[Nierówności] Kresy sumy długości boków

[mol_ksiazkowy]

Wyznacz oba kresy, tj. górny (\(\displaystyle{ M}\)) i dolny (\(\displaystyle{ m}\)) wyrażenia \(\displaystyle{ W}\), będącego sumą długości boków i przekątnych czworokąta wypukłego na płaszczyźnie i o polu jednostkowym. Kiedy (o ile są) są one realizowane. Podaj wszystkie stosowne rachunki i (lub) ewentualne uogólnienie.

[?odzianin]

M nie istnieje, bo możesz zrobić dowolnie długi prostokąt o polu jednostkowym. Wtedy ta suma będzie dowolnie duża.

[Wuja Exul]

Dobrze jest czasem coś rozwiązać, żeby nie wypaść z formy
Oto rozwiązanie (minimum, bo max jest oczywiste):

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) będą kolejnymi bokami czworokąta o polu \(\displaystyle{ S}\), zaś \(\displaystyle{ e,f}\) - jego przekątnymi. korzystając z nierówności między średnimi otrzymujemy:
\(\displaystyle{ e+f \ge 2\sqrt{ef} \ge 2\sqrt{2S}}\),
co przy \(\displaystyle{ S=1}\) daje minimum \(\displaystyle{ e+f=2\sqrt{2}}\). Spośród czworokątów o tym samym polu najmniejszy obwód ma kwadrat, stąd \(\displaystyle{ a+b+c+d \ge 4}\) i ostatecznie
\(\displaystyle{ a+b+c+d+e+f \ge 4+2\sqrt{2}}\),
co jest osiągalne dla kwadratu.

Edit: poprawki małego błędu.