[Teoria liczb] Znalezienie liczb pierwszych

[rochaj]

Znaleźć wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\) takie że \(\displaystyle{ \frac{p+1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{p^2+1}{2}}\) są liczbami pierwszymi.

[marcin7Cd]

Chyba będzie ich nieskończenie wiele, bo dla \(\displaystyle{ p<20000}\) rozwiązaniami są:
\(\displaystyle{ p=3}\)
\(\displaystyle{ p=5}\)
\(\displaystyle{ p=61}\)
\(\displaystyle{ p=121}\)
\(\displaystyle{ p=661}\)
\(\displaystyle{ p=2341}\)
\(\displaystyle{ p=4561}\)
\(\displaystyle{ p=6361}\)
\(\displaystyle{ p=9241}\)
\(\displaystyle{ p=9721}\)
\(\displaystyle{ p=12301}\)
\(\displaystyle{ p=12421}\)
\(\displaystyle{ p=13921}\)
\(\displaystyle{ p=15901}\)
\(\displaystyle{ p=17041}\)
\(\displaystyle{ p=18301}\)
w sumie 16 rozwiązań jedyna zależność je wiążąca to \(\displaystyle{ p \equiv 1 \pmod{60}}\) dla \(\displaystyle{ p>5}\)