Przedstawić w postaci sumy kwadratów bądź kwadratu sumy

[tatteredspire]

Przekształcić (elementarnie) do postaci sumy kwadratów bądź kwadratu sumy\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} {a_i}^n-n \prod_{i=1}^{n} a_i}\) gdzie \(\displaystyle{ a_i \ge 0}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ i=1,2,3,...,n}\)

Nie chodzi mi o wniosek z nierówności między średnimi ani innych nierówności (tak jakbyśmy nie wiedzieli, że to wyrażenie przyjmuje zawsze wartości nieujemne).

Może pokażę (w skrócie) o co mi chodzi na przykładach gdy \(\displaystyle{ n=2}\) oraz \(\displaystyle{ n=3}\).

\(\displaystyle{ n=2}\)

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{2} {a_i}^2-2 \prod_{i=1}^{2} a_i=(a_1-a_2)^2}\)

\(\displaystyle{ n=3}\)

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{3} {a_i}^3-3 \prod_{i=1}^{3} a_i=\left(\sqrt{\frac{1}{2}(a_1+a_2+a_3)}(a_1-a_2)\right)^2 + \left(\sqrt{\frac{1}{2}(a_1+a_2+a_3)}(a_2-a_3)\right)^2+\left(\sqrt{\frac{1}{2}(a_1+a_2+a_3)}(a_3-a_1)\right)^2}\)

Czyli o nieujemności wnioskujemy jedynie na podstawie postaci wyrażenia i elementarnych własności liczb (typu suma liczb nieujemnych jest nieujemna, iloczyn liczb nieujemnych jest nieujemny itp.) i np. wolno nam użyć pierwiastka stopnia naturalnego parzystego jedynie wtedy gdy ta nieujemność zostanie stwierdzona w sposób opisany wyżej.

I teraz ogólnie:

Zapisać w ten sposób (nie indukcja, jedynie przekształcenia elementarne tak jak pokazane dla \(\displaystyle{ n=2,n=3}\)) \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} {a_i}^n-n \prod_{i=1}^{n} a_i}\) gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest dowolną liczbą naturalną a liczby \(\displaystyle{ a_1,a_2,...,a_n \ge 0}\) są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Najbardziej zależy mi na "końcowej" postaci (w tym stylu jak zostało przedstawione dla \(\displaystyle{ n=2,3}\)), poszczególne przekształcenia algebraiczne można wówczas wykonać.

[Ponewor]

Wydaje mi się, ale nie będzie tutaj elementarnego rozwiązania https://www.matematyka.pl/viewtopic.php?p=5051048