[Równania funkcyjne] Równanie z funkcjami

[mol_ksiazkowy]

Należy wyznaczyć wszystkie funkcje rzeczywiste określone na całej osi liczbowej, ciągłe oraz takie, że spełnione jest poniższe równanie funkcyjne, następnie wskazać f nieciągłą o tej ze własności:
\(\displaystyle{ f(\frac{x+y}{x-y})=\frac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}}\), dla \(\displaystyle{ x y}\).

[Wasilewski]

Najpierw podstawmy x=0. Wtedy otrzymujemy:
\(\displaystyle{ f(-1) = \frac{f(0) + f(y)}{f(0) - f(y)} \\
(f(-1) - 1) f(0) = f(y) (f(-1) + 1)}\)
Nasza funkcja nie może być funkcją stałą, zatem dostajemy:
\(\displaystyle{ f(-1) = -1}\)
co pociąga również:
\(\displaystyle{ f(0) = 0}\)
Teraz wstawmy (n całkowite):
\(\displaystyle{ x=n+1 \\
y = n-1 \\
f(n) = \frac{f(n+1) + f(n-1)}{f(n+1) - f(n-1)}}\)
Stąd przez indukcję dostajemy, że dla całkowitych:
\(\displaystyle{ f(n) = n}\)
Nie musieliśmy rozpatrywać liczb ujemnych (jakby się komuś nie chciało), bo funkcja jest nieparzysta (podstawienie y=-x).
Teraz wstawmy:
\(\displaystyle{ x:= ax \\
y := ay \\
f( \frac{x+y}{x-y}) = \frac{f(ax) + f(ay)}{f(ax) - f(ay)} = \frac{f(x) + f(y)}{f(x) - f(y)}}\)
Wstawmy y=1:
\(\displaystyle{ f(ax) = f(a) f(x)}\)
Czyli dla całkowitych:
\(\displaystyle{ f(nx) = n f(x) \\
x = \frac{1}{n} \\
1 = n f(\frac{1}{n}) \\
f (\frac{1}{n}) = \frac{1}{n}}\)
Czyli gdy wstawimy:
\(\displaystyle{ a = m \ \ \ x = \frac{1}{n} \\
f(\frac{m}{n}) = m f( \frac{1}{n}) = \frac{m}{n}}\)
Zatem wobec ciągłości funkcji dla dowolnego rzeczywistego x:
\(\displaystyle{ f(x) = x}\)
Nad funkcją nieciągłą się jeszcze nie zastanawiałem.