[Planimetria] Zadanie o czwarokącie
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13537
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3436 razy
- Pomógł: 812 razy
[Planimetria] Zadanie o czwarokącie
Wykaż, że jeśli czworokąt nie ma żadnych dwóch przeciwległych boków równoległych, to wtedy środek odcinka łączącego punkty przecięcia tychże boków leży na prostej łączącej środki obu przekątnych...
-
robin5hood
- Użytkownik
- Posty: 1675
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
-
Menda
- Użytkownik
- Posty: 98
- Rejestracja: 13 wrz 2007, o 15:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 4 razy
[Planimetria] Zadanie o czwarokącie
A tu jeszcze coś więcej na ten temat...
Skorzystamy z następującego tw.:
W równoległoboku ABCD dany jest pkt M. proste równoległe do AB i AD przechodzące przez M przecinają boki AB, BC, CD, DA w pkt P,Q,R,S. Zachodzi \(\displaystyle{ [MPBQ]=[MRDS] \iff M \in AC}\).
Dowód twierdzenia pomijam.
Powróćmy do zadania:
W tym czworokącie ABCD niech proste AB i CD przecinają się w pkt E, natomiast AD i CB w pkt F. Niech środki odcinków AC, BD, EF to odpowiednio pkt P,Q,R. Rozważmy homotetie o środku w pkt A i skali 2. Obrazami: pkt P jest pkt C, pkt Q jest jakiś pkt M, pkt R jest pkt G. Wystarczy pokazać że \(\displaystyle{ C \in GM}\). Udowodnimy to nie wprost korzystając z wyżej przedstawionego tw. Niech przez pkt M przechodzą 2 proste, równoległa do AE i do AF. Niech prosta DM przecina EG w pkt L i prosta BM FG w pkt K. Niech proste GM i BD przecinają się w pkt N. Niech proste przechodzące przez N równoległe do AF i AE przecinają AE, EG, GF, FA odpowiednio w pkt B', L', K', D'. Wtedy mamy dla równoległoboków NL'GK' oraz AELD (z przechodniości prawa równości) \(\displaystyle{ [NMKK']=[NMLL']=[AB'ND']}\) skąd z tw wyżej przedstawionego wynika że pkt N należy do przekątnej w równoległoboku ABKF tj \(\displaystyle{ N \in FB}\) czyli \(\displaystyle{ N=C}\).
Q.E.D.
Pozdro.
[ Dodano: 7 Września 2008, 23:03 ]
To ja może podniosę poprzeczkę, no bo nie chce mi sie nowego zadania pisać a nie chce sie nikomu robić mixów geometrycznych, no to macie:
Załóżmy że w ten czworokąt da się wpisać okrąg o środku w pkt I. Niech K,L,M,N będą środkami odcinków odpowiednio AB,BC,CD,DA., a punkt G punktem przecięcia się prostych KM i LN. Niech E i F będą środkami przekątnych AC i BD. Pokazać że punkty I,G,E,F są współliniowe i EG=GF.
Pozdro
Skorzystamy z następującego tw.:
W równoległoboku ABCD dany jest pkt M. proste równoległe do AB i AD przechodzące przez M przecinają boki AB, BC, CD, DA w pkt P,Q,R,S. Zachodzi \(\displaystyle{ [MPBQ]=[MRDS] \iff M \in AC}\).
Dowód twierdzenia pomijam.
Powróćmy do zadania:
W tym czworokącie ABCD niech proste AB i CD przecinają się w pkt E, natomiast AD i CB w pkt F. Niech środki odcinków AC, BD, EF to odpowiednio pkt P,Q,R. Rozważmy homotetie o środku w pkt A i skali 2. Obrazami: pkt P jest pkt C, pkt Q jest jakiś pkt M, pkt R jest pkt G. Wystarczy pokazać że \(\displaystyle{ C \in GM}\). Udowodnimy to nie wprost korzystając z wyżej przedstawionego tw. Niech przez pkt M przechodzą 2 proste, równoległa do AE i do AF. Niech prosta DM przecina EG w pkt L i prosta BM FG w pkt K. Niech proste GM i BD przecinają się w pkt N. Niech proste przechodzące przez N równoległe do AF i AE przecinają AE, EG, GF, FA odpowiednio w pkt B', L', K', D'. Wtedy mamy dla równoległoboków NL'GK' oraz AELD (z przechodniości prawa równości) \(\displaystyle{ [NMKK']=[NMLL']=[AB'ND']}\) skąd z tw wyżej przedstawionego wynika że pkt N należy do przekątnej w równoległoboku ABKF tj \(\displaystyle{ N \in FB}\) czyli \(\displaystyle{ N=C}\).
Q.E.D.
Pozdro.
[ Dodano: 7 Września 2008, 23:03 ]
To ja może podniosę poprzeczkę, no bo nie chce mi sie nowego zadania pisać a nie chce sie nikomu robić mixów geometrycznych, no to macie:
Załóżmy że w ten czworokąt da się wpisać okrąg o środku w pkt I. Niech K,L,M,N będą środkami odcinków odpowiednio AB,BC,CD,DA., a punkt G punktem przecięcia się prostych KM i LN. Niech E i F będą środkami przekątnych AC i BD. Pokazać że punkty I,G,E,F są współliniowe i EG=GF.
Pozdro
Ostatnio zmieniony 25 sie 2008, o 22:22 przez Menda, łącznie zmieniany 2 razy.
-
limes123
- Użytkownik
- Posty: 665
- Rejestracja: 21 sty 2008, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ustroń
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 93 razy
[Planimetria] Zadanie o czwarokącie
Hmmm... Najpierw troche zabawy z polami (korzystamy w faktu, ze czworokat jest wpisany w okrag + przeciwlegle boki nie sa rownolegle). Pokazujemy (latwe wiec pomijam dowody)
[AEB]+[CED]=12[ABCD]
[AIB]+[CID]=12[ABCD]
[AFB]+[CFD]=12[ABCD] => E,I,F leza na jednej prostej a to, ze E,F,G sa wspolliniowe i ze EG=GF jest chyba dosc znane (pojawialo sie juz na forum). Chyba najbardziej popularne jest to rozwiazanie fizyczne z umieszczaniem takich samych wag w kazdym wierzcholku.
[AEB]+[CED]=12[ABCD]
[AIB]+[CID]=12[ABCD]
[AFB]+[CFD]=12[ABCD] => E,I,F leza na jednej prostej a to, ze E,F,G sa wspolliniowe i ze EG=GF jest chyba dosc znane (pojawialo sie juz na forum). Chyba najbardziej popularne jest to rozwiazanie fizyczne z umieszczaniem takich samych wag w kazdym wierzcholku.