[Teoria liczb] Liczba podzielna przez każde cykliczne przestawienie cyfr

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 27 kwie 2007, o 10:04

Teraz nalezy znalezc taka liczbe naturalna, mozliwie najmniejsza...iz jest ona podzielna przez m i kazde cykliczne przestawienie jej cyfr sprawia ze uzyskamy takze l. podzielna przez m. obliczenia poprowadz dla :
a m=11
b m=13
c m=17

Post autor: **Lorek** » 27 kwie 2007, o 18:22

a 0 może być?

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 27 kwie 2007, o 20:23

Lorek napisal:

a 0 może być?

hmm ...no umowmy sie ze nie

wikuszka · Post autor: **wikuszka** » 27 kwie 2007, o 22:12

dla m=11 napewno będą to wielokrotności liczby 11 w postaci 11a, gdzie a jest mniejsze od 10, czyli w pierwszym wypadku będzie to a=1 lub a=2 (jeśli nie może to być liczba m) - wyjdzie nam 22 więc za dużo możliwości przestawiania nie mamy Podane liczby są liczbami pierwszymi, więc liczby, które będą przez nie podzielne są ich wielokrotnościami. Pytanko: co to znaczy kolejne przestawianie jej cyfr? Chodzi o wariacje cyfr tej liczby?

ad.b) takie małe spostrzeżenie, problem jednak z jego wykorzystaniem. Szukana liczba będzie wielokrotnością 13stki. Różnica pomiędzy ich "zmienionymi postaciami" zawsze jest wielokrotnością 9tki. np. dla 13x1=13, odwrotnością będzie 31,różnica to 9x2, dla 13x8=104, przestawieniem będzie np. liczba 140 lub 410; 104-140=-36 czyli 9x(-4), 104-410=-306, 9x(-34), 140-410=-270 czyli 9x(-30) itd. tylko jak to teraz wykorzystać?

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 25 sie 2008, o 14:37

ad c, Niech \(\displaystyle{ M}\) to liczba m cyfrowa. zaś \(\displaystyle{ f(M)}\) liczba powstałą z \(\displaystyle{ M}\) przez przeniesienie jej pierwszej cyfry x na koniec. np f(123)=231, Wtedy \(\displaystyle{ 10M- f(M)=x(10^{m+1}-1)}\). Liczba złozona z \(\displaystyle{ 16}\) tu jedynek 1111111111111111 dzieli sie przez 17, i jest to najmniejsza liczba jedynkowa o tej własnosci. A wiec jesli \(\displaystyle{ 17 |M}\) to \(\displaystyle{ 17 |f(M)}\) gdy \(\displaystyle{ 16 |m+1}\). Najmniejsza 16 cyfrowa liczba podzielna przez 17 jest 1000000000000005 i stanowi ona rozwiazanie , gdyz 51 dzieli sie na 17
ps mysle ze ad b i a mozna tez zrobic w oparciu o ten sam pomysl...

Post autor: **Sylwek** » 25 sie 2008, o 23:12

mol_ksiazkowy pisze:\(\displaystyle{ 10M- f(M)=x(10^{m+1}-1)}\)

Raczej \(\displaystyle{ x(10^m-1)}\). Dalej \(\displaystyle{ 16|m}\), ale na końcu się poprawiłeś . Dowodzik sprytny

no to dla wiwatu: ad. b) (gdyż ad.a jest już powyżej rozwiązany), w podobny jak wyżej sposób dowodzimy, że ta liczba musi być co najmniej 6 cyfr. Najmniejsza 6-cyfrowa liczba podzielna przez 13 to 100009 i oczywiście spełnia ona warunki zadania.