że nie muszą one być koniecznie równe (liczby), gdyż jeśli liczby pierwsze z rozkładzie powtarzają się to podobne są liczby np. 8 i 2, jednak rozpatrzenie specjalnego przypadku jako podzbioru właściwych par, gdy n=m będzie 'wygodniejsze".

Teraz zauważmy, że dla wszystkich par \(\displaystyle{ (n,m)}\), gdy n=m także n+1=m+1 jest trywialne. Skoro n+1=m+1 jest prawdą to także da się dowieść indukcyjnie prawdziwość dla \(\displaystyle{ n,m\in \mathbb{N}}\)

\(\displaystyle{ n=m=1}\)
\(\displaystyle{ n+1=m+1=2}\)
Rozkłady 1-elementowe o elemencie 2. (n,m) są bardzo podobne.

I skoro (n,m) jest bardzo podobne to i (n+1,m+1) jest bardzo podobne, gdyż (n+2,m+2) są podobne, gdy n=m.

Tak dowiedliśmy, że jest nieskończenie dużo par, które składają się na liczby bardzo podobne. Skoro nie było założenia w treści zadania, że \(\displaystyle{ n \neq m}\) całe rozumowanie jest poprawne.

Nie jestem może najlepszy w dowodzeniu, ale spróbowałem. Proszę "karcić" jak zrobiłem jakiś straszny i niewybaczalny błąd.

Pozdrawiam i życzę miłego weekendu.

[Sylwek]

Oj, dobrze, ale bardzo zamotałeś, po prostu \(\displaystyle{ m=n m+k=n+k}\), zatem \(\displaystyle{ p|m \iff p|n}\) oraz \(\displaystyle{ k|(m+1) \iff k(n+1)}\) - zatem dla każdego a naturalnego pary \(\displaystyle{ (m+2a, \ n+2a)}\), gdy m=n są bardzo podobne.


A ja stawiam poprzeczkę wyżej . Załóżmy, że \(\displaystyle{ m \ne n}\). Jak teraz to będzie wyglądało?


[EDIT, 03] OK, problem jednak nie okazał się trudny i sam sobie odpowiem . Rozpatrzmy: \(\displaystyle{ n=2^k-2}\), dla \(\displaystyle{ k\in {2,3,...}}\) oraz \(\displaystyle{ m=n(n+2)}\) - prosto sprawdzić, że liczby m,n są podobne (gdyż przez n+2 dzieli się tylko dwójka, a dwójka dzieli też n, zatem zbiór liczb pierwszych dzielących m i n jest taki sam). Mamy również: \(\displaystyle{ m+1=n(n+2)+1=(n+1)^2}\) - tu jeszcze prościej sprawdzić, że \(\displaystyle{ p|(n+1) \iff p|(m+1=n(n+2)+1=(n+1)^2)}\). Zatem gdy \(\displaystyle{ n=2^k-2}\), to liczby m,n są bardzo podobne. Dla zakończenia dowodu wystarczy zauważyć, że liczb naturalnych (\(\displaystyle{ k}\)) większych lub równych 2 jest nieskończenie wiele.


Czas spać

[gryzzly92]

Oj tam Ważne, że zrobione i można brać się za następne.