[Nierówności] Największa liczba rzeczywista

[Piotr Rutkowski]

Zadanie mojego autorstwa... niestety bez rozwiązania

Znajdź , jesli istnieje, najwiekszą liczbę \(\displaystyle{ m\in \mathbb{R}}\) taką, że:

\(\displaystyle{ \forall_{x,y,z\in \mathbb{R_{+}}}}\) takich, ze:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{xyz}=8}\) oraz \(\displaystyle{ x,y,z\leq m}\)
jest spełnione:
\(\displaystyle{ \sum_{sym}\sqrt{\frac{1}{x+y+2}}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

[Rogal]

W tej sumce w mianowniku na pewno ma być 2?

[ Dodano: 15 Lutego 2008, 15:34 ]
A ok, może być : )

[Piotr Rutkowski]

molu, raczej nie, wystarczy wziąć wtedy np. \(\displaystyle{ a\rightarrow 0}\) i b,c odpowiednie

EDIT: Posty pojawiają się i znikają...

[mol_ksiazkowy]

tak wiem ,- no taka miałem pierwsza mysl. ale też sie kapłem ze cos nie gra...po napisaniu , a wiec usunałem "slady zbrodni", a swoja droga- fajne zadako wstawiles polskimisku

[Sylwek]

Takie m istnieje - nie wprost: nie istnieje, ale gdyby \(\displaystyle{ x,y,z \leqslant 8}\), to nierówność jest spełniona (gdyż musi być x=y=z=8 ) - sprzeczność.

Przypuśćmy, że istnieje większe takie m. Rozpatrzmy lewą stronę jako jako \(\displaystyle{ f(x,y,z)}\). Wówczas w szczególności: \(\displaystyle{ f(m,m,\frac{512}{m^2}) \geqslant \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Niech \(\displaystyle{ f(m,m,\frac{512}{m^2})=g(m)=\frac{1}{\sqrt{2m+2}}+\frac{2m}{\sqrt{m^3+2m^2+512}}-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Pozostaje pokazać w jakikolwiek sposób, że w przedziale \(\displaystyle{ \langle8,+\infty)}\) funkcja g jest malejąca, a że \(\displaystyle{ g(8)=0}\), to mamy sprzeczność z faktem, że \(\displaystyle{ m \geqslant 8}\). Jest to prawda, dodatkowo w punkcie \(\displaystyle{ m=8}\) znajduje się ekstremum tej funkcji. Można próbować przekształcając, podnosząc do kwadratu i porządkując (bądź gdzieś wtrącić jakąś z klasycznych nierówności przy przekształceniach), ponieważ to już mechaniczne działania, więc zostawiam tą część dowodu chcącym przećwiczyć swoją wprawę w liczeniu

A jak ktoś woli w inny sposób, to wg pewnego kalkulatora internetowego:
\(\displaystyle{ g'(m)= {2 \over \sqrt{m^3 +2m^2 +512}} - {m \left(3m^2 +4m\right) \over \left(m^3 +2m^2 +512\right) ^{ {3 \over 2} } } - { 1 \over \left(2m +2\right) ^{ {3 \over 2} } }}\)


Odpowiedź: \(\displaystyle{ m=8}\)

[Piotr Rutkowski]

Takie m istnieje - nie wprost: nie istnieje, ale gdyby \(\displaystyle{ x,y,z \leqslant 8}\), to nierówność jest spełniona (gdyż musi być x=y=z=8 ) - sprzeczność.

Przypuśćmy, że istnieje większe takie m. Rozpatrzmy lewą stronę jako jako \(\displaystyle{ f(x,y,z)}\). Wówczas w szczególności: \(\displaystyle{ f(m,m,\frac{512}{m^2}) \geqslant \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Niech \(\displaystyle{ f(m,m,\frac{512}{m^2})=g(m)=\frac{1}{\sqrt{2m+2}}+\frac{2m}{\sqrt{m^3+2m^2+512}}-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Pozostaje pokazać w jakikolwiek sposób, że w przedziale \(\displaystyle{ \langle8,+\infty)}\) funkcja g jest malejąca, a że \(\displaystyle{ g(8)=0}\), to mamy sprzeczność z faktem, że \(\displaystyle{ m \geqslant 8}\). Jest to prawda, dodatkowo w punkcie \(\displaystyle{ m=8}\) znajduje się ekstremum tej funkcji. Można próbować przekształcając, podnosząc do kwadratu i porządkując (bądź gdzieś wtrącić jakąś z klasycznych nierówności przy przekształceniach), ponieważ to już mechaniczne działania, więc zostawiam tą część dowodu chcącym przećwiczyć swoją wprawę w liczeniu

A jak ktoś woli w inny sposób, to wg pewnego kalkulatora internetowego:
\(\displaystyle{ g'(m)= {2 \over \sqrt{m^3 +2m^2 +512}} - {m \left(3m^2 +4m\right) \over \left(m^3 +2m^2 +512\right) ^{ {3 \over 2} } } - { 1 \over \left(2m +2\right) ^{ {3 \over 2} } }}\)


Odpowiedź: \(\displaystyle{ m=8}\)

Siłowe, ale skuteczne, brawo.