[Równania funkcyjne] Autorskie równanie funkcyjne
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- tkrass
- Użytkownik
- Posty: 1464
- Rejestracja: 21 lut 2008, o 13:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Cambridge / Warszawa
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 186 razy
[Równania funkcyjne] Autorskie równanie funkcyjne
To, że funkcja jest surjekcją, wynika akurat bezpośrednio z \(\displaystyle{ f(x+f(x))=x}\) ("machamy" iksem po wszystkich rzeczywistych). Jednak nie każda funkcja spełniająca równanie Cauchy'ego jest liniowa.
-
- Użytkownik
- Posty: 139
- Rejestracja: 31 gru 2013, o 13:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: łódź
- Pomógł: 61 razy
[Równania funkcyjne] Autorskie równanie funkcyjne
Zadanie 17. z Nierozwiązanych Problemów 5
Ukryta treść:
- Michalinho
- Użytkownik
- Posty: 495
- Rejestracja: 17 wrz 2013, o 16:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Chełm
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 104 razy
[Równania funkcyjne] Autorskie równanie funkcyjne
marcin7Cd, masz błąd:
marcin7Cd pisze:Zadanie 17. z Nierozwiązanych Problemów 5Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 939
- Rejestracja: 26 gru 2009, o 17:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mazowsze
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 228 razy
[Równania funkcyjne] Autorskie równanie funkcyjne
Zakładając, że \(\displaystyle{ f(x) = ax+b}\) mamy:
\(\displaystyle{ a(ax+b+y)+b + a(ay+b+x)+b = x + y \Rightarrow (a^{2}+a)(x+y) + 2b(a+1) = x+y}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\\
b = 0
\end{cases}}\)
Możemy też np. zróżniczkować obustronnie po \(\displaystyle{ x}\) albo \(\displaystyle{ y}\). Różniczkuję po \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}\cdot\left(\frac{ \partial f}{ \partial x}+0\right) + \frac{ \partial f}{ \partial x}\cdot(0+1) = 1}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \left(\frac{ \partial f}{ \partial x}\right)^{2} + \frac{ \partial f}{ \partial x} = 1}\)
Z tego wynika że pochodna funkcji jest po prostu liczbą i nie zależy od argumentu. Zatem jeśli pochodna zawsze istnieje to tamte rozwiązania są jedyne.
\(\displaystyle{ a(ax+b+y)+b + a(ay+b+x)+b = x + y \Rightarrow (a^{2}+a)(x+y) + 2b(a+1) = x+y}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\\
b = 0
\end{cases}}\)
Możemy też np. zróżniczkować obustronnie po \(\displaystyle{ x}\) albo \(\displaystyle{ y}\). Różniczkuję po \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}\cdot\left(\frac{ \partial f}{ \partial x}+0\right) + \frac{ \partial f}{ \partial x}\cdot(0+1) = 1}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \left(\frac{ \partial f}{ \partial x}\right)^{2} + \frac{ \partial f}{ \partial x} = 1}\)
Z tego wynika że pochodna funkcji jest po prostu liczbą i nie zależy od argumentu. Zatem jeśli pochodna zawsze istnieje to tamte rozwiązania są jedyne.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11422
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
[Równania funkcyjne] Autorskie równanie funkcyjne
istnieje dość sporo paskudnych funkcji, które to spełniają
To, że funkcja jest surjekcją, wynika akurat bezpośrednio z \(\displaystyle{ f(x+f(x))=x}\)
a tam było \(\displaystyle{ f(x)= x+a}\). A tu (jak przedstawił już jarek4700)Dumel pisze:rozwiązałeś to? z ciekawszych rzeczy dostałem ze f musi byc nieparzystą bijekcją spełniającą \(\displaystyle{ f(x)+f(f(x))=x}\). przypomina mi sie tu podobne zadanko z kmdo: \(\displaystyle{ f(x)+f^{-1}(x)=2x}\) ale tam bylo założenie monotoniczności.
Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie rosnąca i \(\displaystyle{ f(0)=0}\) czyli \(\displaystyle{ f: R_{+} \mapsto R_{+}}\); to gdy \(\displaystyle{ x_0 >0}\) i \(\displaystyle{ x_n = f(x_{n-1})}\) tj.
\(\displaystyle{ x_{n+2}= - x_{n+1} + x_n}\) czyli \(\displaystyle{ x_n = x_0 (\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n}\) tj. \(\displaystyle{ f(x_0) = \frac{\sqrt{5}-1}{2} x_0}\)
Mam pytanie dodatkowe (poboczne):
Dla jakich funkcji ciągłych \(\displaystyle{ f, g: R \mapsto R}\) jest
\(\displaystyle{ f( g(x) + y) = g( x + f(y))}\) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 139
- Rejestracja: 31 gru 2013, o 13:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: łódź
- Pomógł: 61 razy
[Równania funkcyjne] Autorskie równanie funkcyjne
Rozwiązanie jest trochę długie. Jedyne funkcje spełniające to są albo stałe albo liniowe.mol_ksiazkowy pisze: Mam pytanie dodatkowe (poboczne):
Dla jakich funkcji ciągłych \(\displaystyle{ f, g: R \mapsto R}\) jest
\(\displaystyle{ f( g(x) + y) = g( x + f(y))}\) ?
Ukryta treść: